Filet (polyèdre) - Net (polyhedron)
En géométrie , un filet d'un polyèdre est un arrangement de polygones joints par des bords non superposés dans le plan qui peuvent être pliés (le long des bords) pour devenir les faces du polyèdre. Les filets polyédriques sont une aide utile à l'étude des polyèdres et de la géométrie solide en général, car ils permettent de construire des modèles physiques de polyèdres à partir de matériaux tels que du carton mince.
Un premier exemple de filets polyédriques apparaît dans les travaux d' Albrecht Dürer , dont le livre de 1525 A Course in the Art of Measurement with Compass and Ruler ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) comprenait des filets pour les solides de Platon et plusieurs des solides d'Archimède. . Ces constructions furent d'abord appelées filets en 1543 par Augustin Hirschvogel .
Existence et unicité
De nombreux réseaux différents peuvent exister pour un polyèdre donné, selon le choix des arêtes jointes et séparées. Les bords qui sont coupés d'un polyèdre convexe pour former un filet doivent former un arbre couvrant du polyèdre, mais la coupe de certains arbres couvrants peut faire en sorte que le polyèdre se chevauche lorsqu'il est déplié, plutôt que de former un filet. Inversement, un filet donné peut se plier en plusieurs polyèdres convexes différents, selon les angles auxquels ses bords sont pliés et le choix des bords à coller ensemble. Si un filet est administré avec un motif de collage de ses bords ensemble, de telle sorte que chaque sommet de la forme résultante a positif défaut angulaire et de telle sorte que la somme de ces défauts est exactement 4 π , alors il existe nécessairement exactement un polyèdre qui peut être plié à partir de celui-ci; c'est le théorème d'unicité d'Alexandrov . Cependant, le polyèdre formé de cette manière peut avoir des faces différentes de celles spécifiées comme faisant partie du réseau : certains des polygones du réseau peuvent avoir des plis à travers eux, et certains des bords entre les polygones du réseau peuvent rester dépliés. De plus, le même filet peut avoir plusieurs motifs de collage valides, conduisant à différents polyèdres pliés.
Tout polyèdre convexe a-t-il un simple dépliement d'arête ?
En 1975, GC Shephard a demandé si chaque polyèdre convexe a au moins un filet ou un simple dépliement de bord. Cette question, également connue sous le nom de conjecture de Dürer, ou problème de déroulement de Dürer, reste sans réponse. Il existe des polyèdres non convexes qui n'ont pas de réseaux, et il est possible de subdiviser les faces de chaque polyèdre convexe (par exemple le long d'un lieu de coupe ) de sorte que l'ensemble des faces subdivisées ait un réseau. En 2014, Mohammad Ghomi a montré que tout polyèdre convexe admet un réseau après une transformation affine . De plus, en 2019 Barvinok et Ghomi ont montré qu'une généralisation de la conjecture de Dürer échoue pour les pseudo-arêtes , c'est-à-dire un réseau de géodésiques qui relient les sommets du polyèdre et forment un graphe à faces convexes.
Une question ouverte connexe demande si chaque filet d'un polyèdre convexe a un blooming , un mouvement continu sans intersection entre son état plat et son état plié qui maintient chaque face à plat tout au long du mouvement.
Le plus court chemin
Le chemin le plus court sur la surface entre deux points sur la surface d'un polyèdre correspond à une ligne droite sur un réseau approprié pour le sous-ensemble de faces touchées par le chemin. Le filet doit être tel que la ligne droite soit entièrement à l'intérieur, et on peut avoir à considérer plusieurs filets pour voir lequel donne le chemin le plus court. Par exemple, dans le cas d'un cube , si les points sont sur des faces adjacentes, un candidat pour le chemin le plus court est le chemin traversant l'arête commune ; le chemin le plus court de ce genre se trouve en utilisant un filet où les deux faces sont également adjacentes. D'autres candidats pour le chemin le plus court sont à travers la surface d'une troisième face adjacente aux deux (dont il y en a deux), et les réseaux correspondants peuvent être utilisés pour trouver le chemin le plus court dans chaque catégorie.
Le problème de l'araignée et de la mouche est un casse-tête mathématique récréatif qui consiste à trouver le chemin le plus court entre deux points sur un cuboïde.
Filets polytopiques de grande dimension
Un filet d'un 4-polytope , un à quatre dimensions polytope , est composé de polyèdres cellules qui sont reliées par leurs faces et occupent tous le même espace en trois dimensions, tout comme les faces polygones d'un filet d'un polyèdre sont reliés par leur bords et occupent tous le même plan. Le filet du tesseract, l' hypercube à quatre dimensions , est utilisé en bonne place dans un tableau de Salvador Dalí , Crucifixion (Corpus Hypercubus) (1954). Le même filet de tesseract est au cœur de l'intrigue de la nouvelle "—And He Built a Crooked House—" de Robert A. Heinlein .
Le nombre de réseaux combinatoirement distincts d' hypercubes de dimension peut être trouvé en représentant ces réseaux comme un arbre sur des nœuds décrivant le modèle par lequel des paires de faces de l'hypercube sont collées ensemble pour former un réseau, ainsi qu'une correspondance parfaite sur le graphe complémentaire de l'arbre décrivant les paires de faces qui se font face sur l'hypercube replié. En utilisant cette représentation, le nombre de dépliements différents pour les hypercubes de dimensions 2, 3, 4, ..., a été compté comme
