Conjecture de Witten - Witten conjecture

En géométrie algébrique , la conjecture de Witten est une conjecture sur les nombres d'intersection de classes stables sur l' espace des modules des courbes , introduite par Edward Witten dans l'article Witten  ( 1991 ), et généralisée dans Witten (1993) . La conjecture originale de Witten a été prouvée par Maxim Kontsevich dans l'article Kontsevich (1992) .

La motivation de Witten pour la conjecture était que deux modèles différents de gravitation quantique bidimensionnelle devraient avoir la même fonction de partition. La fonction de partition pour l'un de ces modèles peut être décrite en termes de nombres d'intersection sur la pile de modules de courbes algébriques , et la fonction de partition pour l'autre est le logarithme de la fonction τ de la hiérarchie KdV . L'identification de ces fonctions de partition donne la conjecture de Witten selon laquelle une certaine fonction génératrice formée à partir de nombres d'intersection devrait satisfaire les équations différentielles de la hiérarchie KdV.

Déclaration

Supposons que M _{g , n} est la pile de modules de surfaces de Riemann compactes du genre g avec n points marqués distincts x ₁ , ..., x _n , et M _{g , n} est sa compactification de Deligne – Mumford. Il existe n faisceaux linéaires L _i sur M _{g , n} , dont la fibre en un point de l'empilement des modules est donnée par l'espace cotangent d'une surface de Riemann au point marqué x _i . L'indice d'intersection 〈τ _{d 1} , ..., τ _{d n}〉 est l'indice d'intersection de Π c ₁ ( L _i ) ^{d _i} sur M _{g , n} où Σ d _i = dim M _{g , n} = 3 g - 3 + n , et 0 si un tel g n'existe pas, où c ₁ est la première classe de Chern d'un faisceau de lignes. Fonction génératrice de Witten

${\ displaystyle F (t_ {0}, t_ {1}, \ ldots) = \ sum \ langle \ tau _ {0} ^ {k_ {0}} \ tau _ {1} ^ {k_ {1}} \ cdots \ rangle \ prod _ {i \ geq 0} {\ frac {t_ {i} ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}} = {\ frac {t_ {0} ^ {3}} {6}} + {\ frac {t_ {1}} {24}} + {\ frac {t_ {0} t_ {2}} {24}} + {\ frac {t_ {1} ^ {2}} {24}} + {\ frac {t_ {0} ^ {2} t_ {3}} {48}} + \ cdots}$

encode tous les indices d'intersection comme ses coefficients.

La conjecture de Witten stipule que la fonction de partition Z = exp F est une fonction τ pour la hiérarchie KdV , c'est-à-dire qu'elle satisfait une certaine série d'équations aux dérivées partielles correspondant à la base de l' algèbre de Virasoro . ${\ displaystyle \ {L _ {- 1}, L_ {0}, L_ {1}, \ ldots \}}$

Preuve

Kontsevich a utilisé une description combinatoire des espaces de modules en termes de graphiques à ruban pour montrer que

${\ displaystyle \ sum _ {d_ {1} + \ cdots + d_ {n} = 3g-3 + n} \ langle \ tau _ {d_ {1}}, \ ldots, \ tau _ {d_ {n}} \ rangle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} {\ frac {(2d_ {i} -1) !!} {\ lambda _ {i} ^ {2d_ {i} +1}}} = \ sum _ {\ Gamma \ in G_ {g, n}} {\ frac {2 ^ {- | X_ {0} |}} {| {\ text {Aut}} \ Gamma |}} \ prod _ {e \ in X_ {1}} {\ frac {2} {\ lambda (e)}}}$

Ici, la somme de droite est sur l'ensemble G _{g , n} des graphes à ruban X de surfaces de Riemann compactes de genre g avec n points marqués. L'ensemble des arêtes e et des points de X est noté X ₀ et X ₁ . La fonction λ est pensée comme une fonction des points marqués aux réels, et étendue aux arêtes du graphique en ruban en fixant λ d'une arête égale à la somme de λ aux deux points marqués correspondant à chaque côté de l'arête.

Par les techniques du diagramme de Feynman, cela implique que F ( t ₀ , ...) est une expansion asymptotique de

${\ displaystyle \ log \ int \ exp (i {\ text {tr}} X ^ {3} / 6) d \ mu}$

comme Λ prête à l'infini, où Λ et Χ sont N définis positivement par N matrices hermitiennes, et t _i est donné par

${\ displaystyle t_ {i} = {\ frac {- {\ text {tr}} \ Lambda ^ {- 1-2i}} {1 \ fois 3 \ fois 5 \ fois \ cdots \ times (2i-1)} }}$

et la mesure de probabilité μ sur les matrices hermitiennes définies positives est donnée par

${\ displaystyle d \ mu = c _ {\ Lambda} \ exp (- {\ text {tr}} X ^ {2} \ Lambda / 2) dX}$

où c _Λ est une constante de normalisation. Cette mesure a la propriété

${\ displaystyle \ int X_ {ij} X_ {kl} d \ mu = \ delta _ {il} \ delta _ {jk} {\ frac {2} {\ Lambda _ {i} + \ Lambda _ {j}} }}$

ce qui implique que son expansion en termes de diagrammes de Feynman est l'expression de F en termes de graphes à ruban.

Il en déduit que exp F est une fonction τ pour la hiérarchie KdV, prouvant ainsi la conjecture de Witten.

Généralisations

La conjecture de Witten est un cas particulier d'une relation plus générale entre les systèmes intégrables d'EDP hamiltoniens et la géométrie de certaines familles de théories topologiques 2D des champs (axiomatisées sous la forme des théories des champs dites cohomologiques par Kontsevich et Manin), qui était explorée et étudiée systématiquement par B. Dubrovnik et Y. Zhang, A. Givental, C. Teleman et d'autres.

La conjecture de Virasoro est une généralisation de la conjecture de Witten.

Les références

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• Kazarian, ME; Lando, Sergei K. (2007), "Une preuve algébro-géométrique de la conjecture de Witten", Journal of the American Mathematical Society , 20 (4): 1079-1089, arXiv : math / 0601760 , Bibcode : 2007JAMS ... 20.1079K , doi : 10.1090 / S0894-0347-07-00566-8 , ISSN  0894-0347 , MR  2328716
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• Lando, Sergei K .; Zvonkin, Alexander K. (2004), Graphiques sur les surfaces et leurs applications (PDF) , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 141 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00203-1, MR  2036721
• Witten, Edward (1991), "Gravité bidimensionnelle et théorie de l'intersection sur l'espace des modules", Enquêtes en géométrie différentielle (Cambridge, MA, 1990) , 1 , Bethlehem, PA: Lehigh Univ., Pp. 243–310, ISBN 978-0-8218-0168-0, MR  1144529
• Witten, Edward (1993), "Géométrie algébrique associée aux modèles matriciels de gravité bidimensionnelle", in Goldberg, Lisa R .; Phillips, Anthony V. (eds.), Topological Methods in Modern Mathématiques (Stony Brook, NY, 1991) , Actes du symposium en l'honneur du soixantième anniversaire de John Milnor tenu à l'Université d'État de New York, Stony Brook, New York, 14-21 juin 1991., Houston, TX: Publish or Perish, pp. 235-269, ISBN 978-0-914098-26-3, MR  1215968