Théorème Z* - Z* theorem
En mathématiques, George Glauberman du théorème de Z * est indiqué comme suit:
Théorème Z* : Soit G un groupe fini , O ( G ) étant son sous- groupe normal maximal d' ordre impair . Si T est un Sylow 2-sous-groupe de G contenant une involution non conjuguée dans G à aucun autre élément de T , alors l'involution se situe dans Z* ( G ), qui est l'image inverse dans G du centre de G / O ( G. ).
Cela généralise le théorème de Brauer-Suzuki (et la preuve utilise le théorème de Brauer-Suzuki pour traiter quelques petits cas).
Détails
L'article original ( Glauberman 1966 ) donnait plusieurs critères pour qu'un élément se trouve en dehors de Z* ( G ). Son théorème 4 énonce :
Pour un élément t dans T , il est nécessaire et suffisant pour que t soit en dehors de Z* ( G ) qu'il existe un certain g dans G et un sous-groupe abélien U de T satisfaisant les propriétés suivantes :
- g normalise à la fois U et le centralisateur C T ( U ), c'est-à-dire que g est contenu dans N = N G ( U ) ∩ N G ( C T ( U ))
- t est contenu dans U et tg ≠ gt
- U est généré par les N -conjugués de t
- l' exposant de U est égal à l' ordre de t
De plus, g peut être choisi pour avoir un ordre de puissance premier si t est au centre de T , et g peut être choisi dans T sinon.
Un simple corollaire est qu'un élément t en T est pas en Z * ( G ) si et seulement s'il y a certains s ≠ t tels que s et t Commute et s et t sont G -conjugate.
Une généralisation à impairs nombres premiers a été enregistré dans ( Guralnick & Robinson 1993 ): si t est un élément de premier ordre p et le commutateur [ t , g ] a pour coprime à p pour tout g , alors t est modulo central de la p '- noyau . Cela a également été généralisé aux nombres premiers impairs et aux groupes de Lie compacts dans ( Mislin & Thévenaz 1991 ), qui contient également plusieurs résultats utiles dans le cas fini.
( Henke & Semeraro 2014 ) ont également étudié une extension du théorème Z* à des paires de groupes ( G , H ) avec H un sous-groupe normal de G .
Les références
- Dade, Everett C. (1971), "Théorie des caractères relative aux groupes simples finis", dans Powell, MB; Higman, Graham (éd.), Groupes simples finis. Actes d'une conférence pédagogique organisée par la London Mathematical Society (un institut d'études avancées de l'OTAN), Oxford, septembre 1969. , Boston, MA: Academic Press , pp. 249-327, ISBN 978-0-12-563850-0, MR 0360785 donne une preuve détaillée du théorème de Brauer-Suzuki.
- Glauberman, George (1966), "Central elements in core-free groups", Journal of Algebra , 4 (3) : 403-420, doi : 10.1016/0021-8693(66)90030-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0202822 , Zbl 0145.02802
- Guralnick, Robert M. ; Robinson, Geoffrey R. (1993), "On extensions of the Baer-Suzuki theorem", Israel Journal of Mathematics , 82 (1) : 281-297, doi : 10.1007/BF02808114 , ISSN 0021-2172 , MR 1239051 , Zbl 0794.20029
- Henke, Ellen; Semeraro, Jason (2014). « Une généralisation du théorème Z * ». arXiv : 1411.1932v1 [ math.GR ].
- Mislin, Guido; Thévenaz, Jacques (1991), "The Z*-theorem for compact Lie groups" , Mathematische Annalen , 291 (1) : 103–111, doi : 10.1007/BF01445193 , ISSN 0025-5831 , MR 1125010