Effet Aharonov-Bohm - Aharonov–Bohm effect

Yakir Aharonov

David Bohm

L' effet Aharonov-Bohm , parfois appelé effet Ehrenberg-Siday-Aharonov-Bohm , est un phénomène de mécanique quantique dans lequel une particule chargée électriquement est affectée par un potentiel électromagnétique (φ, A ), bien qu'elle soit confinée dans une région dans laquelle les deux le champ magnétique B et le champ électrique E sont nuls. Le mécanisme sous-jacent est le couplage du potentiel électromagnétique avec la phase complexe de la fonction d'onde d'une particule chargée , et l'effet Aharonov-Bohm est en conséquence illustré par des expériences d'interférence .

Le cas le plus couramment décrit, parfois appelé effet solénoïde Aharonov-Bohm , se produit lorsque la fonction d'onde d'une particule chargée passant autour d'un long solénoïde subit un déphasage en raison du champ magnétique fermé, bien que le champ magnétique soit négligeable dans la région par laquelle passe la particule et la fonction d'onde de la particule étant négligeable à l'intérieur du solénoïde. Ce déphasage a été observé expérimentalement. Il existe également des effets magnétiques Aharonov-Bohm sur les énergies liées et les sections efficaces de diffusion, mais ces cas n'ont pas été testés expérimentalement. Un phénomène électrique Aharonov-Bohm a également été prédit, dans lequel une particule chargée est affectée par des régions avec des potentiels électriques différents mais un champ électrique nul, mais cela n'a pas encore de confirmation expérimentale. Un effet Aharonov-Bohm "moléculaire" séparé a été proposé pour le mouvement nucléaire dans des régions à connexions multiples, mais il a été avancé qu'il s'agissait d'un type de phase géométrique différent car il n'est "ni non local ni topologique", ne dépendant que de quantités locales le long du noyau nucléaire. chemin.

Werner Ehrenberg (1901-1975) et Raymond E. Siday ont prédit l'effet pour la première fois en 1949. Yakir Aharonov et David Bohm ont publié leur analyse en 1959. Après la publication de l'article de 1959, Bohm a été informé des travaux d'Ehrenberg et Siday, qui ont été reconnus et crédité dans l'article ultérieur de Bohm et Aharonov en 1961. L'effet a été confirmé expérimentalement, avec une très grande erreur, alors que Bohm était encore en vie. Au moment où l'erreur a atteint une valeur respectable, Bohm était mort.

Importance

Aux XVIIIe et XIXe siècles, la physique était dominée par la dynamique newtonienne, mettant l'accent sur les forces . Les phénomènes électromagnétiques ont été élucidés par une série d'expériences impliquant la mesure des forces entre charges, courants et aimants dans diverses configurations. Finalement, une description est apparue selon laquelle les charges, les courants et les aimants agissaient comme des sources locales de champs de force se propageant, qui agissaient ensuite sur d'autres charges et courants localement par le biais de la loi de force de Lorentz . Dans ce cadre, parce que l'une des propriétés observées du champ électrique était qu'il était irrotationnel et que l'une des propriétés observées du champ magnétique était qu'il était sans divergence , il était possible d'exprimer un champ électrostatique comme le gradient d'un scalaire. potentiel (par exemple le potentiel électrostatique de Coulomb , qui est mathématiquement analogue au potentiel gravitationnel classique) et un champ magnétique stationnaire comme la boucle d'un potentiel vecteur (alors un nouveau concept - l'idée d'un potentiel scalaire était déjà bien acceptée par analogie avec potentiel gravitationnel). Le langage des potentiels s'est généralisé de manière transparente au cas entièrement dynamique mais, puisque tous les effets physiques étaient descriptibles en termes de champs qui étaient les dérivés des potentiels, les potentiels (contrairement aux champs) n'étaient pas uniquement déterminés par des effets physiques : les potentiels n'étaient définis que jusqu'à à un potentiel électrostatique constant additif arbitraire et à un potentiel vecteur magnétique stationnaire irrotationnel.

L'effet Aharonov-Bohm est important sur le plan conceptuel car il porte sur trois problèmes apparents dans la refonte de la théorie électromagnétique classique (de Maxwell ) en théorie de jauge , qui, avant l'avènement de la mécanique quantique, pouvait être considérée comme une reformulation mathématique sans conséquences. Les expériences de pensée Aharonov-Bohm et leur réalisation expérimentale impliquent que les problèmes n'étaient pas seulement philosophiques.

Les trois problèmes sont :

1. si les potentiels sont « physiques » ou simplement un outil pratique pour calculer les champs de force ;
2. si les principes d' action sont fondamentaux ;
3. le principe de localité .

Pour de telles raisons, l'effet Aharonov-Bohm a été choisi par le magazine New Scientist comme l'une des « sept merveilles du monde quantique ».

Potentiels vs. champs

Il est généralement affirmé que l'effet Aharonov-Bohm illustre l'aspect physique des potentiels électromagnétiques, Φ et A , dans la mécanique quantique. Classiquement, il était possible d'affirmer que seuls les champs électromagnétiques sont physiques, tandis que les potentiels électromagnétiques sont des constructions purement mathématiques, qui, en raison de la liberté de jauge, ne sont même pas uniques pour un champ électromagnétique donné.

Cependant, Vaidman a contesté cette interprétation en montrant que l'effet Aharonov-Bohm peut être expliqué sans l'utilisation de potentiels tant que l'on donne un traitement mécanique quantique complet aux charges de source qui produisent le champ électromagnétique. Selon ce point de vue, le potentiel de la mécanique quantique est tout aussi physique (ou non physique) qu'il l'était classiquement. Aharonov, Cohen et Rohrlich ont répondu que l'effet peut être dû à un potentiel de jauge local ou à des champs invariants de jauge non locaux.

Deux articles publiés dans la revue Physical Review A en 2017 ont démontré une solution de mécanique quantique pour le système. Leur analyse montre que le déphasage peut être vu comme généré par le potentiel vecteur d'un solénoïde agissant sur l'électron ou le potentiel vecteur de l'électron agissant sur le solénoïde ou les courants d'électron et de solénoïde agissant sur le potentiel vecteur quantifié.

Action globale vs forces locales

De même, l'effet Aharonov-Bohm illustre que l' approche lagrangienne de la dynamique , basée sur les énergies , n'est pas seulement une aide informatique à l' approche newtonienne , basée sur les forces . Ainsi, l'effet Aharonov-Bohm valide l'opinion selon laquelle les forces sont un moyen incomplet de formuler la physique et que les énergies potentielles doivent être utilisées à la place. En fait, Richard Feynman s'est plaint d'avoir appris l'électromagnétisme du point de vue des champs électromagnétiques, et il aurait souhaité plus tard dans sa vie qu'on lui ait appris à penser en termes de potentiel électromagnétique à la place, car cela serait plus fondamental. Dans la vision intégrale de chemin de Feynman de la dynamique , le champ de potentiel modifie directement la phase d'une fonction d'onde électronique, et ce sont ces changements de phase qui conduisent à des quantités mesurables.

Localité des effets électromagnétiques

L'effet Aharonov-Bohm montre que les locaux E et B champs ne contiennent pas des informations complètes sur le champ électromagnétique, et les quatre potentiel électromagnétique , ( & phiv , A ), doivent être utilisés à la place. Par le théorème de Stokes , l'amplitude de l'effet Aharonov-Bohm peut être calculée en utilisant les champs électromagnétiques seuls, ou en utilisant le quatre-potentiel seul. Mais lorsqu'on utilise uniquement les champs électromagnétiques, l'effet dépend des valeurs de champ dans une région dont la particule de test est exclue. En revanche, lorsque vous utilisez uniquement le potentiel électromagnétique quatre, l'effet ne dépend que du potentiel dans la région où la particule de test est autorisée. Par conséquent, il faut soit abandonner le principe de localité , ce que la plupart des physiciens hésitent à faire, soit accepter que le quatre-potentiel électromagnétique offre une description plus complète de l'électromagnétisme que les champs électriques et magnétiques. D'autre part, l'effet Aharonov-Bohm est essentiellement de la mécanique quantique ; la mécanique quantique est bien connue pour présenter des effets non locaux (bien qu'interdisant toujours la communication supraluminique), et Vaidman a fait valoir qu'il s'agissait simplement d'un effet quantique non local sous une forme différente.

Dans l'électromagnétisme classique, les deux descriptions étaient équivalentes. Avec l'ajout de la théorie quantique, cependant, les potentiels électromagnétiques & phiv et A sont considérés comme étant plus fondamental. Malgré cela, tous les effets observables finissent par être exprimables en termes de champs électromagnétiques, E et B . C'est intéressant car, bien que vous puissiez calculer le champ électromagnétique à partir des quatre potentiels, en raison de la liberté de jauge, l'inverse n'est pas vrai.

Effet solénoïde magnétique

L'effet magnétique Aharonov-Bohm peut être vu comme le résultat de l'exigence que la physique quantique soit invariante par rapport au choix de la jauge pour le potentiel électromagnétique , dont le potentiel vecteur magnétique fait partie. ${\displaystyle \mathbf {A} }$

La théorie électromagnétique implique qu'une particule avec une charge électrique voyageant le long d'un chemin dans une région avec un champ magnétique nul , mais non nul (par ), acquiert un déphasage , donné en unités SI par ${\style d'affichage q}$${\style d'affichage P}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} =\nabla \times \mathbf {A} }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi ={\frac {q}{\hbar }}\int _{P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x} ,}$

Par conséquent, les particules, avec les mêmes points de départ et d'arrivée, mais voyageant le long de deux routes différentes acquerront une différence de phase déterminée par le flux magnétique à travers la zone entre les chemins (via le théorème de Stokes et ), et donnée par : ${\displaystyle \Delta \varphi }$ ${\displaystyle \Phi _{B}}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {q\Phi _{B}}{\hbar }}.}$

Schéma d'une expérience à double fente dans laquelle l'effet Aharonov-Bohm peut être observé : les électrons traversent deux fentes, interférant sur un écran d'observation, le motif d'interférence étant décalé lorsqu'un champ magnétique B est modifié dans la moustache. La direction du champ B est vers l'extérieur de la figure. La flèche indique la direction du champ A.

En mécanique quantique, une même particule peut voyager entre deux points par une variété de chemins . Par conséquent, cette différence de phase peut être observée en plaçant un solénoïde entre les fentes d'une expérience à double fente (ou équivalent). Un solénoïde idéal (c'est-à-dire infiniment long et avec une distribution de courant parfaitement uniforme) renferme un champ magnétique , mais ne produit aucun champ magnétique en dehors de son cylindre, et ainsi la particule chargée (par exemple un électron ) passant à l'extérieur ne subit aucun champ magnétique . Cependant, il existe un potentiel vectoriel ( sans boucle ) à l'extérieur du solénoïde avec un flux fermé, et donc la phase relative des particules traversant une fente ou l'autre est modifiée selon que le courant du solénoïde est activé ou désactivé. Ceci correspond à un décalage observable des franges d'interférence sur le plan d'observation. ${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Le même effet de phase est responsable de l' exigence de flux quantifié dans les boucles supraconductrices . Cette quantification se produit parce que la fonction d'onde supraconductrice doit être à valeur unique : sa différence de phase autour d'une boucle fermée doit être un multiple entier de (avec la charge pour les paires de Cooper d' électrons ), et donc le flux doit être un multiple de . Le quantum de flux supraconducteur a en fait été prédit avant Aharonov et Bohm, par F. London en 1948 à l'aide d'un modèle phénoménologique. ${\displaystyle \Delta \varphi }$${\style d'affichage 2\pi }$${\style d'affichage q=2e}$${\displaystyle h/2e}$

La première confirmation expérimentale revendiquée était par Robert G. Chambers en 1960, dans un interféromètre électronique avec un champ magnétique produit par une fine moustache de fer, et d'autres premiers travaux sont résumés dans Olariu et Popèscu (1984). Cependant, les auteurs ultérieurs ont remis en question la validité de plusieurs de ces premiers résultats, car les électrons n'ont peut-être pas été complètement protégés des champs magnétiques. Une première expérience dans laquelle un effet non ambigu Aharonov-Bohm a été observé par complètement à l' exclusion du champ magnétique de la trajectoire d'électrons (à l'aide d'un supraconducteur film) a été réalisée par Tonomura et al. en 1986. La portée et l'application de l'effet continuent de s'étendre. Webb et al. (1985) ont démontré des oscillations Aharonov-Bohm dans des anneaux métalliques ordinaires non supraconducteurs; pour une discussion, voir Schwarzschild (1986) et Imry & Webb (1989). Bachtold et al. (1999) ont détecté l'effet dans les nanotubes de carbone ; pour une discussion, voir Kong et al. (2004).

Monopoles et cordes Dirac

L'effet magnétique Aharonov-Bohm est également étroitement lié à l' argument de Dirac selon lequel l'existence d'un monopôle magnétique peut être prise en compte par les équations de Maxwell sans source magnétique existantes si les charges électriques et magnétiques sont quantifiées.

Un monopôle magnétique implique une singularité mathématique dans le potentiel vecteur, qui peut être exprimé comme une chaîne de Dirac de diamètre infinitésimal qui contient l'équivalent de tout le flux de 4π g d'un monopôle "charge" g . La chaîne de Dirac part et se termine sur un monopôle magnétique. Ainsi, en supposant l'absence d'effet de diffusion à portée infinie par ce choix arbitraire de singularité, l'exigence de fonctions d'onde à valeur unique (comme ci-dessus) nécessite une quantification de charge. C'est-à-dire qu'il doit s'agir d'un nombre entier (en unités cgs ) pour toute charge électrique q _e et charge magnétique q _m . ${\displaystyle 2{\frac {q_{\text{e}}q_{\text{m}}}{\hbar c}}}$

Comme le potentiel électromagnétique A, la corde de Dirac n'est pas invariante de jauge (elle se déplace avec des extrémités fixes sous une transformation de jauge) et n'est donc pas non plus directement mesurable.

Effet électrique

Tout comme la phase de la fonction d'onde dépend du potentiel vecteur magnétique, elle dépend également du potentiel électrique scalaire. En construisant une situation dans laquelle le potentiel électrostatique varie pour deux trajets d'une particule, à travers des régions de champ électrique nul, un phénomène d'interférence Aharonov-Bohm observable à partir du déphasage a été prédit ; encore une fois, l'absence de champ électrique signifie que, classiquement, il n'y aurait aucun effet.

D'après l' équation de Schrödinger , la phase d'une fonction propre d'énergie E va comme . L'énergie, cependant, dépendra du potentiel électrostatique V pour une particule de charge q . En particulier, pour une région à potentiel constant V (champ nul), l'énergie potentielle électrique qV est simplement ajoutée à E , ce qui entraîne un déphasage : ${\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}$

${\displaystyle \Delta \phi =-{\frac {qVt}{\hbar }},}$

où t est le temps passé dans le potentiel.

La proposition théorique initiale pour cet effet suggérait une expérience où les charges passent à travers des cylindres conducteurs le long de deux chemins, qui protègent les particules des champs électriques externes dans les régions où elles se déplacent, mais permettent toujours d'appliquer un potentiel dépendant du temps en chargeant les cylindres. Cela s'est avéré difficile à réaliser, cependant. Au lieu de cela, une expérience différente a été proposée impliquant une géométrie d'anneau interrompue par des barrières tunnel, avec une tension de polarisation constante V reliant les potentiels des deux moitiés de l'anneau. Cette situation se traduit par un déphasage Aharonov-Bohm comme ci-dessus, et a été observée expérimentalement en 1998, bien que dans une configuration où les charges traversent le champ électrique généré par la tension de polarisation. L'effet Aharonov-Bohm électrique original dépendant du temps n'a pas encore trouvé de vérification expérimentale.

Nano anneaux Aharonov-Bohm

Les nano-anneaux ont été créés par accident dans l'intention de fabriquer des points quantiques . Ils ont des propriétés optiques intéressantes associées aux excitons et à l'effet Aharonov-Bohm. L'application de ces anneaux utilisés comme condensateurs ou tampons de lumière comprend l' informatique photonique et la technologie des communications. L'analyse et la mesure des phases géométriques dans les anneaux mésoscopiques sont en cours. Il est même suggéré qu'ils pourraient être utilisés pour fabriquer une forme de verre lent .

Plusieurs expériences, dont certaines rapportées en 2012, montrent des oscillations Aharonov-Bohm dans le courant d' onde de densité de charge (CDW) par rapport au flux magnétique, de période dominante h /2 e à travers des anneaux CDW jusqu'à 85  µm de circonférence au-dessus de 77 K. Ce comportement est similaire à celui des dispositifs supraconducteurs d'interférence quantique (voir SQUID ).

Interprétation mathématique

L'effet Aharonov-Bohm peut être compris du fait que l'on ne peut mesurer que des valeurs absolues de la fonction d'onde. Bien que cela permette de mesurer les différences de phase grâce à des expériences d'interférence quantique, il n'y a aucun moyen de spécifier une fonction d'onde avec une phase absolue constante. En l'absence de champ électromagnétique, on peut s'en approcher en déclarant que la fonction propre de l'opérateur impulsion avec impulsion nulle est la fonction "1" (en ignorant les problèmes de normalisation) et en spécifiant les fonctions d'onde relatives à cette fonction propre "1". Dans cette représentation, l'opérateur i-momentum est (jusqu'à un facteur ) l'opérateur différentiel . Cependant, par invariance de jauge, il est également valable de déclarer que la fonction propre de moment nul est au prix de représenter l'opérateur de moment i (jusqu'à un facteur) comme c'est-à-dire avec un potentiel vecteur de jauge pur . Il n'y a pas de véritable asymétrie car représenter le premier en fonction du second est tout aussi désordonné que représenter le second en fonction du premier. Cela signifie qu'il est physiquement plus naturel de décrire les "fonctions" d'onde, dans le langage de la géométrie différentielle , comme des sections dans un fibré linéaire complexe avec une métrique hermitienne et une connexion U(1) . La forme de courbure de la connexion, , est, jusqu'au facteur i, le tenseur de Faraday de l' intensité du champ électromagnétique . L'effet Aharonov-Bohm est alors une manifestation du fait qu'une connexion avec une courbure nulle (c. -à- plat ), n'a pas besoin d' être trivial car il peut avoir monodromie le long d' un chemin topologiquement non triviales entièrement contenu dans la région (c. -à -libre champ) de courbure nulle. Par définition, cela signifie que les sections qui sont parallèlement traduites le long d'un chemin topologiquement non trivial prennent une phase, de sorte que les sections constantes covariantes ne peuvent pas être définies sur l'ensemble de la région sans champ. ${\displaystyle \hbar /i}$${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$${\displaystyle e^{-i\phi (x)}}$${\displaystyle \nabla _{i}=\partial _{i}+i(\partial _{i}\phi )}$${\displaystyle A=d\phi }$ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle iF=\nabla \wedge \nabla }$

Étant donné une banalisation du faisceau de lignes, une section non nulle, la connexion U(1) est donnée par la forme 1 correspondant au potentiel électromagnétique A comme où d signifie dérivation extérieure sur l' espace de Minkowski . La monodromie est l' holonomie de la connexion plate. L'holonomie d'une connexion, plate ou non, autour d'une boucle fermée est (on peut montrer que cela ne dépend pas de la banalisation mais uniquement de la connexion). Pour une connexion plate, on peut trouver une transformation de jauge dans n'importe quelle région sans champ simplement connectée (agissant sur les fonctions d'onde et les connexions) qui mesure le potentiel vectoriel. Cependant, si la monodromie n'est pas triviale, il n'y a pas de telle transformation de jauge pour l'ensemble de la région extérieure. En fait en conséquence du théorème de Stokes , l'holonomie est déterminée par le flux magnétique à travers une surface délimitant la boucle , mais une telle surface ne peut exister que si elle traverse une région de champ non trivial : ${\style d'affichage \nabla =d+iA\,}$${\style d'affichage \gamma }$${\displaystyle e^{i\int _{\gamma }A}}$${\style d'affichage \sigma }$${\style d'affichage \gamma }$${\style d'affichage \sigma }$

${\displaystyle e^{i\int _{\partial \sigma }A}=e^{i\int _{\sigma }dA}=e^{i\int _{\sigma }F}}$

La monodromie de la connexion plate ne dépend que du type topologique de la boucle dans la région libre de champ (en fait de la classe d' homologie des boucles ). La description de l'holonomie est cependant générale et fonctionne à l'intérieur comme à l'extérieur du supraconducteur. En dehors du tube conducteur contenant le champ magnétique, l'intensité du champ . Autrement dit, à l'extérieur du tube la connexion est plate, et la monodromie de la boucle contenue dans la zone sans champ ne dépend que du nombre d'enroulements autour du tube. La monodromie de la connexion pour une boucle faisant un tour (enroulement numéro 1) est le déphasage d'une particule interférant en se propageant à gauche et à droite du tube supraconducteur contenant le champ magnétique. Si l'on veut ignorer la physique à l'intérieur du supraconducteur et ne décrire la physique que dans la région extérieure, il devient naturel et mathématiquement pratique de décrire l'électron quantique par une section dans un faisceau de lignes complexe avec une connexion plate "externe" avec monodromie ${\style d'affichage F=0}$${\displaystyle \nabla }$

${\style d'affichage \alpha =}$ flux magnétique à travers le tube / ${\style d'affichage (\hbar /e)}$

plutôt qu'un champ EM externe . L'équation de Schrödinger se généralise facilement à cette situation en utilisant le laplacien de la connexion pour l'hamiltonien (libre) ${\style d'affichage F}$

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\nabla ^{*}\nabla }$.

De manière équivalente, on peut travailler dans deux régions simplement connectées avec des coupures qui passent du tube vers ou à l'opposé de l'écran de détection. Dans chacune de ces régions, les équations de Schrödinger libres ordinaires devraient être résolues, mais en passant d'une région à l'autre, dans une seule des deux composantes connexes de l'intersection (en fait dans une seule des fentes) un facteur de monodromie est capté, ce qui entraîne le déplacement de la figure d'interférence lorsque l'on modifie le flux. ${\displaystyle e^{i\alpha }}$

Des effets avec une interprétation mathématique similaire peuvent être trouvés dans d'autres domaines. Par exemple, en physique statistique classique, la quantification d'un mouvement moteur moléculaire dans un environnement stochastique peut être interprétée comme un effet Aharonov-Bohm induit par un champ de jauge agissant dans l'espace des paramètres de contrôle.

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

• DJ Thouless (1998). "§2.2 Invariance de jauge et effet Aharonov-Bohm" . Les nombres quantiques topologiques en physique non relativiste . Scientifique du monde. p. 18 et suivantes . ISBN 978-981-02-3025-8.

Liens externes

• La page de la David Bohm Society sur l'effet Aharonov-Bohm.
• Une vidéo expliquant l'utilisation de l'effet Aharonov-Bohm dans les nano-anneaux.