Apeirogon - Apeirogon

Pour le roman, voir Apeirogon (roman) .
L'apeirogon régulier
Régulier apeirogon.png
Arêtes et sommets ∞
Symbole Schläfli {∞}
Diagramme de Coxeter Nœud CDel 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
Angle interne ( degrés ) 180°
Double polygone Auto-dual
Un apeirogon peut être défini comme une partition de la ligne euclidienne en une infinité de segments de même longueur.

En géométrie , un apeirogon (des mots grecs " ἄπειρος " apeiros : " infini, sans limites " et " γωνία " gonia : " angle ") ou polygone infini est un polygone généralisé avec un nombre infini de côtés. Les apeirogons sont le cas bidimensionnel des polytopes infinis .

Dans certaines littératures, le terme « apeirogon » peut se référer uniquement à l' apeirogon régulier , avec un groupe dièdre infini de symétries .

Définitions

Définition constructive classique

Étant donné un point A 0 dans un espace euclidien et une translation S , définissez le point A i comme étant le point obtenu à partir de i applications de la translation S à A 0 , donc A i = S i (A 0 ) . L'ensemble des sommets A i avec i n'importe quel entier, avec les arêtes reliant les sommets adjacents, est une séquence de segments de longueur égale d'une ligne, et est appelé l' apeirogon régulier tel que défini par HSM Coxeter .

Un apeirogon régulier peut être défini comme une partition de la ligne euclidienne E 1 en une infinité de segments de même longueur, généralisant le n -gon régulier , qui peut être défini comme une partition du cercle S 1 en un nombre fini de segments de même longueur.

Définition abstraite moderne

Un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné P (dont les éléments sont appelés faces ) avec des propriétés modélisant celles des inclusions de faces de polytopes convexes . Le rang (ou dimension) d'un polytope abstrait est déterminé par la longueur des chaînes ordonnées maximales de ses faces, et un polytope abstrait de rang n est appelé un n -polytope abstrait .

Pour les polytopes abstraits de rang 2, cela signifie que : A) les éléments de l'ensemble partiellement ordonné sont des ensembles de sommets avec soit zéro sommet (l' ensemble vide ), un sommet, deux sommets (une arête ) ou l'ensemble de sommets entier ( un visage à deux dimensions), ordonné par inclusion d'ensembles ; B) chaque sommet appartient à exactement deux arêtes ; C) le graphe non orienté formé par les sommets et les arêtes est connexe.

Un polytope abstrait est appelé apéirotope abstrait s'il a une infinité d'éléments ; un 2-apeirotope abstrait est appelé un apeirogon abstrait .

Dans un polytope abstrait, un drapeau est une collection d'une face de chaque dimension, toutes incidentes les unes par rapport aux autres (c'est-à-dire comparables dans l'ordre partiel) ; un polytope abstrait est dit régulier s'il a des symétries (permutations préservant la structure de ses éléments) qui prennent n'importe quel drapeau à n'importe quel autre drapeau. Dans le cas d'un polytope abstrait à deux dimensions, c'est automatiquement vrai ; les symétries de l'apeirogon forment le groupe dièdre infini .

Pseudogone

Le pseudogone régulier est une partition de la ligne hyperbolique H 1 (au lieu de la ligne euclidienne) en segments de longueur 2λ, comme un analogue de l'apeirogone régulier.

Réalisations

Définition

Une réalisation d'un apeirogon abstrait est définie comme une application de ses sommets à un espace géométrique de dimension finie (typiquement un espace euclidien ) tel que chaque symétrie de l'apeirogone abstrait correspond à une isométrie des images de l'application. Deux réalisations sont dites congruentes si la bijection naturelle entre leurs ensembles de sommets est induite par une isométrie de leurs espaces euclidiens ambiants. La définition classique d'un apeirogon comme une subdivision équidistante de la ligne euclidienne est une réalisation dans ce sens, tout comme le sous-ensemble convexe dans le plan hyperbolique formé par l' enveloppe convexe de points équidistants sur un horocycle . D'autres réalisations sont possibles dans des espaces de dimension supérieure.

Symétries d'une réalisation

Le groupe dièdre infini G de symétries d'une réalisation V d'un apeirogon abstrait P est engendré par deux réflexions dont le produit traduit chaque sommet de P vers le suivant. Le produit des deux réflexions peut être décomposé en produit d'une translation non nulle, d'un nombre fini de rotations et d'une réflexion éventuellement triviale.

Espace de modules de réalisations

Généralement, l' espace des modules de réalisations d'un polytope abstrait est un cône convexe de dimension infinie. Le cône de réalisation de l'apeirogon abstrait a une dimension algébrique infiniment infinie et ne peut pas être fermé dans la topologie euclidienne .

Classification des apéirogones euclidiens

Les réalisations de polytopes abstraits à deux dimensions (incluant à la fois des polygones et des apéirogones), dans des espaces euclidiens d'au plus trois dimensions, peuvent être classées en six types :

Les apeirogones abstraits peuvent être réalisés de toutes ces manières, dans certains cas mappant une infinité de sommets différents d'un apeirogone abstrait sur un nombre fini de points de la réalisation. Un apeirogon admet aussi des réalisations de polygones en étoile et des réalisations antiprismatiques avec un ensemble non discret d'une infinité de points.

Généralisations

Dimension supérieure

Articles principaux: Apeirotope et Apeiroèdre

Les apeiroèdres sont les analogues tridimensionnels des apéirogones et sont les analogues infinis des polyèdres . Plus généralement, les n - apeirotopes ou n- polytopes infinis sont les analogues n- dimensionnels des apéirogones, et sont les analogues infinis des n - polytopes .

Voir également

Les références

Liens externes