Polygone double - Dual polygon
En géométrie , les polygones sont associés en paires appelées duales , où les sommets de l'un correspondent aux arêtes de l'autre.
Propriétés
Les polygones réguliers sont auto-duels .
Le dual d'un polygone isogonal (sommet-transitif) est un polygone isotoxal (bord-transitif). Par exemple, le rectangle (isogonal) et le losange (isotoxique) sont doubles.
Dans un polygone cyclique , les côtés plus longs correspondent à des angles extérieurs plus grands dans le double (un polygone tangentiel ) et les côtés plus courts à des angles plus petits. En outre, les côtés congruents dans le polygone d'origine donnent des angles congruents dans le double et inversement. Par exemple, le dual d'un triangle isocèle très aigu est un triangle isocèle obtus.
Dans la construction de Dorman Luke , chaque face d'un polyèdre double est le polygone double de la figure de sommet correspondante .
Dualité dans les quadrilatères
À titre d'exemple de la dualité des angles latéraux des polygones, nous comparons les propriétés des quadrilatères cycliques et tangentiels .
| Quadrilatère cyclique | Quadrilatère tangentiel |
|---|---|
| Cercle circonscrit | Cercle inscrit |
| Les bissectrices perpendiculaires des côtés sont concurrentes au centre | Les bissectrices d'angle sont concurrentes à l'incentive |
| Les sommes des deux paires d'angles opposés sont égales | Les sommes des deux paires de côtés opposés sont égales |
Cette dualité est peut-être encore plus claire lorsque l'on compare un trapèze isocèle à un cerf - volant .
| Trapèze isocèle | Cerf-volant |
|---|---|
| Deux paires d'angles adjacents égaux | Deux paires de côtés adjacents égaux |
| Une paire de côtés opposés égaux | Une paire d'angles opposés égaux |
| Un axe de symétrie passant par une paire de côtés opposés | Un axe de symétrie passant par une paire d'angles opposés |
| Cercle circonscrit | Cercle inscrit |
Types de dualité
Rectification
La construction qualitative la plus simple d'un polygone double est une opération de rectification , où les arêtes d'un polygone sont tronquées aux sommets au centre de chaque arête d'origine. De nouvelles arêtes sont formées entre ces nouveaux sommets.
Cette construction n'est pas réversible. Autrement dit, le polygone généré en l'appliquant deux fois n'est en général pas similaire au polygone d'origine.
Réciprocité polaire
Comme avec double polyèdres, on peut prendre un cercle (que ce soit le cercle inscrit , cercle circonscrit , ou si les deux existent, leur midcircle ) et effectuer un mouvement alternatif polaire en elle.
Dualité projective
Sous la dualité projective , le dual d'un point est une ligne, et d'une ligne est un point - ainsi le dual d'un polygone est un polygone, avec des arêtes de l'original correspondant aux sommets du dual et inversement.
Du point de vue de la courbe double , où à chaque point d'une courbe on associe le point dual à sa tangente en ce point, le dual projectif peut être interprété ainsi:
- chaque point sur un côté d'un polygone a la même ligne tangente, qui est en accord avec le côté lui-même - ils correspondent donc tous au même sommet dans le polygone double
- à un sommet, les "lignes tangentes" à ce sommet sont toutes les lignes passant par ce point avec un angle entre les deux arêtes - les points doubles vers ces lignes sont alors l'arête du polygone double.
Combinatoire
De manière combinatoire, on peut définir un polygone comme un ensemble de sommets, un ensemble d'arêtes et une relation d'incidence (que les sommets et les arêtes touchent): deux sommets adjacents déterminent une arête, et deux arêtes adjacentes déterminent un sommet. Ensuite, le double polygone est obtenu en changeant simplement les sommets et les arêtes.
Ainsi pour le triangle à sommets {A, B, C} et arêtes {AB, BC, CA}, le triangle dual a des sommets {AB, BC, CA}, et des arêtes {B, C, A}, où B relie AB & BC, et ainsi de suite.
Ce n'est pas une avenue particulièrement fructueuse, car en combinaison, il existe une seule famille de polygones (donnée par le nombre de côtés); la dualité géométrique des polygones est plus variée, tout comme les polyèdres doubles combinatoires .