Figure isotoxique - Isotoxal figure
En géométrie , un polytope (par exemple, un polygone ou d' un polyèdre ), ou un carrelage , est isotoxal ou bord-transitive si ses symétries agissent transitivement sur ses bords. De manière informelle, cela signifie qu'il n'y a qu'un seul type de bord à l'objet: étant donné deux bords, il y a une translation, une rotation et / ou une réflexion qui se déplacera d'un bord à l'autre, tout en laissant la région occupée par l'objet inchangée.
Le terme isotoxal est dérivé du grec τόξον signifiant arc .
Polygones isotoxiques
Un polygone isotoxal est un polygone équilatéral pair , mais tous les polygones équilatéraux ne sont pas isotoxaux. Les duals de polygones isotoxal sont des polygones isogonaux . Les 4 n -gonaux sont symétriques au centre, de même que les zonogones .
En général, un 2 n -gon isotoxal aura une symétrie dièdre D n (* nn ) . Un losange est un polygone isotoxique de symétrie D 2 (* 22). Tous les polygones réguliers ( triangle équilatéral , carré , etc.) sont isotoxaux, ayant le double de l'ordre de symétrie minimum: un n -gon régulier a une symétrie dièdre D n (* nn ).
Un isotoxal 2 n -gon peut être étiqueté comme {n α } avec l'angle le plus externe α interne. Le deuxième angle interne β peut être supérieur ou inférieur à 180 degrés, faisant des polygones convexes ou concaves. Les polygones en étoile peuvent également être isotoxiques, étiquetés comme {( n / q ) α }, avec q < n -1 et pgcd ( n , q ) = 1, avec q comme nombre de virage ou densité . Des sommets intérieurs concaves peuvent être définis pour q < n / 2. S'il y a un plus grand diviseur commun, comme a , {( na / qa ) α } peut être réduit comme un composé a {( n / q ) α }, avec une rotation copiée.
Un ensemble de pavages uniformes peut être défini avec des polygones isotoxiques comme type inférieur de faces régulières.
| Côtés (2 n ) | 4 | 6 | 8 | dix | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {n α } Convexe β <180 Concave β> 180 |
 {2 α } |
  {3 α } |
  {4 α } |
  {5 α } |
  {6 α } |
  {7 α } |
  {8 α } |
|
2 tours {( n / 2) α } |
- |
 {(3/2) α } |
 2 {2 α } |
  {(5/2) α } |
  2 {3 α } |
  {(7/2) α } |
  2 {4 α } |
| 3 tours {( n / 3) α } |
- | - |
 {(4/3) α } |
 {(5/3) α } |
 3 {2 α } |
  {(7/3) α } |
  {(8/3) α } |
| 4 tours {( n / 4) α } |
- | - | - |
 {(5/4) α } |
 2 {(3/2) α } |
 {(7/4) α } |
 4 {2 α } |
| 5 tours {( n / 5) α } |
- | - | - | - |
 {(6/5) α } |
 {(7/5) α } |
 {(8/5) α } |
| 6 tours {( n / 6) α } |
- | - | - | - | - |
 {(7/6) α } |
 2 {(4/3) α } |
| 7 tours {( n / 7) α } |
- | - | - | - | - | - |
 {(8/7) α } |
Polyèdres et carrelages isotoxiques
Les polyèdres réguliers sont isoédriques (face-transitive), isogonaux (vertex-transitive) et isotoxaux (edge-transitive).
Les polyèdres quasi- réguliers, comme le cuboctaèdre et l' icosidodécaèdre , sont isogonaux et isotoxiques, mais pas isoédriques. Leurs duels, y compris le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique , sont isoédriques et isotoxiques, mais pas isogonaux.
| Polyèdre quasi- régulier |
Double polyèdre quasi- régulier |
Polyèdre étoilé quasi- régulier |
Polyèdre double étoile quasi- régulier |
Carrelage quasi - régulier |
Double carrelage quasi-régulier |
|---|---|---|---|---|---|
 Un cuboctaèdre est un polyèdre isogonal et isotoxique |
 Un dodécaèdre rhombique est un polyèdre isoédrique et isotoxique |
 Un grand icosidodécaèdre est un polyèdre étoile isogonal et isotoxique |
 Un grand triacontaèdre rhombique est un polyèdre étoile isoédrique et isotoxique |
 Le carrelage trihexagonal est un carrelage isogonal et isotoxique |
 Le pavage rhombille est un pavage isoédrique et isotoxique de symétrie p6m (* 632). |
Pas tous polyèdre ou 2 dimensions tessellation construit à partir de polygones réguliers est isotoxal. Par exemple, l' icosaèdre tronqué (le ballon de football familier) n'est pas isotoxal, car il a deux types d'arêtes: hexagone-hexagone et hexagone-pentagone, et il n'est pas possible pour une symétrie du solide de déplacer un bord hexagone-hexagone sur un bord hexagone-pentagone.
Un polyèdre isotoxique a le même angle de dièdre pour toutes les arêtes.
Le double d'un polyèdre convexe est également un polyèdre convexe.
Le dual d'un polyèdre non convexe est également un polyèdre non convexe. (Par contraposition.)
Le double d'un polyèdre isotoxal est également un polyèdre isotoxal. (Voir l' article Dual polyèdre .)
Il existe neuf polyèdres isotoxiques convexes : les cinq solides platoniques ( réguliers ) , les deux noyaux communs ( quasi- réguliers ) de solides doubles platoniques et leurs deux duaux.
Il existe quatorze polyèdres isotoxiques non convexes: les quatre polyèdres Kepler – Poinsot (réguliers) , les deux noyaux communs (quasi - réguliers) des polyèdres doubles Kepler – Poinsot, et leurs deux duaux, plus les trois étoiles ditrigonales quasirégulières (3 | p q ) polyèdres, et leurs trois duaux.
Il existe au moins cinq composés polyédriques isotoxiques: les cinq composés polyédriques réguliers ; leurs cinq duaux sont également les cinq composés polyédriques réguliers (ou un jumeau chiral).
Il y a au moins cinq pavages polygonaux isotoxiques du plan euclidien, et une infinité de pavages polygonaux isotoxiques du plan hyperbolique, y compris les constructions de Wythoff à partir des pavages hyperboliques réguliers { p , q } et des groupes non à droite ( pqr ).
Voir également
Les références
- Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2 , p. 371 Transitivité
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings et motifs . New York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1 . (6.4 Carrelages isotoxiques, 309-321)
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954), "Uniform polyèdres", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Série A. Sciences mathématiques et physiques , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446 , S2CID 202575183