Homologie cellulaire - Cellular homology

En mathématiques , l'homologie cellulaire en topologie algébrique est une théorie d'homologie pour la catégorie des complexes CW . Il s'accorde avec l' homologie singulière et peut fournir un moyen efficace de calculer des modules d'homologie.

Définition

Si est un complexe CW avec n- squelette , les modules d'homologie cellulaire sont définis comme les groupes d'homologie H _i du complexe de chaîne cellulaire${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$

${\ displaystyle \ cdots \ à {C_ {n + 1}} (X_ {n + 1}, X_ {n}) \ à {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) \ vers {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2}) \ vers \ cdots,}$

où est considéré comme l'ensemble vide. ${\ displaystyle X _ {- 1}}$

Le groupe

${\ displaystyle {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1})}$

est un abélien libre , avec des générateurs qui peuvent être identifiés avec les -cells de . Soit une cellule de , et soit la carte jointe. Considérons ensuite la composition ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle e_ {n} ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ chi _ {n} ^ {\ alpha}: \ partial e_ {n} ^ {\ alpha} \ cong \ mathbb {S} ^ {n-1} \ à X_ {n-1}}$

${\ displaystyle \ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta}: \ mathbb {S} ^ {n-1} \, {\ stackrel {\ cong} {\ longrightarrow}} \, \ partial e_ {n} ^ {\ alpha} \, {\ stackrel {\ chi _ {n} ^ {\ alpha}} {\ longrightarrow}} \, X_ {n-1} \, {\ stackrel {q} {\ longrightarrow}} \ , X_ {n-1} / \ left (X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta} \ right) \, {\ stackrel {\ cong} {\ longrightarrow}} \, \ mathbb {S} ^ {n-1},}$

où la première carte s'identifie avec via la carte caractéristique de , l'objet est une cellule de X , la troisième carte est la carte quotient qui s'effondre en un point (s'enroulant ainsi dans une sphère ), et la dernière carte s'identifie avec via la caractéristique carte de . ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ partial e_ {n} ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle e_ {n} ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle e_ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ displaystyle e_ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n-1}}$${\ displaystyle X_ {n-1} / \ left (X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ displaystyle e_ {n-1} ^ {\ beta}}$

La carte des limites

${\ displaystyle \ partial _ {n}: {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) \ à {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n -2})}$

est alors donné par la formule

${\ displaystyle {\ partial _ {n}} (e_ {n} ^ {\ alpha}) = \ sum _ {\ beta} \ deg \ left (\ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta} \ right ) e_ {n-1} ^ {\ beta},}$

où est le degré de et la somme est prise sur toutes les cellules de , considérées comme génératrices de . ${\ displaystyle \ deg \ left (\ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta} \ right)}$${\ displaystyle \ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2})}$

Exemple

La sphère n- dimensionnelle S ⁿ admet une structure CW avec deux cellules, une cellule 0 et une cellule n . Ici, la n -cellule est attachée par le mappage constant de à 0-cellule. Puisque les générateurs des groupes de chaînes cellulaires peuvent être identifiés avec les k -cells de S ⁿ , nous avons cela pour et est autrement trivial. ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$${\ displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n})}$${\ displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n}) = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle k = 0, n,}$

Par conséquent, pour , le complexe de chaînes résultant est ${\ displaystyle n> 1}$

${\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 2}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z } {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ { 2}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z} {\ longrightarrow \,} 0,}$

mais alors comme toutes les cartes de limites sont soit vers ou depuis des groupes triviaux, elles doivent toutes être nulles, ce qui signifie que les groupes d'homologie cellulaire sont égaux à

${\ displaystyle H_ {k} (S ^ {n}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k = 0, n \\\ {0 \} & {\ text {sinon.}} \ end { cas}}}$

Lorsque , il n'est pas très difficile de vérifier que la carte des limites est nulle, ce qui signifie que la formule ci-dessus est valable pour tous les positifs . ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle \ partial _ {1}}$${\ displaystyle n}$

Comme le montre cet exemple, les calculs effectués avec l'homologie cellulaire sont souvent plus efficaces que ceux calculés en utilisant l'homologie singulière seule.

Autres propriétés

On voit à partir du complexe de chaînes cellulaires que le- squelette détermine tous les modules d'homologie de dimension inférieure: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {H_ {k}} (X) \ cong {H_ {k}} (X_ {n})}$

pour . ${\ Displaystyle k <n}$

Une conséquence importante de cette perspective cellulaire est que si un complexe CW n'a pas de cellules dans des dimensions consécutives, alors tous ses modules d'homologie sont libres. Par exemple, l' espace projectif complexe a une structure cellulaire avec une cellule dans chaque dimension paire; il s'ensuit que pour , ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$

${\ displaystyle {H_ {2k}} (\ mathbb {CP} ^ {n}; \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}}$

et

${\ displaystyle {H_ {2k + 1}} (\ mathbb {CP} ^ {n}; \ mathbb {Z}) = 0.}$

Généralisation

La séquence spectrale Atiyah-Hirzebruch est la méthode analogue de calcul de la (co) homologie d'un complexe CW, pour une théorie de (co) homologie extraordinaire arbitraire .

Caractéristique d'Euler

Pour un complexe cellulaire , soit son -ème squelette, et le nombre de cellules, c'est-à-dire le rang du module libre . La caractéristique d'Euler de est alors définie par ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle c_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {C_ {j}} (X_ {j}, X_ {j-1})}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}$

La caractéristique d'Euler est un invariant d'homotopie. En fait, en termes de nombres Betti de , ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} \ operatorname {Rang} ({H_ {j}} (X)).}$

Cela peut être justifié comme suit. Considérez la longue séquence exacte d' homologie relative pour le triple : ${\ displaystyle (X_ {n}, X_ {n-1}, \ varnothing)}$

${\ displaystyle \ cdots \ à {H_ {i}} (X_ {n-1}, \ varnothing) \ à {H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing) \ à {H_ {i}} ( X_ {n}, X_ {n-1}) \ vers \ cdots.}$

La poursuite de l'exactitude dans la séquence donne

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing)) = \ sum _ { i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ nom_opérateur {Rang} ({H_ {i}} (X_ {n}, X_ {n-1})) + \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rang} ({H_ {i}} (X_ {n-1}, \ varnothing)).}$

Le même calcul applique aux triplets , etc. Par induction, ${\ displaystyle (X_ {n-1}, X_ {n-2}, \ varnothing)}$${\ displaystyle (X_ {n-2}, X_ {n-3}, \ varnothing)}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \; \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing)) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ sum _ {i = 0} ^ {j} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rang} ({H_ {i}} (X_ {j}, X_ { j-1})) = \ somme _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}$

Références

• Albrecht Dold : Conférences sur la topologie algébrique , Springer ISBN  3-540-58660-1 .
• Allen Hatcher : Topologie algébrique , Cambridge University Press ISBN  978-0-521-79540-1 . Une version électronique gratuite est disponible sur la page d'accueil de l' auteur .