Codimension - Codimension

En mathématiques , la codimension est une idée géométrique de base qui s'applique aux sous -espaces dans les espaces vectoriels , aux sous-variétés dans les variétés et aux sous - ensembles appropriés de variétés algébriques .

Pour les variétés algébriques affines et projectives , la codimension est égale à la hauteur de l' idéal définissant . Pour cette raison, la hauteur d'un idéal est souvent appelée sa codimension.

Le double concept est la dimension relative .

Définition

La codimension est un concept relatif : elle n'est définie que pour un objet à l' intérieur d' un autre. Il n'y a pas de «codimension d'un espace vectoriel (isolément)», seulement la codimension d'un sous- espace vectoriel .

Si W est un sous - espace linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie V , alors la codimension de W dans V est la différence entre les dimensions:

${\ displaystyle \ operatorname {codim} (W) = \ dim (V) - \ dim (W).}$

C'est le complément de la dimension de W, en ce que, avec la dimension de W, il s'ajoute à la dimension de l' espace ambiant V:

${\ displaystyle \ dim (W) + \ operatorname {codim} (W) = \ dim (V).}$

De même, si N est une sous-variété ou une sous-variété dans M , alors la codimension de N dans M est

${\ displaystyle \ operatorname {codim} (N) = \ dim (M) - \ dim (N).}$

Tout comme la dimension d'une sous-variété est la dimension du faisceau tangent (le nombre de dimensions que vous pouvez déplacer sur la sous-variété), la codimension est la dimension du faisceau normal (le nombre de dimensions que vous pouvez déplacer hors de la sous-variété).

Plus généralement, si W est un sous - espace linéaire d'un espace vectoriel (de dimension éventuellement infinie) V alors la codimension de W dans V est la dimension (éventuellement infinie) de l' espace quotient V / W , qui est plus abstraitement connue sous le nom de cokernel de l'inclusion. Pour les espaces vectoriels de dimension finie, ceci est conforme à la définition précédente

${\ displaystyle \ operatorname {codim} (W) = \ dim (V / W) = \ dim \ operatorname {coker} (W \ to V) = \ dim (V) - \ dim (W),}$

et est double de la dimension relative en tant que dimension du noyau .

Les sous-espaces codimensionnels finis d'espaces de dimension infinie sont souvent utiles dans l'étude des espaces vectoriels topologiques .

Additivité de la codimension et du comptage des dimensions

La propriété fondamentale de la codimension réside dans sa relation à l' intersection : si W ₁ a la codimension k ₁ , et W ₂ a la codimension k ₂ , alors si U est leur intersection avec la codimension j on a

max ( k ₁ , k ₂ ) ≤ j ≤ k ₁ + k ₂ .

En fait, j peut prendre n'importe quelle valeur entière dans cette plage. Cette affirmation est plus claire que la traduction en termes de dimensions, car le RHS n'est que la somme des codimensions. Dans les mots

codimensions (au plus) add .

Si les sous-espaces ou sous-variétés se croisent transversalement (ce qui se produit de manière générique ), les codimensions s'ajoutent exactement.

Cette déclaration est appelée comptage de dimensions, en particulier dans la théorie des intersections .

Double interprétation

En termes d' espace double , il est tout à fait évident pourquoi les dimensions s'ajoutent. Les sous-espaces peuvent être définis par la disparition d'un certain nombre de fonctionnelles linéaires , qui si l'on prend pour être linéairement indépendantes , leur nombre est la codimension. On voit donc que U est défini en prenant l' union des ensembles de fonctionnelles linéaires définissant les W _i . Cette union peut introduire un certain degré de dépendance linéaire : les valeurs possibles de j expriment cette dépendance, la somme RHS étant le cas où il n'y a pas de dépendance. Cette définition de la codimension en termes du nombre de fonctions nécessaires pour découper un sous-espace s'étend aux situations dans lesquelles l'espace ambiant et le sous-espace sont de dimension infinie.

Dans un autre langage, qui est fondamental pour tout type de théorie des intersections , nous prenons l'union d'un certain nombre de contraintes . Nous avons deux phénomènes à surveiller:

1. les deux ensembles de contraintes peuvent ne pas être indépendants;
2. les deux ensembles de contraintes peuvent ne pas être compatibles.

Le premier d'entre eux est souvent exprimé comme le principe du comptage des contraintes : si nous avons un nombre N de paramètres à ajuster (c'est-à-dire que nous avons N degrés de liberté ), et une contrainte signifie que nous devons `` consommer '' un paramètre pour le satisfaire, alors la codimension de l' ensemble de solutions est au plus le nombre de contraintes. On ne s'attend pas à trouver une solution si la codimension prédite, c'est-à-dire le nombre de contraintes indépendantes , dépasse N (dans le cas de l'algèbre linéaire, il y a toujours une solution vectorielle triviale , nulle , qui est donc décomptée).

La seconde est une question de géométrie, sur le modèle des droites parallèles ; c'est quelque chose qui peut être discuté pour les problèmes linéaires par des méthodes d'algèbre linéaire, et pour les problèmes non linéaires dans l'espace projectif , sur le champ des nombres complexes .

En topologie géométrique

La codimension a également une signification claire en topologie géométrique : sur une variété, la codimension 1 est la dimension de la déconnexion topologique par une sous-variété, tandis que la codimension 2 est la dimension de la ramification et de la théorie des nœuds . En fait, la théorie des variétés de grande dimension, qui commence en dimension 5 et plus, peut alternativement être considérée comme commençant en codimension 3, car des codimensions plus élevées évitent le phénomène de nœuds. Étant donné que la théorie de la chirurgie nécessite de travailler jusqu'à la dimension moyenne, une fois que l'on est en dimension 5, la dimension moyenne a une codimension supérieure à 2, et donc on évite les nœuds.

Cette boutade n'est pas vide de sens: l'étude des plongements en codimension 2 est la théorie des nœuds, et difficile, tandis que l'étude des plongements en codimension 3 ou plus se prête aux outils de la topologie géométrique à haute dimension, et donc considérablement plus facile.

Voir également

• Glossaire de la géométrie différentielle et de la topologie

Les références

• "Codimension" , Encyclopédie de mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]