Cluster couplé - Coupled cluster

Le cluster couplé ( CC ) est une technique numérique utilisée pour décrire les systèmes à plusieurs corps . Son utilisation la plus courante est l'une des nombreuses méthodes de chimie quantique post-Hartree – Fock ab initio dans le domaine de la chimie computationnelle , mais elle est également utilisée en physique nucléaire . L'amas couplé reprend essentiellement la méthode de base de l'orbitale moléculaire Hartree – Fock et construit des fonctions d'onde multi-électrons en utilisant l'opérateur de cluster exponentiel pour tenir compte de la corrélation électronique . Certains des calculs les plus précis pour les molécules de taille petite à moyenne utilisent cette méthode.

La méthode a été initialement développée par Fritz Coester et Hermann Kümmel dans les années 1950 pour étudier les phénomènes de physique nucléaire, mais elle est devenue plus fréquemment utilisée lorsqu'en 1966 Jiří Čížek (et plus tard avec Josef Paldus ) a reformulé la méthode de corrélation électronique dans les atomes et les molécules . C'est maintenant l'une des méthodes les plus répandues en chimie quantique qui inclut la corrélation électronique.

La théorie CC est simplement la variante perturbative de la théorie à plusieurs électrons (MET) d' Oktay Sinanoğlu , qui est la solution exacte (et variationnelle) du problème à plusieurs électrons, elle a donc été également appelée "MET à paires couplées (CPMET)" . J. Čížek a utilisé la fonction de corrélation de MET et a utilisé la théorie des perturbations de type Goldstone pour obtenir l'expression d'énergie, alors que le MET original était complètement variationnel. Čížek a d'abord développé le CPMET linéaire, puis l'a généralisé au CPMET complet dans le même travail en 1966. Il a ensuite également effectué une application de celui-ci sur la molécule de benzène avec O. Sinanoğlu la même année. Parce que MET est quelque peu difficile à effectuer par calcul, CC est plus simple et donc, dans la chimie de calcul d'aujourd'hui, CC est la meilleure variante de MET et donne des résultats très précis par rapport aux expériences.

Fonction d'onde Ansatz

La théorie des clusters couplés fournit la solution exacte à l'équation de Schrödinger indépendante du temps

{\ displaystyle H | \ Psi \ rangle = E | \ Psi \ rangle,}

où est l' hamiltonien du système, est la fonction d'onde exacte, et E est l'énergie exacte de l'état fondamental. La théorie des clusters couplés peut également être utilisée pour obtenir des solutions pour les états excités en utilisant, par exemple, des approches de clusters couplés multi-références à réponse linéaire , équation de mouvement , multi-références universelles ou valence-universelles . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$

La fonction d'onde de la théorie des clusters couplés s'écrit comme un ansatz exponentiel :

{\ displaystyle | \ Psi \ rangle = e ^ {T} | \ Phi _ {0} \ rangle,}

où est la fonction d'onde de référence, qui est généralement un déterminant de Slater construit à partir d' orbitales moléculaires Hartree – Fock , bien que d'autres fonctions d'onde telles que l' interaction de configuration , le champ auto-cohérent multi-configuration ou les orbitales de Brueckner puissent également être utilisées. est l'opérateur de cluster, qui, lorsqu'il agit sur , produit une combinaison linéaire de déterminants excités à partir de la fonction d'onde de référence (voir la section ci-dessous pour plus de détails). ${\ displaystyle | \ Phi _ {0} \ rangle}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle | \ Phi _ {0} \ rangle}$

Le choix de l'ansatz exponentiel est opportun car (contrairement aux autres ansatzes, par exemple, l' interaction de configuration ), il garantit l' extensivité de la taille de la solution. La cohérence de taille dans la théorie CC, contrairement à d'autres théories, ne dépend pas de la cohérence de taille de la fonction d'onde de référence. Cela se voit facilement, par exemple, dans la rupture de liaison simple de F ₂ lors de l'utilisation d'une référence Hartree – Fock (RHF) restreinte, qui n'est pas cohérente en taille, au niveau de théorie CCSDT (couplage simple-double-triple) , qui fournit une surface d'énergie potentielle presque exacte, de qualité CI complète et ne dissocie pas la molécule en ions F ^- et F ⁺ , comme la fonction d'onde RHF, mais plutôt en deux atomes F neutres. Si l'on utilisait, par exemple, les niveaux de théorie CCSD ou CCSD (T), ils ne fourniraient pas de résultats raisonnables pour la rupture de liaison de F ₂ , ce dernier se rapprochant des surfaces d'énergie potentielle non physique, bien que ce soit pour des raisons autre que la cohérence de la taille.

Une critique de la méthode est que l'implémentation conventionnelle employant l'hamiltonien transformé par similitude (voir ci-dessous) n'est pas variationnelle , bien qu'il existe des approches bi-variationnelles et quasi-variationnelles qui ont été développées depuis les premières implémentations de la théorie. Bien que l'ansatz ci-dessus pour la fonction d'onde elle-même n'ait pas de troncature naturelle, cependant, pour d'autres propriétés, telles que l'énergie, il y a une troncature naturelle lors de l'examen des valeurs d'espérance, qui a sa base dans les théorèmes d'amas liés et connectés, et donc ne souffre pas de problèmes tels que le manque d'extensivité de taille, comme l'approche variationnelle configuration-interaction.

Opérateur de cluster

L'opérateur de cluster est écrit sous la forme

{\ displaystyle T = T_ {1} + T_ {2} + T_ {3} + \ cdots,}

où est l'opérateur de toutes les excitations simples, est l'opérateur de toutes les doubles excitations, et ainsi de suite. Dans le formalisme de la seconde quantification, ces opérateurs d'excitation sont exprimés comme ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$

{\ displaystyle T_ {1} = \ sum _ {i} \ sum _ {a} t_ {a} ^ {i} {\ hat {a}} ^ {a} {\ hat {a}} _ {i} ,}

{\ displaystyle T_ {2} = {\ frac {1} {4}} \ sum _ {i, j} \ sum _ {a, b} t_ {ab} ^ {ij} {\ hat {a}} ^ {a} {\ hat {a}} ^ {b} {\ hat {a}} _ {j} {\ hat {a}} _ {i},}

et pour l' opérateur général de cluster n- fois

{\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {1} {(n!) ^ {2}}} \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {n}} \ sum _ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}} t_ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}} ^ {i_ {1}, i_ {2} , \ ldots, i_ {n}} {\ hat {a}} ^ {a_ {1}} {\ hat {a}} ^ {a_ {2}} \ ldots {\ hat {a}} ^ {a_ { n}} {\ hat {a}} _ {i_ {n}} \ ldots {\ hat {a}} _ {i_ {2}} {\ hat {a}} _ {i_ {1}}.}

Dans les formules ci-dessus, et désignent respectivement les opérateurs de création et d'annihilation , tandis que i , j représentent les orbitales (états) occupées (trou) et a , b . Les opérateurs de création et d'annihilation dans les termes de cluster couplé ci-dessus sont écrits sous forme canonique, où chaque terme est dans la forme d' ordre normal , par rapport au vide de Fermi . Être l'opérateur de cluster à une particule et l'opérateur de cluster à deux particules, et convertir la fonction de référence en une combinaison linéaire des déterminants de Slater à excitation unique et double respectivement, si elle est appliquée sans l'exponentiel (comme dans CI , où un opérateur d'excitation linéaire est appliquée à la fonction d'onde). En appliquant l'opérateur de cluster exponentiel à la fonction d'onde, on peut alors générer plus de déterminants doublement excités en raison des différentes puissances de et qui apparaissent dans les expressions résultantes (voir ci-dessous). Résolution des coefficients inconnus et est nécessaire pour trouver la solution approchée . ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {a} = {\ hat {a}} _ {a} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i}}$ ${\ displaystyle | \ Phi _ {0} \ rangle}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ ${\ displaystyle | \ Phi _ {0} \ rangle}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ ${\ displaystyle t_ {a} ^ {i}}$ ${\ displaystyle t_ {ab} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$

L'opérateur exponentiel peut être développé comme une série de Taylor , et si nous considérons uniquement les opérateurs de cluster et de , nous pouvons écrire ${\ displaystyle e ^ {T}}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle e ^ {T} = 1 + T + {\ frac {1} {2!}} T ^ {2} + \ cdots = 1 + T_ {1} + T_ {2} + {\ frac {1} {2}} T_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} T_ {1} T_ {2} + {\ frac {1} {2}} T_ {2} T_ {1} + {\ frac {1} {2}} T_ {2} ^ {2} + \ cdots}

Bien qu'en pratique cette série soit finie parce que le nombre d'orbitales moléculaires occupées est fini, tout comme le nombre d'excitations, elle est encore très grande, dans la mesure où même les ordinateurs massivement parallèles modernes sont insuffisants, sauf pour des problèmes d'une douzaine. ou alors des électrons et de très petits ensembles de base, lorsque l'on considère toutes les contributions à l'opérateur de cluster et pas seulement et . Souvent, comme cela a été fait ci-dessus, l'opérateur de cluster n'inclut que les simples et les doubles (voir CCSD ci-dessous) car cela offre une méthode de calcul abordable qui fonctionne mieux que MP2 et CISD, mais n'est généralement pas très précise. Pour des résultats précis, certaines formes de triplets (approximatifs ou complets) sont nécessaires, même près de la géométrie d'équilibre (dans la région de Franck-Condon ), et en particulier lors de la rupture de liaisons simples ou de la description d' espèces diradicales (ces derniers exemples sont souvent ce que l'on appelle problèmes multi-références, car plus d'un déterminant a une contribution significative à la fonction d'onde résultante). Pour la rupture de double liaison et les problèmes plus compliqués en chimie, les excitations quadruples deviennent souvent également importantes, bien qu'elles aient généralement de petites contributions pour la plupart des problèmes, et en tant que telles, la contribution de , etc. à l'opérateur est généralement faible. De plus, si le niveau d'excitation le plus élevé de l' opérateur est n , ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ ${\ displaystyle T_ {5}}$ ${\ displaystyle T_ {6}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle T = T_ {1} + ... + T_ {n},}

alors les déterminants de Slater pour un système à N électrons excité plus de ( ) fois peuvent encore contribuer à la fonction d'onde de cluster couplé en raison de la nature non linéaire de l'ansatz exponentiel, et par conséquent, un cluster couplé terminé à récupère généralement plus d'énergie de corrélation que CI avec n excitations maximales . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle <N}$ ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$ ${\ displaystyle T_ {n}}$

Équations de cluster couplé

L'équation de Schrödinger peut être écrite, en utilisant la fonction d'onde de cluster couplé, comme

{\ displaystyle H | \ Psi _ {0} \ rangle = He ^ {T} | \ Phi _ {0} \ rangle = Ee ^ {T} | \ Phi _ {0} \ rangle,}

où il y a un total de q coefficients ( t- amplitudes) à résoudre. Pour obtenir les q équations, tout d'abord, nous multiplions l'équation de Schrödinger ci-dessus à gauche par , puis nous projetons sur l'ensemble complet de jusqu'à m déterminants totalement excités, où m est l'excitation d'ordre le plus élevé incluse dans qui peut être construite à partir de fonction d'onde de référence , désignée par . Individuellement, sont des déterminants excités individuellement où l'électron de l'orbitale i a été excité vers l'orbitale a ; sont des déterminants doublement excités où l'électron de l'orbitale i a été excité vers l'orbitale a et l'électron de l'orbite j a été excité vers l'orbitale b , etc. De cette façon, nous générons un ensemble d'équations algébriques non linéaires indépendantes de l'énergie couplées nécessaires pour déterminer les t- amplitudes: ${\ displaystyle e ^ {- T}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle | \ Phi _ {0} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Phi ^ {*} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Phi _ {i} ^ {a} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Phi _ {ij} ^ {ab} \ rangle}$

{\ displaystyle \ langle \ Phi _ {0} | e ^ {- T} He ^ {T} | \ Phi _ {0} \ rangle = E \ langle \ Phi _ {0} | \ Phi _ {0} \ rangle = E,}

{\ displaystyle \ langle \ Phi ^ {*} | e ^ {- T} He ^ {T} | \ Phi _ {0} \ rangle = E \ langle \ Phi ^ {*} | \ Phi _ {0} \ rangle = 0,}

la seconde étant les équations à résoudre, et la première l'équation pour l'évaluation de l'énergie. (Notez que nous avons utilisé l'opérateur d'identité, et supposons également que les orbitales sont orthogonales, bien que cela ne soit pas nécessairement vrai, par exemple, les orbitales de liaison de valence peuvent être utilisées, et dans de tels cas, le dernier ensemble d'équations est pas nécessairement égal à zéro.) ${\ displaystyle e ^ {- T} e ^ {T} = 1}$

Compte tenu de la méthode de base CCSD:

{\ displaystyle \ langle \ Phi _ {0} | e ^ {- (T_ {1} + T_ {2})} He ^ {(T_ {1} + T_ {2})} | \ Phi _ {0} \ rangle = E,}

{\ displaystyle \ langle \ Phi _ {i} ^ {a} | e ^ {- (T_ {1} + T_ {2})} He ^ {(T_ {1} + T_ {2})} | \ Phi _ {0} \ rangle = 0,}

{\ displaystyle \ langle \ Phi _ {ij} ^ {ab} | e ^ {- (T_ {1} + T_ {2})} He ^ {(T_ {1} + T_ {2})} | \ Phi _ {0} \ rangle = 0,}

dans lequel l'hamiltonien transformé par similitude peut être explicitement écrit en utilisant la formule de Hadamard dans l'algèbre de Lie, également appelée lemme de Hadamard (voir aussi la formule de Baker – Campbell – Hausdorff (formule BCH), mais notez qu'elles sont différentes, en ce que la formule d'Hadamard est un lemme de la formule BCH): ${\ displaystyle {\ bar {H}}}$

{\ displaystyle {\ bar {H}} = e ^ {- T} He ^ {T} = H + [H, T] + {\ frac {1} {2!}} {\ big [} [H, T ], T {\ big]} + \ dots = (He ^ {T}) _ {C}.}

L'indice C désigne la partie connectée de l'expression d'opérateur correspondante.

Le hamiltonien transformé par similitude qui en résulte est non hermitien, ce qui entraîne des vecteurs gauche et droit différents (fonctions d'onde) pour le même état d'intérêt (c'est ce que l'on appelle souvent dans la théorie des amas couplés la biorthogonalité de la solution, ou vague fonction, bien que cela s'applique également à d'autres théories non hermitiennes). Les équations résultantes sont un ensemble d'équations non linéaires, qui sont résolues de manière itérative. Les progiciels de chimie quantique standard ( GAMESS (US) , NWChem , ACES II , etc.) résolvent les équations de cluster couplé en utilisant la méthode Jacobi et l'inversion directe du sous-espace itératif ( DIIS ) extrapolation des t- amplitudes pour accélérer la convergence.

Types de méthodes de cluster couplé

La classification des méthodes traditionnelles en cluster couplé repose sur le plus grand nombre d'excitations autorisées dans la définition de . Les abréviations des méthodes de cluster couplé commencent généralement par les lettres «CC» (pour «couplé cluster») suivies de ${\ displaystyle T}$

S - pour les excitations simples (abrégé en simples dans la terminologie de cluster couplé),
D - pour les doubles excitations ( doubles ),
T - pour les excitations triples ( triples ),
Q - pour les excitations quadruples ( quadruples ).

Ainsi, l' opérateur dans CCSDT a la forme ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle T = T_ {1} + T_ {2} + T_ {3}.}

Les termes entre parenthèses indiquent que ces termes sont calculés sur la base de la théorie des perturbations . Par exemple, la méthode CCSD (T) signifie:

Cluster couplé avec un traitement complet simple et double.
Une estimation de la contribution des triplets connectés est calculée de manière non itérative en utilisant les arguments de la théorie des perturbations à plusieurs corps .

Description générale de la théorie

La complexité des équations et des codes informatiques correspondants, ainsi que le coût du calcul, augmente fortement avec le niveau d'excitation le plus élevé. Pour de nombreuses applications, le CCSD, bien que relativement peu coûteux, ne fournit pas une précision suffisante sauf pour les plus petits systèmes (environ 2 à 4 électrons), et souvent un traitement approximatif des triplets est nécessaire. La méthode de cluster couplé la plus connue qui fournit une estimation des triplets connectés est CCSD (T), qui fournit une bonne description des molécules à coque fermée près de la géométrie d'équilibre, mais se décompose dans des situations plus compliquées telles que la rupture de liaison et les diradicaux. Une autre méthode populaire qui compense les échecs de l'approche CCSD (T) standard est CR -CC (2,3), où la contribution des triplets à l'énergie est calculée à partir de la différence entre la solution exacte et l'énergie CCSD et n'est pas basé sur des arguments de la théorie des perturbations. Des méthodes de cluster couplé plus complexes telles que CCSDT et CCSDTQ ne sont utilisées que pour des calculs de haute précision de petites molécules. L'inclusion de tous les n niveaux d'excitation pour le système à n électrons donne la solution exacte de l' équation de Schrödinger dans l' ensemble de base donné , dans l' approximation de Born-Oppenheimer (bien que des schémas aient également été élaborés pour fonctionner sans l'approximation BO).

Une amélioration possible de l'approche standard en cluster couplé est d'ajouter des termes linéaires dans les distances interélectroniques grâce à des méthodes telles que CCSD-R12. Cela améliore le traitement de la corrélation électronique dynamique en satisfaisant la condition de la cuspide de Kato et accélère la convergence par rapport à l'ensemble de base orbitale. Malheureusement, les méthodes R12 invoquent la résolution de l'identité , ce qui nécessite un ensemble de base relativement large pour être une bonne approximation.

La méthode de cluster couplé décrite ci-dessus est également connue sous le nom de méthode de cluster couplé à référence unique (SR) car l'ansatz exponentiel n'implique qu'une fonction de référence . Les généralisations standard de la méthode SR-CC sont les approches multi-références (MR): cluster couplé universel d'état (également connu sous le nom de cluster couplé à l' espace de Hilbert ), cluster couplé universel de valence (ou cluster couplé à l' espace Fock ) et sélectif d'état cluster couplé (ou cluster couplé spécifique à un état). ${\ displaystyle | \ Phi _ {0} \ rangle}$

Comptes historiques

Commentaires de Kümmel:

Compte tenu du fait que la méthode CC était bien comprise vers la fin des années cinquante [,] il semble étrange que rien ne se soit passé avec elle avant 1966, lorsque Jiří Čížek a publié son premier article sur un problème de chimie quantique. Il avait examiné les articles de 1957 et 1960 publiés dans Nuclear Physics par Fritz et moi-même. J'ai toujours trouvé assez remarquable qu'un chimiste quantique ouvre un numéro d'une revue de physique nucléaire. J'avais moi-même à l'époque presque abandonné la méthode CC comme non traitable et, bien sûr, je n'ai jamais regardé dans les journaux de chimie quantique. Le résultat a été que j'ai appris le travail de Jiří aussi tard qu'au début des années soixante-dix, quand il m'a envoyé un gros colis avec des réimpressions des nombreux articles que lui et Joe Paldus avaient écrits jusque-là.

Josef Paldus a également écrit son récit de première main sur les origines de la théorie des clusters couplés, sa mise en œuvre et son exploitation dans la détermination électronique de la fonction d'onde; son exposé porte principalement sur l'élaboration de la théorie des clusters couplés plutôt que sur la théorie elle-même.

Relation avec d'autres théories

Interaction de configuration

Les opérateurs d'excitation C _j définissant l'expansion CI d'un système à N électrons pour la fonction d'onde , ${\ displaystyle | \ Psi _ {0} \ rangle}$

{\ displaystyle | \ Psi _ {0} \ rangle = (1 + C) | \ Phi _ {0} \ rangle,}

{\ displaystyle C = \ sum _ {j = 1} ^ {N} C_ {j},}

sont liés aux opérateurs de cluster , puisque dans la limite d'inclure jusqu'à dans l'opérateur de cluster, la théorie CC doit être égale à CI complet, nous obtenons les relations suivantes ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T_ {N}}$

{\ displaystyle C_ {1} = T_ {1},}

{\ displaystyle C_ {2} = T_ {2} + {\ frac {1} {2}} (T_ {1}) ^ {2},}

{\ displaystyle C_ {3} = T_ {3} + T_ {1} T_ {2} + {\ frac {1} {6}} (T_ {1}) ^ {3},}

{\ displaystyle C_ {4} = T_ {4} + {\ frac {1} {2}} (T_ {2}) ^ {2} + T_ {1} T_ {3} + {\ frac {1} { 2}} (T_ {1}) ^ {2} T_ {2} + {\ frac {1} {24}} (T_ {1}) ^ {4},}

etc. Pour les relations générales, voir J. Paldus, dans Methods in Computational Molecular Physics , Vol. 293 de l' OTAN Advanced Study Institute Series B: Physics , édité par S. Wilson et G. H. F. Diercksen (Plenum, New York, 1992), pp. 99–194.

Cluster adapté à la symétrie

L'approche de cluster adapté à la symétrie (SAC) détermine l'opérateur de cluster adapté à la symétrie (spin et)

{\ displaystyle S = \ sum _ {I} S_ {I}}

en résolvant le système suivant d'équations dépendant de l'énergie:

{\ displaystyle \ langle \ Phi | (H-E_ {0}) e ^ {S} | \ Phi \ rangle = 0,}

{\ displaystyle \ langle \ Phi _ {i_ {1} \ ldots i_ {n}} ^ {a_ {1} \ ldots a_ {n}} | (H-E_ {0}) e ^ {S} | \ Phi \ rangle = 0,}

{\ displaystyle i_ {1} <\ cdots <i_ {n}, \ quad a_ {1} <\ cdots <a_ {n}, \ quad n = 1, \ dots, M_ {s},}

où sont les déterminants n -tuplement excités par rapport à (généralement, dans les implémentations pratiques, ce sont les fonctions d'état de configuration adaptées au spin et à la symétrie), et est l'ordre le plus élevé d'excitation inclus dans l'opérateur SAC. Si tous les termes non linéaires de sont inclus, les équations SAC deviennent alors équivalentes aux équations de cluster couplées standard de Jiří Čížek. Cela est dû à l'annulation des termes dépendants de l'énergie, les termes déconnectés contribuant au produit de , ce qui donne le même ensemble d'équations non linéaires indépendantes de l'énergie. En règle générale, tous les termes non linéaires, sauf sont supprimés, car les termes non linéaires d'ordre supérieur sont généralement petits. ${\ displaystyle | \ Phi _ {i_ {1} \ ldots i_ {n}} ^ {a_ {1} \ ldots a_ {n}} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Phi \ rangle}$ ${\ displaystyle M_ {s}}$ ${\ displaystyle e ^ {S}}$ ${\ displaystyle He ^ {S}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} S_ {2} ^ {2}}$

Utilisation en physique nucléaire

En physique nucléaire, les grappes couplées ont été beaucoup moins utilisées qu'en chimie quantique au cours des années 1980 et 1990. Des ordinateurs plus puissants, ainsi que des avancées théoriques (telles que l'inclusion d' interactions à trois nucléons ), ont depuis lors suscité un regain d'intérêt pour la méthode, et elle a été appliquée avec succès aux noyaux riches en neutrons et de masse moyenne. L'amas couplé est l'une des nombreuses méthodes ab initio de la physique nucléaire et convient spécifiquement aux noyaux ayant des coquilles fermées ou presque fermées .

Voir également

Programmes informatiques de chimie quantique

Languages

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