Courbe deltoïde - Deltoid curve

En géométrie , une courbe deltoïde , également appelée courbe tricuspoïde ou courbe de Steiner , est un hypocycloïde à trois cuspides . En d'autres termes, c'est la roulette créée par un point sur la circonférence d'un cercle qui roule sans glisser le long de l'intérieur d'un cercle de trois ou une fois et demie de rayon. Il est nommé d'après la lettre grecque delta à laquelle il ressemble.

Plus largement, un deltoïde peut faire référence à n'importe quelle figure fermée avec trois sommets reliés par des courbes concaves à l'extérieur, faisant des points intérieurs un ensemble non convexe.

Équations

Un deltoïde peut être représenté (jusqu'à rotation et translation) par les équations paramétriques suivantes

${\ displaystyle x = (ba) \ cos (t) + a \ cos \ left ({\ frac {ba} {a}} t \ right) \,}$

${\ Displaystyle y = (ba) \ sin (t) -a \ sin \ left ({\ frac {ba} {a}} t \ right) \ ,,}$

où a est le rayon du cercle de roulement, b est le rayon du cercle à l'intérieur duquel le cercle susmentionné roule. (Dans l'illustration ci-dessus, b = 3a .)

En coordonnées complexes, cela devient

${\ displaystyle z = 2ae ^ {it} + ae ^ {- 2it}}$.

La variable t peut être éliminée de ces équations pour donner l'équation cartésienne

${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} + 18a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 27a ^ {4} = 8a (x ^ {3} -3xy ^ {2}), \,}$

donc le deltoïde est une courbe algébrique plane de degré quatre. En coordonnées polaires, cela devient

${\ displaystyle r ^ {4} + 18a ^ {2} r ^ {2} -27a ^ {4} = 8ar ^ {3} \ cos 3 \ theta \ ,.}$

La courbe a trois singularités, les cuspides correspondant à . La paramétrisation ci-dessus implique que la courbe est rationnelle, ce qui implique qu'elle a un genre zéro. ${\ displaystyle t = 0, \, \ pm {\ tfrac {2 \ pi} {3}}}$

Un segment de ligne peut glisser avec chaque extrémité sur le deltoïde et rester tangent au deltoïde. Le point de tangence se déplace deux fois autour du deltoïde tandis que chaque extrémité le contourne une fois.

La double courbe du deltoïde est

${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} - (3x + 1) y ^ {2} = 0, \,}$

qui a un double point à l'origine qui peut être rendu visible pour le tracé par une rotation imaginaire y ↦ iy, donnant la courbe

${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} + (3x + 1) y ^ {2} = 0 \,}$

avec un double point à l'origine du plan réel.

Superficie et périmètre

L'aire du deltoïde est là où à nouveau a est le rayon du cercle roulant; ainsi l'aire du deltoïde est le double de celle du cercle roulant. ${\ displaystyle 2 \ pi a ^ {2}}$

Le périmètre (longueur totale de l'arc) du deltoïde est de 16 a .

Histoire

Les cycloïdes ordinaires ont été étudiés par Galileo Galilei et Marin Mersenne dès 1599, mais les courbes cycloïdales ont été conçues pour la première fois par Ole Rømer en 1674 lors de l'étude de la meilleure forme pour les dents d'engrenage. Leonhard Euler revendique la première considération du deltoïde réel en 1745 en relation avec un problème optique.

Applications

Les deltoïdes apparaissent dans plusieurs domaines des mathématiques. Par exemple:

• L'ensemble des valeurs propres complexes des matrices unistochastiques d'ordre trois forme un deltoïde.
• Une coupe transversale de l'ensemble des matrices unistochastiques d'ordre trois forme un deltoïde.
• L'ensemble des traces possibles de matrices unitaires appartenant au groupe SU (3) forme un deltoïde.
• L'intersection de deux deltoïdes paramètre une famille de matrices complexes d'Hadamard d'ordre six.
• L'ensemble de toutes les lignes de Simson d'un triangle donné, forme une enveloppe en forme de deltoïde. Ceci est connu sous le nom de deltoïde de Steiner ou hypocycloïde de Steiner d'après Jakob Steiner qui a décrit la forme et la symétrie de la courbe en 1856.
• L' enveloppe de l' aire bissectrice d'un triangle est un deltoïde (au sens large défini ci-dessus) avec des sommets au milieu des médianes . Les côtés du deltoïde sont des arcs de hyperboles qui sont asymptotiques aux côtés du triangle. [1]
• Un deltoïde a été proposé comme solution au problème de l' aiguille de Kakeya .

Voir également

• Astroïde , une courbe à quatre cuspides
• Pseudotriangle
• Triangle de Reuleaux
• Superellipse
• Couple Tusi
• Kite (géométrie) , également appelé deltoïde

Les références

• EH Lockwood (1961). "Chapitre 8: Le deltoïde". Un livre de courbes . La presse de l'Universite de Cambridge.
• J. Dennis Lawrence (1972). Un catalogue de courbes planes spéciales . Publications de Douvres. pp.  131-134 . ISBN 0-486-60288-5.
• Wells D (1991). Le dictionnaire Penguin de la géométrie curieuse et intéressante . New York: livres de pingouin. p.  52 . ISBN 0-14-011813-6.
• "Tricuspoid" à l'index des courbes célèbres de MacTutor
• "Deltoïde" à MathCurve
• Sokolov, DD (2001) [1994], "Courbe de Steiner" , Encyclopédie de mathématiques , EMS Press