Schéma dérivé - Derived scheme

Dans la géométrie algébrique , un système dérivé est une paire constituée d'un espace topologique X et un faisceau de spectres d'anneau commutatif sur X tel que (1) la paire est un schéma et (2) est un quasi-cohérent - le module . La notion donne une homotopie -généralisation théorique d'un schéma. ${\style d'affichage (X,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle (X,\pi _{0}{\mathcal {O}})}$${\displaystyle \pi _{k}{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \pi _{0}{\mathcal {O}}}$

Une pile dérivée est une généralisation empilable d'un schéma dérivé.

Schéma gradué différentiel

Sur un corps de caractéristique zéro, la théorie est équivalente à celle d'un schéma différentiel gradué. Par définition, un schéma gradué différentiel est obtenu en collant des schémas gradués différentiels affines, par rapport à la topologie étale . Il a été introduit par Maxim Kontsevich « comme la première approche de la géométrie algébrique dérivée ». et a été développé par Mikhail Kapranov et Ionut Ciocan-Fontanine.

Connexion avec anneaux gradués différentiels et exemples

Tout comme la géométrie algébrique affine est équivalente (au sens catégorique ) à la théorie des anneaux commutatifs (communément appelée algèbre commutative ), la géométrie algébrique dérivée affine sur zéro caractéristique est équivalente à la théorie des anneaux gradués différentiels commutatifs . L'un des principaux exemples de schémas dérivés provient de l'intersection dérivée de sous-schémas d'un schéma, donnant le complexe de Koszul . Par exemple, let , alors nous pouvons obtenir un schéma dérivé ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]=R}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} } \cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})\right)}$

où

${\displaystyle {\textbf {RSpec}} :({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}}$

est le spectre étale . Puisque nous pouvons construire une résolution

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_ {i})&\à 0\end{matrice}}}$

l' anneau dérivé est le complexe de koszul . La troncature de ce schéma dérivé en amplitude fournit un modèle classique motivant la géométrie algébrique dérivée. Notez que si nous avons un schéma projectif ${\displaystyle R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})}$${\displaystyle K_{R}(f_{1},\ldots ,f_{k})}$${\style d'affichage [-1,0]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k}) }}\droit)}$

où nous pouvons construire le schéma dérivé où ${\displaystyle \deg(f_{i})=d_{i}}$${\displaystyle (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k} ){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]}$

avec amplitude ${\style d'affichage [-1,0]}$

Complexe cotangent

Construction

Soit une algèbre différentielle graduée définie sur un corps de caractéristique . Alors une algèbre graduée -différentielle est dite semi-libre si les conditions suivantes sont remplies : ${\style d'affichage (A_{\bullet },d)}$${\style d'affichage 0}$${\displaystyle A_{\bullet }}$${\style d'affichage (R_{\bullet },d_{R})}$

1. L'algèbre graduée sous-jacente est une algèbre polynomiale sur , ce qui signifie qu'elle est isomorphe à${\displaystyle R_{\bullet }}$${\displaystyle A_{\bullet }}$${\displaystyle A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
2. Il existe un filtrage sur l'ensemble d'indexation où et pour tout .${\displaystyle \varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots }$${\style d'affichage I}$${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I}$${\displaystyle s(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]}$${\displaystyle x_{i}\in I_{n+1}}$

Il s'avère que toute algèbre différentielle graduée admet un quasi-isomorphisme surjectif à partir d'une algèbre différentielle graduée semi-libre , appelée résolution semi-libre. Ceux-ci sont uniques jusqu'à l'équivalence d'homotopie dans une catégorie de modèle appropriée. Le complexe cotangent (relatif) d'une algèbre graduée -différentielle peut être construit en utilisant une résolution semi-libre : il est défini comme ${\displaystyle A_{\bullet }}$${\style d'affichage (A_{\bullet },d)}$${\style d'affichage (A_{\bullet },d)}$${\style d'affichage (B_{\bullet },d_{B})}$${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})}$

${\displaystyle \mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }} B_{\puce }}$

De nombreux exemples peuvent être construits en prenant l'algèbre représentant une variété sur un corps de caractéristique 0, en trouvant une présentation de comme un quotient d'une algèbre polynomiale et en prenant le complexe de Koszul associé à cette présentation. Le complexe de Koszul agit comme une résolution semi-libre de l'algèbre différentielle graduée où est l'algèbre graduée avec la pièce graduée non triviale au degré 0. ${\style d'affichage B}$${\style d'affichage R}$${\style d'affichage (B_{\bullet },0)}$${\displaystyle B_{\bullet }}$

Exemples

Le complexe cotangent d'une hypersurface peut être facilement calculé : puisque nous avons le dga représentant le rehaussement dérivé de , nous pouvons calculer le complexe cotangent comme ${\displaystyle X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\style d'affichage K_{R}(f)}$${\style d'affichage X}$

${\displaystyle 0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0}$

où et est la dérivation universelle habituelle. Si nous prenons une intersection complète, alors le complexe de koszul ${\displaystyle \Phi (gds)=g\cdot df}$${\style d'affichage d}$

${\displaystyle R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb { C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}] }^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}}$

est quasi-isomorphe au complexe

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].}$

Cela implique que nous pouvons construire le complexe cotangent de l'anneau dérivé comme le produit tensoriel du complexe cotangent ci-dessus pour chacun . ${\displaystyle R^{\bullet }}$${\displaystyle f_{i}}$

Remarques

Veuillez noter que le complexe cotangent dans le contexte de la géométrie dérivée diffère du complexe cotangent des schémas classiques. A savoir, s'il y avait une singularité dans l'hypersurface définie par alors le complexe cotangent aurait une amplitude infinie. Ces observations fournissent une motivation pour la philosophie de lissage caché de la géométrie dérivée puisque nous travaillons maintenant avec un complexe de longueur finie. ${\style d'affichage f}$

Complexes Tangents

Fonctions polynomiales

Étant donné une fonction polynomiale, considérons le diagramme de retrait (homotopie) ${\displaystyle f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A } ^{m}\end{matrice}}}$

où la flèche du bas est l'inclusion d'un point à l'origine. Alors, le schéma dérivé a un complexe tangent à est donné par le morphisme ${\style d'affichage Z}$${\style d'affichage x\dans Z}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}}$

où le complexe est d'amplitude . Notez que l'espace tangent peut être récupéré en utilisant et les mesures à quelle distance se trouve un point lisse. ${\style d'affichage [-1,0]}$${\displaystyle H^{0}}$${\displaystyle H^{-1}}$${\style d'affichage x\dans Z}$

Quotients d'empilement

Étant donné une pile, il y a une belle description pour le complexe tangent : ${\style d'affichage [X/G]}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X}$

Si le morphisme n'est pas injectif, le mesure à nouveau à quel point l'espace est singulier. De plus, la caractéristique euler de ce complexe donne la dimension (virtuelle) correcte de la pile de quotient. En particulier, si nous regardons la pile de modules des principaux -fibrés, alors le complexe tangent est juste . ${\displaystyle H^{-1}}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}[+1]}$

Schémas dérivés dans la théorie Morse complexe

Les schémas dérivés peuvent être utilisés pour analyser les propriétés topologiques des variétés affines. Par exemple, considérons une variété affine lisse . Si nous prenons une fonction régulière et considérons la section de${\displaystyle M\sous-ensemble \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega _{M}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma _{df}:M\to \Omega _{M}\\x\mapsto (x,df(x))\end{cases}}}$

Ensuite, nous pouvons prendre le diagramme de retrait dérivé

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &M\\\downarrow &&\downarrow 0\\M&{\xrightarrow {\Gamma _{df}}}&\Omega _{M}\end{matrix}}}$

où est la section zéro, construisant un lieu critique dérivé de la fonction régulière . ${\style d'affichage 0}$${\style d'affichage f}$

Exemple

Considérez la variété affine

${\displaystyle M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])}$

et la fonction régulière donnée par . Puis, ${\style d'affichage f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle \Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})}$

où nous traitons les deux dernières coordonnées comme . Le lieu critique dérivé est alors le schéma dérivé ${\displaystyle dx,dy}$

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [ x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy) }}\droit)}$

Notez que puisque le terme de gauche dans l'intersection dérivée est une intersection complète, nous pouvons calculer un complexe représentant l'anneau dérivé comme

${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{ \frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}}$

où est le complexe de Koszul. ${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])}$

Locus critique dérivé

Considérons une fonction lisse où est lisse. L' amélioration dérivée de , le locus critique dérivé , est donnée par le schéma différentiel gradué où l'anneau gradué sous-jacent sont les champs polyvecteurs ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$${\style d'affichage M}$${\displaystyle {\text{Crit}}(f)}$${\displaystyle (M,{\mathcal {A}}^{\bullet },Q)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-i}=\wedge ^{i}T_{M}}$

et le différentiel est défini par la contraction par . ${\style d'affichage Q}$${\displaystyle df}$

Exemple

Par exemple, si

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{ cas}}}$

nous avons le complexe

${\displaystyle R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^ {2}dy}}R}$

représentant l'amélioration dérivée de . ${\displaystyle {\text{Crit}}(f)}$

Remarques

Les références

• Atteindre la géométrie algébrique dérivée - Mathoverflow
• M. Anel, La géométrie de l'ambiguïté
• K. Behrend, Sur la classe fondamentale virtuelle
• P. Goerss, Formes modulaires topologiques [d'après Hopkins, Miller et Lurie]
• B. Toën, Introduction à la géométrie algébrique dérivée
• M. Manetti, Le complexe cotangent en caractéristique 0
• G. Vezzosi, Le lieu critique dérivé I - les bases