Approximation diophantienne - Diophantine approximation

Meilleures approximations rationnelles pour π (cercle vert), e (losange bleu), ϕ (oblong rose), (√3)/2 (hexagone gris), 1/√2 (octogone rouge) et 1/√3 (triangle orange) calculées à partir de leurs expansions de fractions continues, tracées sous forme de pentes y / x avec des erreurs par rapport à leurs vraies valeurs (traits noirs)  

• v
• t
• e

En théorie des nombres , l'étude de l'approximation diophantienne traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels . Il porte le nom de Diophante d'Alexandrie .

Le premier problème était de savoir dans quelle mesure un nombre réel peut être approximé par des nombres rationnels. Pour ce problème, un nombre rationnel a / b est une « bonne » approximation d'un nombre réel α si la valeur absolue de la différence entre un / b et α peut ne pas diminuer si un / b est remplacé par un autre nombre rationnel avec un plus petit dénominateur. Ce problème a été résolu au cours du 18ème siècle au moyen de fractions continues .

Connaissant les "meilleures" approximations d'un nombre donné, le problème principal du champ est de trouver des bornes supérieures et inférieures nettes de la différence ci-dessus, exprimées en fonction du dénominateur . Il apparaît que ces bornes dépendent de la nature des nombres réels à approximer : la borne inférieure pour l'approximation d'un nombre rationnel par un autre nombre rationnel est plus grande que la borne inférieure pour les nombres algébriques , elle-même plus grande que la borne inférieure pour tous les nombres réels. Ainsi, un nombre réel qui peut être mieux approché que la borne des nombres algébriques est certainement un nombre transcendant .

Cette connaissance permit à Liouville , en 1844, de produire le premier nombre transcendantal explicite. Plus tard, les preuves que π et e sont transcendantaux ont été obtenues par une méthode similaire.

Les approximations diophantiennes et la théorie transcendantale des nombres sont des domaines très proches qui partagent de nombreux théorèmes et méthodes. Les approximations diophantiennes ont également des applications importantes dans l'étude des équations diophantiennes .

Meilleures approximations diophantiennes d'un nombre réel

Étant donné un nombre réel α , il existe deux façons de définir une meilleure approximation diophantienne de α . Pour la première définition, le nombre rationnel p / q est une meilleure approximation diophantienne de α si

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

pour tout nombre rationnel p' / q' différent de p / q tel que 0 < q ′ ≤  q .

Pour la deuxième définition, l'inégalité ci-dessus est remplacée par

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}$

Une meilleure approximation pour la deuxième définition est également une meilleure approximation pour la première, mais l'inverse est faux.

La théorie des fractions continues permet de calculer les meilleures approximations d'un nombre réel : pour la seconde définition, ce sont les convergentes de son expression en fraction continue régulière. Pour la première définition, il faut aussi considérer les semi - convergents .

Par exemple, la constante e = 2,718281828459045235... a la représentation de fraction continue (régulière)

${\style d'affichage [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].}$

Ses meilleures approximations pour la deuxième définition sont

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ ldots \,,}$

tandis que, pour la première définition, ils sont

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{ \tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Mesure de la précision des approximations

La mesure évidente de la précision d'une approximation diophantienne d'un nombre réel α par un nombre rationnel p / q est Cependant, cette quantité peut toujours être rendue arbitrairement petite en augmentant les valeurs absolues de p et q ; ainsi la précision de l'approximation est habituellement estimée en comparant cette quantité à une fonction φ du dénominateur q , typiquement une puissance négative de celui - ci. ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Pour une telle comparaison, on peut vouloir des limites supérieures ou inférieures de la précision. Une borne est généralement décrit plus bas par un théorème comme « pour chaque élément α de certains sous - ensemble des nombres réels et chaque nombre rationnel p / q , nous avons ». Dans certains cas, « tout nombre rationnel » peut être remplacé par « tous les nombres rationnels à l' exception d' un nombre fini d'entre eux », ce qui revient à multiplier φ par une constante en fonction de α . ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$

Pour les bornes supérieures, il faut tenir compte du fait que toutes les "meilleures" approximations diophantiennes fournies par les convergents peuvent ne pas avoir la précision souhaitée. Par conséquent, les théorèmes prennent la forme « pour chaque élément α de certains sous - ensemble des nombres réels, il y a une infinité de nombres rationnels p / q tel que ». ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$

Chiffres mal approximatifs

Un nombre mal approché est un x pour lequel il existe une constante positive c telle que pour tout rationnel p / q on a

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Les nombres mal approchés sont précisément ceux à quotients partiels bornés .

De manière équivalente, un nombre est mal approché si et seulement si sa constante de Markov est bornée.

Bornes inférieures pour les approximations diophantiennes

Approximation d'un rationnel par d'autres rationnels

Un nombre rationnel peut être évidemment et parfaitement approché par pour tout entier positif i . ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$

Si nous avons ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\ geq {\frac {1}{bq}},}$

car est un entier positif et n'est donc pas inférieur à 1. Ainsi, la précision de l'approximation est mauvaise par rapport aux nombres irrationnels (voir les sections suivantes). ${\style d'affichage |aq-bp|}$

On peut remarquer que la preuve précédente utilise une variante du principe du pigeonnier : un entier non négatif qui n'est pas 0 n'est pas inférieur à 1. Cette remarque apparemment triviale est utilisée dans presque toutes les preuves de bornes inférieures pour les approximations diophantiennes, même les plus sophistiqués.

En résumé, un nombre rationnel est parfaitement approché par lui-même, mais est mal approché par tout autre nombre rationnel.

Approximation des nombres algébriques, résultat de Liouville

Dans les années 1840, Joseph Liouville obtient la première borne inférieure pour l'approximation des nombres algébriques : Si x est un nombre algébrique irrationnel de degré n sur les nombres rationnels, alors il existe une constante c ( x ) > 0 telle que

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

est valable pour tous les entiers p et q où q > 0 .

Ce résultat lui a permis de produire le premier exemple prouvé d'un nombre transcendantal, la constante de Liouville

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.11000100000000000000000001000\ldots \,,}$

ce qui ne satisfait pas le théorème de Liouville, quel que soit le degré n choisi.

Ce lien entre les approximations diophantiennes et la théorie transcendantale des nombres se poursuit jusqu'à nos jours. De nombreuses techniques de preuve sont partagées entre les deux domaines.

Approximation des nombres algébriques, théorème de Thue-Siegel-Roth

Pendant plus d'un siècle, de nombreux efforts ont été déployés pour améliorer le théorème de Liouville : chaque amélioration de la borne permet de prouver que plus de nombres sont transcendants. Les principales améliorations sont dues à Axel Thue  ( 1909 ), Siegel  ( 1921 ), Freeman Dyson  ( 1947 ) et Klaus Roth  ( 1955 ), conduisant finalement au théorème de Thue-Siegel-Roth : Si x est un nombre algébrique irrationnel et ε un (petit) nombre réel positif, alors il existe une constante positive c ( x , ε ) tel que

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

est valable pour tout entier p et q tel que q > 0 .

Dans un certain sens, ce résultat est optimal, car le théorème serait faux avec ε =0. Ceci est une conséquence immédiate des limites supérieures décrites ci-dessous.

Approximations simultanées de nombres algébriques

Par la suite, Wolfgang M. Schmidt a généralisé cela au cas des approximations simultanées, prouvant que : Si x ₁ , ..., x _n sont des nombres algébriques tels que 1, x ₁ , ..., x _n sont linéairement indépendants sur le rationnel et ε est un nombre réel positif donné, alors il n'y a qu'un nombre fini de n -uplets rationnels ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) tels que

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ ldots ,n.}$

Encore une fois, ce résultat est optimal dans le sens où on ne peut pas supprimer ε de l'exposant.

Limites effectives

Toutes les bornes inférieures précédentes ne sont pas efficaces , dans le sens où les preuves ne fournissent aucun moyen de calculer la constante impliquée dans les déclarations. Cela signifie qu'on ne peut pas utiliser les résultats ou leurs preuves pour obtenir des bornes sur la taille des solutions d'équations diophantiennes apparentées. Cependant, ces techniques et résultats peuvent souvent être utilisés pour borner le nombre de solutions de telles équations.

Néanmoins, un raffinement du théorème de Baker par Feldman fournit une borne efficace : si x est un nombre algébrique de degré n sur les nombres rationnels, alors il existe effectivement des constantes calculables c ( x ) > 0 et 0 <  d ( x ) <  n telles cette

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

est valable pour tous les entiers rationnels.

Cependant, comme pour toute version effective du théorème de Baker, les constantes d et 1/ c sont si grandes que ce résultat effectif ne peut pas être utilisé en pratique.

Bornes supérieures pour les approximations diophantiennes

Borne supérieure générale

Le premier résultat important concernant les bornes supérieures des approximations diophantiennes est le théorème d'approximation de Dirichlet , qui implique que, pour tout nombre irrationnel α , il existe une infinité de fractions telles que ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Cela implique immédiatement que l' on ne peut pas supprimer l' ε dans l'énoncé du Théorème de Roth.

Au fil des années, ce théorème a été amélioré jusqu'au théorème suivant d' Émile Borel (1903). Pour tout nombre irrationnel α , il existe une infinité de fractions telles que ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Par conséquent, est une borne supérieure pour les approximations diophantiennes de tout nombre irrationnel. La constante de ce résultat ne peut pas être encore améliorée sans exclure certains nombres irrationnels (voir ci-dessous). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$

Nombres réels équivalents

Définition : Deux nombres réels sont appelés équivalent s'il existe des entiers avec de telle sorte que: ${\style d'affichage x,y}$${\style d'affichage a,b,c,d\;}$${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Ainsi, l'équivalence est définie par une transformation de Möbius entière sur les nombres réels, ou par un membre du groupe modulaire , l'ensemble des matrices 2 × 2 inversibles sur les entiers. Chaque nombre rationnel est équivalent à 0 ; ainsi les nombres rationnels sont une classe d'équivalence pour cette relation. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$

L'équivalence peut être lue sur la représentation de la fraction continue régulière, comme le montre le théorème de Serret suivant :

Théorème : Deux nombres irrationnels x et y sont équivalents si et seulement il existe deux entiers positifs h et k tels que les représentations fractionnées continues régulières de x et y

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{ 2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

Vérifier

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

pour tout entier non négatif i .

Ainsi, à l'exception d'une séquence initiale finie, les nombres équivalents ont la même représentation de fraction continue.

Les nombres équivalents sont approchés au même degré, en ce sens qu'ils ont la même constante de Markov .

Spectre de Lagrange

Comme dit ci-dessus, la constante du théorème de Borel peut ne pas être améliorée, comme l'a montré Adolf Hurwitz en 1891. Soit le nombre d' or . Alors pour toute constante réelle c avec il n'y a qu'un nombre fini de nombres rationnels p / q tels que ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Par conséquent, une amélioration ne peut être obtenue que si les nombres équivalents à sont exclus. Plus précisément : pour tout nombre irrationnel , qui n'est pas équivalent à , il existe une infinité de fractions telles que ${\style d'affichage \phi }$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \phi }$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Par exclusions successives — la prochaine doit exclure les nombres équivalents à — de plus en plus de classes d'équivalence, la borne inférieure peut être encore élargie. Les valeurs qui peuvent être ainsi générées sont des nombres de Lagrange , qui font partie du spectre de Lagrange . Ils convergent vers le nombre 3 et sont liés aux nombres de Markov . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Théorème de Khinchin sur l'approximation et les extensions diophantiennes métriques

Soit une fonction à valeur réelle positive sur des entiers positifs (c'est-à-dire une séquence positive) telle que non croissante. Un nombre réel x (pas forcément algébrique) est dit - approché s'il existe une infinité de nombres rationnels p / q tels que ${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage q\psi (q)}$${\style d'affichage \psi }$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}$

Aleksandr Khinchin a prouvé en 1926 que si la série diverge, alors presque tout nombre réel (au sens de la mesure de Lebesgue ) est -approximable, et si la série converge, alors presque tout nombre réel n'est pas -approximable. Le cercle d'idées entourant ce théorème et ses apparentés est connu sous le nom d' approximation diophantienne métrique ou de théorie métrique de l'approximation diophantienne (à ne pas confondre avec la « métrique » de hauteur en géométrie diophantienne ) ou théorie métrique des nombres . ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage \psi }$

Duffin & Schaeffer (1941) ont prouvé une généralisation du résultat de Khinchin et ont posé ce qui est maintenant connu sous le nom de conjecture de Duffin-Schaeffer sur l'analogue de la dichotomie de Khinchin pour les séquences générales, pas nécessairement décroissantes . Beresnevich & Velani (2006) ont prouvé qu'une mesure de Hausdorff analogue à la conjecture de Duffin-Schaeffer est équivalente à la conjecture originale de Duffin-Schaeffer, qui est a priori plus faible. En juillet 2019, Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard ont annoncé une preuve de la conjecture. ${\style d'affichage \psi }$

Dimension Hausdorff de décors d'exception

Un exemple important d'une fonction à laquelle le théorème de Khinchin peut être appliqué est la fonction , où c  > 1 est un nombre réel. Pour cette fonction, la série pertinente converge et le théorème de Khinchin nous dit que presque chaque point n'est pas -approximable. Ainsi, l'ensemble des nombres -approximables forme un sous-ensemble de la droite réelle de Lebesgue mesure zéro. Le théorème de Jarník-Besicovitch, dû à V. Jarník et AS Besicovitch , stipule que la dimension de Hausdorff de cet ensemble est égale à . En particulier, l'ensemble des nombres -approximables pour certains (appelé l'ensemble des nombres très bien approximables ) a une dimension de Hausdorff, tandis que l'ensemble des nombres -approximables pour tous (appelé l'ensemble des nombres de Liouville ) a Hausdorff dimension zéro. ${\style d'affichage \psi }$${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\style d'affichage 1/c}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\style d'affichage c>1}$${\displaystyle \psi _{c}}$${\style d'affichage c>1}$

Un autre exemple important est la fonction , où est un nombre réel. Pour cette fonction, la série pertinente diverge et le théorème de Khinchin nous dit que presque tous les nombres sont -approximables. Cela revient à dire que chacun de ces nombres est bien approximable , où un nombre est dit bien approximable s'il n'est pas mal approximable. Ainsi, un analogue approprié du théorème de Jarník-Besicovitch devrait concerner la dimension de Hausdorff de l'ensemble des nombres mal approximables. Et en effet, V. Jarník a prouvé que la dimension de Hausdorff de cet ensemble est égale à un. Ce résultat a été amélioré par WM Schmidt , qui a montré que l'ensemble des nombres mal approximables est incompressible , ce qui signifie que si est une séquence d'applications bi-Lipschitz , alors l'ensemble des nombres x pour lesquels sont tous mal approximables a une dimension de Hausdorff. Schmidt a également généralisé le théorème de Jarník à des dimensions supérieures, une réalisation importante parce que l'argument de Jarník est essentiellement unidimensionnel, en fonction de l'appareil des fractions continues. ${\displaystyle \psi _{\epsilon }(q)=\epsilon q^{-1}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$

Distribution uniforme

Un autre sujet qui a connu un développement approfondi est la théorie de la distribution uniforme mod 1 . Prenez une suite a ₁ , a ₂ , ... de nombres réels et considérez leurs parties fractionnaires . C'est-à-dire, plus abstraitement, regardez la séquence dans R/Z , qui est un cercle. Pour tout intervalle I sur le cercle, nous regardons la proportion des éléments de la séquence qui s'y trouvent, jusqu'à un certain nombre entier N , et la comparons à la proportion de la circonférence occupée par I . Une distribution uniforme signifie qu'à la limite, à mesure que N augmente, la proportion de hits sur l'intervalle tend vers la valeur « attendue ». Hermann Weyl a prouvé un résultat de base montrant que cela était équivalent aux limites des sommes exponentielles formées à partir de la séquence. Cela a montré que les résultats de l'approximation diophantienne étaient étroitement liés au problème général de l'annulation dans les sommes exponentielles, qui se produit tout au long de la théorie analytique des nombres dans la limite des termes d'erreur.

Lié à la distribution uniforme est le sujet des irrégularités de la distribution , qui est de nature combinatoire .

Problèmes non résolus

Il reste encore des problèmes non résolus simplement énoncés dans l'approximation diophantienne, par exemple la conjecture de Littlewood et la conjecture du coureur solitaire . On ne sait pas non plus s'il existe des nombres algébriques avec des coefficients non bornés dans leur développement en fraction continue.

DEVELOPPEMENTS récents

Dans son discours en plénière au Congrès international de mathématiques à Kyoto (1990), Grigory Margulis a décrit un vaste programme enraciné dans la théorie ergodique qui permet de prouver des résultats de la théorie des nombres en utilisant les propriétés dynamiques et ergodiques des actions de sous-groupes de groupes de Lie semi - simples . Les travaux de D. Kleinbock, G. Margulis et de leurs collaborateurs ont démontré la puissance de cette nouvelle approche des problèmes classiques de l'approximation diophantienne. Parmi ses succès notables figurent la preuve de la conjecture d'Oppenheim vieille de plusieurs décennies par Margulis, avec des extensions ultérieures par Dani et Margulis et Eskin-Margulis-Mozes, et la preuve des conjectures de Baker et Sprindzhuk dans les approximations diophantiennes sur les variétés par Kleinbock et Margulis. Diverses généralisations des résultats ci-dessus d' Aleksandr Khinchin dans l'approximation métrique diophantienne ont également été obtenues dans ce cadre.

Voir également

• Théorème de Davenport-Schmidt
• Conjecture de Duffin-Schaeffer
• Ensemble Heilbronn
• Séquence à faible écart

Remarques

Les références

Liens externes

• Approximation diophantienne : relevé historique . Du cours d' introduction aux méthodes diophantiennes par Michel Waldschmidt .
• "Approximations diophantiennes" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]