Point isolé - Isolated point

"0" est un point isolé de A = {0} ∪ [1, 2]

En mathématiques , un point x est appelé point isolé d'un sous-ensemble S (dans un espace topologique X ) si x est un élément de S et qu'il existe un voisinage de x qui ne contient aucun autre point de S . Cela revient à dire que le singleton { x } est un ouvert dans l'espace topologique S (considéré comme un sous - espace de X ). Une autre formulation équivalente est : un élément x de S est un point isolé de S si et seulement si ce n'est pas un point limite de S .

Si l'espace X est un espace euclidien (ou tout autre espace métrique ), alors un élément x de S est un point isolé de S s'il existe une boule ouverte autour de x qui ne contient aucun autre point de S .

Notions associées

Un ensemble composé uniquement de points isolés est appelé un ensemble discret (voir aussi espace discret ). Tout sous-ensemble discret S de l'espace euclidien doit être dénombrable , car l'isolement de chacun de ses points ainsi que le fait que les rationnels sont denses dans les réels signifie que les points de S peuvent être mappés en un ensemble de points avec des coordonnées rationnelles, dont il n'y en a qu'un nombre dénombrable. Cependant, tous les ensembles dénombrables ne sont pas discrets, dont les nombres rationnels sous la métrique euclidienne habituelle sont l'exemple canonique.

Un ensemble sans point isolé est dit dense en soi (tout voisinage d'un point contient d'autres points de l'ensemble). Un ensemble fermé sans point isolé est appelé un ensemble parfait (il a tous ses points limites et aucun d'entre eux n'en est isolé).

Le nombre de points isolés est un invariant topologique , à savoir si deux espaces topologiques et sont homeomorphic , le nombre de points isolés dans chacun est égal.

Exemples

Exemples standards

Les espaces topologiques dans les trois exemples suivants sont considérés comme des sous - espaces de la ligne réelle avec la topologie standard.

  • Pour l'ensemble , le point 0 est un point isolé.
  • Pour l'ensemble , chacun des points 1/k est un point isolé, mais 0 n'est pas un point isolé car il existe d'autres points dans S aussi proches de 0 qu'on le souhaite.
  • L'ensemble des nombres naturels est un ensemble discret.

Dans l'espace topologique avec la topologie , l'élément est un point isolé, même s'il appartient à la fermeture de (et est donc, en un certain sens, "proche" de ). Une telle situation n'est pas possible dans un espace Hausdorff .

Le lemme Morse énonce que les points critiques non dégénérés de certaines fonctions sont isolés.

Deux exemples contre-intuitifs

Considérons l'ensemble des points dans l'intervalle réel tel que chaque chiffre de leur représentation binaire remplit les conditions suivantes :

  • Soit ou .
  • seulement pour un nombre fini d'indices .
  • Si désigne le plus grand indice tel que , alors .
  • Si et , alors exactement l'une des deux conditions suivantes est vérifiée : ou .

De manière informelle, ces conditions signifient que chaque chiffre de la représentation binaire dont la valeur est égale à 1 appartient à une paire ...0110..., à l'exception de ...010... à la toute fin.

Maintenant, est un ensemble explicite composé entièrement de points isolés qui a la propriété contre-intuitive que sa fermeture est un ensemble indénombrable .

Un autre ensemble avec les mêmes propriétés peut être obtenu comme suit. Soit l' ensemble de Cantor des tiers médians , soit les intervalles composants de , et soit un ensemble constitué d'un point de chaque . Puisque chacun ne contient qu'un point de , chaque point de est un point isolé. Cependant, si est n'importe quel point de l'ensemble de Cantor, alors chaque voisinage de contient au moins un , et donc au moins un point de . Il s'ensuit que chaque point de l'ensemble de Cantor se trouve dans la fermeture de , et a donc une fermeture indénombrable.

Voir également

Les références


Liens externes