Disque d'Euler - Euler's Disk

Rendu informatique du disque d'Euler sur une base légèrement concave

Le Disque d'Euler , inventé entre 1987 et 1990 par Joseph Bendik, est une marque déposée pour un jouet éducatif scientifique . Il est utilisé pour illustrer et étudier le système dynamique d'un disque tournant et roulant sur une surface plane ou courbe, et il a fait l'objet de plusieurs articles scientifiques.

Découverte

Joseph Bendik a d'abord remarqué le mouvement intéressant du disque en rotation alors qu'il travaillait chez Hughes Aircraft (Carlsbad Research Center) après avoir fait tourner un lourd mandrin de polissage sur son bureau au déjeuner un jour. L'effet de rotation était si dramatique qu'il a immédiatement appelé son ami et collègue Richard Henry Wyles pour qu'il jette un coup d'œil. Il a également appelé son ami Larry Shaw ( inventeur d' Astrojax ) au téléphone et lui a fait écouter le son du disque en rotation.

L'appareil est connu comme une visualisation spectaculaire des échanges d'énergie dans trois processus différents étroitement couplés. Au fur et à mesure que le disque diminue progressivement sa rotation azimutale, il y a également une diminution de l'amplitude et une augmentation de la fréquence de la précession axiale du disque.

L'évolution de la précession axiale du disque est facilement visualisée dans une vidéo au ralenti en regardant le côté du disque suivant un seul point marqué sur le disque. L'évolution de la rotation du disque se visualise facilement au ralenti en regardant le haut du disque suivant une flèche dessinée sur le disque représentant son rayon.

Alors que le disque libère l'énergie initiale donnée par l'utilisateur et s'approche de l'arrêt, le disque semble défier la gravité à travers ces échanges dynamiques d'énergie. Bendik a nommé le jouet d'après Leonhard Euler , qui a étudié une physique similaire au 18ème siècle.

Composants et fonctionnement

Le jouet commercial se compose d'un disque en acier chromé épais et lourd et d'une base en miroir rigide, légèrement concave . Des autocollants magnétiques holographiques inclus peuvent être attachés au disque, pour améliorer l'effet visuel de l'oscillation. Cependant, ces attachements peuvent rendre plus difficile la vision et la compréhension des processus au travail.

Lorsqu'il tourne sur une surface plane, le disque présente un mouvement de rotation/roulement, progressant lentement à travers différents taux et types de mouvement avant de s'immobiliser. Plus particulièrement, le taux de précession de l' axe de symétrie du disque augmente à mesure que le disque ralentit. La base du miroir offre une surface à faible friction ; sa légère concavité empêche le disque "d'errer" hors de la surface.

Tout disque tourné sur une surface raisonnablement plane (comme une pièce de monnaie tournée sur une table), présentera essentiellement le même type de mouvement qu'un disque d'Euler, mais pour un temps beaucoup plus court. Les disques commerciaux fournissent une démonstration plus efficace du phénomène, ayant un rapport hauteur/largeur optimisé et un bord légèrement arrondi et poli avec précision pour maximiser le temps de filage/laminage.

La physique

Un disque tournant/roulant s'immobilise finalement assez brusquement, la dernière étape du mouvement étant accompagnée d'un son de ronronnement de fréquence augmentant rapidement. Lorsque le disque roule, le point de contact roulant décrit un cercle qui oscille avec une vitesse angulaire constante . Si le mouvement est non dissipatif (sans frottement), il est constant et le mouvement persiste pour toujours ; ceci est contraire à l'observation, car n'est pas constant dans les situations de la vie réelle. En fait, le taux de précession de l'axe de symétrie s'approche d'une singularité à temps fini modélisée par une loi de puissance avec un exposant d'environ −1/3 (selon des conditions spécifiques). ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

Il y a deux effets dissipatifs évidents : le frottement de roulement lorsque le disque glisse le long de la surface et la traînée de l' air due à la résistance de l'air. Les expériences montrent que le frottement de roulement est principalement responsable de la dissipation et du comportement - des expériences dans le vide montrent que l'absence d'air n'affecte que légèrement le comportement, tandis que le comportement (taux de précession) dépend systématiquement du coefficient de frottement . Dans la limite du petit angle (c'est-à-dire immédiatement avant que le disque ne s'arrête de tourner), la traînée d'air (en particulier, la dissipation visqueuse ) est le facteur dominant, mais avant cette étape finale, le frottement de roulement est l'effet dominant.

Mouvement stable avec le centre du disque au repos

Le comportement d'un disque en rotation dont le centre est au repos peut être décrit comme suit. Appelons axe la ligne allant du centre du disque au point de contact avec le plan . Puisque le centre du disque et le point de contact sont instantanément au repos (en supposant qu'il n'y a pas de glissement) l'axe est l'axe de rotation instantané. Le moment cinétique est ce qui vaut pour tout disque mince, à symétrie circulaire avec une masse ; pour un disque dont la masse est concentrée au bord, pour un disque uniforme (comme le disque d'Euler), est le rayon du disque, et est la vitesse angulaire le long de . ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$${\displaystyle \mathbf {L} =kMa^{2}\omega {\widehat {\mathbf {3} }}}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage k=1/2}$${\style d'affichage k=1/4}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$

La force de contact est où est l'accélération gravitationnelle et est l'axe vertical pointant vers le haut. Le couple autour du centre de masse est que nous pouvons réécrire comme où . Nous pouvons conclure que le moment angulaire et le disque précessent autour de l'axe vertical à la vitesse${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle Mg{\widehat {\mathbf {z} }}}$${\style d'affichage g}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {N} =a{\widehat {\mathbf {3} }}\times Mg{\widehat {\mathbf {z} }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt} }}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\vec {\Omega }}\times \mathbf {L} }$${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-{\frac {g}{ak\omega }}{\widehat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {g}{ak\omega }}}$

( 1 )

En même temps est la vitesse angulaire du point de contact avec le plan. Définissons l'axe devant se trouver le long de l'axe de symétrie du disque et pointant vers le bas. Alors il tient que , où est l'angle d'inclinaison du disque par rapport au plan horizontal. La vitesse angulaire peut être considérée comme composée de deux parties , où est la vitesse angulaire du disque le long de son axe de symétrie. De la géométrie, nous concluons facilement que : ${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {1} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}=-\cos \alpha {\widehat {\mathbf {1} }}-\sin \alpha {\widehat {\mathbf {3} }}}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \omega {\widehat {\mathbf {3} }}=\Omega {\widehat {\mathbf {z} }}+\omega _{\text{rel}}{\widehat {\mathbf {1} }}}$${\displaystyle \omega _{\text{rel}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=-\Omega \sin \alpha ,\\\omega _{\text{rel}}&=\Omega \cos \alpha \\\end{aligned}}}$

En branchant l' équation ( 1 ) nous obtenons finalement ${\displaystyle \omega =-\Omega \sin \alpha }$

${\displaystyle \Omega ^{2}={\frac {g}{ak\sin \alpha }}}$

( 2 )

Au fur et à mesure que l' adiabatique se rapproche de zéro, la vitesse angulaire du point de contact devient très importante et on entend un son à haute fréquence associé au disque en rotation. Cependant, la rotation du chiffre sur la face de la pièce, dont la vitesse angulaire est proche de zéro. La vitesse angulaire totale s'annule également ainsi que l'énergie totale ${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Omega -\omega _{\text{rel}}=\Omega (1-\cos \alpha ),}$${\displaystyle \omega =-{\sqrt {\frac {g\sin \alpha }{ak}}}}$

${\displaystyle E=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}Mka^{2} {\frac {g\sin \alpha }{ak}}={\tfrac {3}{2}}Mga\sin \alpha }$

comme s'approche de zéro. Ici, nous avons utilisé l'équation ( 2 ). ${\style d'affichage \alpha }$

Lorsque l'on approche de zéro, le disque perd finalement contact avec la table et le disque se dépose alors rapidement sur la surface horizontale. On entend le son à une fréquence , qui devient considérablement plus élevée jusqu'à ce que le son cesse brusquement. ${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle {\frac {\Omega} {2\pi }}}$

Histoire de la recherche

Moffatt

Au début des années 2000, la recherche a été déclenchée par un article dans l'édition du 20 avril 2000 de Nature , où Keith Moffatt a montré que la dissipation visqueuse dans la fine couche d' air entre le disque et la table serait suffisante pour expliquer la brusquerie observée de le processus de règlement. Il a également montré que le mouvement s'est terminé dans une singularité de temps fini . Sa première hypothèse théorique a été contredite par des recherches ultérieures, qui ont montré que le frottement de roulement est en fait le facteur dominant.

Moffatt a montré que, lorsque le temps se rapproche d'un temps particulier (qui est mathématiquement une constante d'intégration ), la dissipation visqueuse se rapproche de l' infini . La singularité que cela implique ne se réalise pas en pratique, car l'amplitude de l'accélération verticale ne peut excéder l'accélération due à la pesanteur (le disque perd le contact avec sa surface d'appui). Moffatt poursuit en montrant que la théorie s'effondre avant le temps de stabilisation final , donné par : ${\style d'affichage t}$${\style d'affichage t_{0}}$${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage t_{0}}$

${\displaystyle \tau \simeq \left[\left({\frac {2a}{9g}}\right)^{3}{\frac {2\pi \mu a}{M}}\right]^{ 1/5}}$

où est le rayon du disque, est l'accélération due à la gravité terrestre, la viscosité dynamique de l' air et la masse du disque. Pour le jouet Disque d'Euler disponible dans le commerce (voir lien dans "Liens externes" ci-dessous), est d'environ secondes, moment auquel l'angle entre la pièce et la surface, , est d'environ 0,005 radians et la vitesse angulaire de roulement, , est d'environ 500 Hz . ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle 10^{-2}}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \Oméga }$

En utilisant la notation ci-dessus, le temps total de filage/roulage est :

${\displaystyle t_{0}={\frac {\alpha _{0}^{3}M}{2\pi \mu a}}}$

où est l'inclinaison initiale du disque, mesurée en radians . Moffatt a également montré que, si , la singularité de temps fini dans est donnée par ${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle t_{0}-t>\tau }$${\displaystyle \Oméga }$

${\displaystyle \Omega \sim (t_{0}-t)^{-1/6}}$

Résultats expérimentaux

Les travaux théoriques de Moffatt ont inspiré plusieurs autres chercheurs à étudier expérimentalement le mécanisme de dissipation d'un disque tournant/roulant, avec des résultats qui contredisent partiellement son explication. Ces expériences ont utilisé des objets et des surfaces en rotation de différentes géométries (disques et anneaux), avec des coefficients de friction variables, à la fois dans l'air et dans le vide, et ont utilisé des instruments tels que la photographie à grande vitesse pour quantifier le phénomène.

Dans le numéro du 30 novembre 2000 de Nature , les physiciens Van den Engh, Nelson et Roach discutent d'expériences dans lesquelles des disques ont été tournés dans le vide. Van den Engh a utilisé un rijksdaalder , une pièce de monnaie néerlandaise , dont les propriétés magnétiques lui permettaient d'être tournée à une vitesse déterminée avec précision. Ils ont découvert que le glissement entre le disque et la surface pouvait expliquer les observations, et que la présence ou l'absence d'air n'affectait que légèrement le comportement du disque. Ils ont souligné que l'analyse théorique de Moffatt prédirait un temps de rotation très long pour un disque dans le vide, ce qui n'a pas été observé.

Moffatt a répondu avec une théorie généralisée qui devrait permettre de déterminer expérimentalement quel mécanisme de dissipation est dominant, et a souligné que le mécanisme de dissipation dominant serait toujours une dissipation visqueuse dans la limite du petit (c'est-à-dire juste avant que le disque ne s'installe). ${\style d'affichage \alpha }$

Des travaux ultérieurs à l' Université de Guelph par Petrie, Hunt et Gray ont montré que la réalisation des expériences sous vide (pression 0,1 pascal ) n'affectait pas significativement le taux de dissipation d'énergie. Petrie et al. ont également montré que les vitesses n'étaient pratiquement pas affectées par le remplacement du disque par une forme d' anneau , et que la condition de non-glissement était satisfaite pour des angles supérieurs à 10°. Un autre travail de Caps, Dorbolo, Ponte, Croisier et Vandewalle a conclu que l'air est une source mineure de dissipation d'énergie. Le principal processus de dissipation d'énergie est le roulement et le glissement du disque sur la surface d'appui. Il a été démontré expérimentalement que l'angle d'inclinaison, le taux de précession et la vitesse angulaire suivent le comportement de la loi de puissance.

À plusieurs reprises pendant la grève de la Writers Guild of America de 2007-2008 , l'animateur de talk-show Conan O'Brien faisait tourner son alliance sur son bureau, essayant de faire tourner la bague le plus longtemps possible. La quête pour obtenir des temps de rotation de plus en plus longs l'a amené à inviter le professeur du MIT Peter Fisher à l'émission pour expérimenter le problème. La rotation de l'anneau dans le vide n'a eu aucun effet identifiable, tandis qu'une surface de support de rotation en téflon a donné un temps record de 51 secondes, corroborant l'affirmation selon laquelle le frottement de roulement est le principal mécanisme de dissipation de l'énergie cinétique. Divers types de frottement de roulement en tant que mécanisme principal de dissipation d'énergie ont été étudiés par Leine qui a confirmé expérimentalement que la résistance de frottement du mouvement du point de contact sur la jante du disque est très probablement le principal mécanisme de dissipation sur une échelle de temps de quelques secondes. .

Dans la culture populaire

Les Disques d'Euler apparaissent dans le film Snow Cake de 2006 et dans l'émission télévisée The Big Bang Theory , saison 10, épisode 16, diffusée le 16 février 2017.

L'équipe du son du film Pearl Harbor de 2001 a utilisé un disque d'Euler en rotation comme effet sonore pour les torpilles. Un court clip de l'équipe du son jouant avec Euler's Disk a été diffusé lors de la remise des Oscars.

Voir également

• Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler
• Tippe top – un autre jouet physique en rotation qui présente un comportement surprenant

Les références

Liens externes

• Eulersdisk.com
• La physique d'une pièce qui tourne (20 avril 2000) PhysicsWeb
• Etude expérimentale et théorique de la dissipation d'énergie d'un disque roulant au cours de sa phase finale de mouvement (12 décembre 2008) Arch Appl Mech
• Commentaire sur le disque de Moffat (31 mars 2002)
• "Le disque d'Euler" . Problèmes de physique du monde réel . problèmes-physiques-du-monde-réel.com . Récupéré le 2014-07-11 . Analyse physique mathématique détaillée du mouvement du disque
• Une vidéo YouTube d'un disque d'Euler en action