Quadrilatère ex-tangentiel - Ex-tangential quadrilateral

Un quadrilatère ex-tangentiel ABCD et son excircle

Dans la géométrie euclidienne , un quadrilatère ex-tangentiel est un quadrilatère convexe où les extensions des quatre côtés sont tangentes à un cercle à l'extérieur du quadrilatère. Il a également été appelé un quadrilatère exscriptible . Le cercle est appelé son excircle , son rayon l' exradius et son centre l' excentre ( E sur la figure). L'excentre se trouve à l'intersection de six bissectrices d'angle. Ce sont les bissectrices d'angle internes à deux angles de sommet opposés, les bissectrices d' angle externes (bissectrices d' angle supplémentaires ) aux deux autres angles de sommet, et les bissectrices d'angle externes aux angles formés où les extensions des côtés opposés se croisent (voir la figure à la à droite, où quatre de ces six sont des segments en pointillés). Le quadrilatère ex-tangentiel est étroitement lié au quadrilatère tangentiel (où les quatre côtés sont tangents à un cercle).

Un autre nom pour un excircle est un cercle décrit, mais ce nom a également été utilisé pour un cercle tangent à un côté d'un quadrilatère convexe et les extensions des deux côtés adjacents. Dans ce contexte, tous les quadrilatères convexes ont quatre cercles écrits, mais ils peuvent tout au plus avoir un cercle.

Cas spéciaux

Les cerfs - volants sont des exemples de quadrilatères ex-tangentiels. Les parallélogrammes (qui incluent des carrés , des losanges et des rectangles ) peuvent être considérés comme des quadrilatères ex-tangentiels avec un exradius infini car ils satisfont les caractérisations de la section suivante, mais l'excircle ne peut pas être tangent aux deux paires d'extensions de côtés opposés (puisqu'ils sont parallèles ). Les quadrilatères convexes dont les longueurs latérales forment une progression arithmétique sont toujours ex-tangentiels car ils satisfont la caractérisation ci-dessous pour les longueurs latérales adjacentes.

Caractérisations

Un quadrilatère convexe est ex-tangentiel si et seulement s'il y a six bissectrices d'angles concurrents . Ce sont les bissectrices d'angle internes à deux angles de sommets opposés, les bissectrices d'angle externes aux deux autres angles de sommets, et les bissectrices d'angle externes aux angles formés où les extensions des côtés opposés se croisent.

Aux fins du calcul, une caractérisation plus utile est qu'un quadrilatère convexe avec des côtés successifs a, b, c, d est ex-tangentiel si et seulement si la somme de deux côtés adjacents est égale à la somme des deux autres côtés. Ceci est possible de deux manières différentes: soit

{\ Displaystyle a + b = c + d}

ou

{\ Displaystyle a + d = b + c.}

Cela a été prouvé par Jakob Steiner en 1846. Dans le premier cas, l'excircle est en dehors du plus grand des sommets A ou C , tandis que dans le second cas, il est en dehors du plus grand des sommets B ou D , à condition que les côtés du les quadrilatères ABCD sont a = AB , b = BC , c = CD et d = DA . Une manière de combiner ces caractérisations concernant les côtés est que les valeurs absolues des différences entre côtés opposés sont égales pour les deux paires de côtés opposés,

{\ displaystyle | ac | = | bd |.}

Ces équations sont étroitement liées au théorème de Pitot pour les quadrilatères tangentiels , où les sommes des côtés opposés sont égales pour les deux paires de côtés opposés.

Théorème d'Urquhart

Si les côtés opposés d'un quadrilatère convexe ABCD se croisent en E et F , alors

{\ displaystyle AB + BC = AD + DC \ quad \ Leftrightarrow \ quad AE + EC = AF + FC.}

L'implication à droite porte le nom de LM Urquhart (1902–1966) bien qu'elle ait été prouvée bien avant par Augustus De Morgan en 1841. Daniel Pedoe l'a nommée le théorème le plus élémentaire de la géométrie euclidienne car il ne concerne que les lignes droites et les distances. Qu'il y ait en fait une équivalence a été prouvé par Mowaffac Hajja, ce qui fait de l'égalité à droite une autre condition nécessaire et suffisante pour qu'un quadrilatère soit ex-tangentiel.

Comparaison avec un quadrilatère tangentiel

Quelques-unes des caractérisations métriques des quadrilatères tangentiels (la colonne de gauche du tableau) ont des équivalents très similaires pour les quadrilatères ex-tangentiels (la colonne du milieu et de droite du tableau), comme on peut le voir dans le tableau ci-dessous. Ainsi, un quadrilatère convexe a un cercle incurvé ou un cercle excentré à l'extérieur du sommet approprié (selon la colonne) si et seulement si l'une quelconque des cinq conditions nécessaires et suffisantes ci-dessous est satisfaite.

Incircle	Excircle en dehors de A ou C	Excircle en dehors de B ou D
${\ displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}}$	${\ displaystyle R_ {1} + R_ {2} = R_ {3} + R_ {4}}$	${\ displaystyle R_ {1} + R_ {4} = R_ {2} + R_ {3}}$
${\ displaystyle agh + cef = beh + dfg}$	${\ displaystyle agh + beh = cef + dfg}$	${\ displaystyle agh + dfg = beh + cef}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {3}}} = {\ frac {1} {h_ {2}}} + {\ frac {1 } {h_ {4}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {3}}} + {\ frac {1 } {h_ {4}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {4}}} = {\ frac {1} {h_ {2}}} + {\ frac {1 } {h_ {3}}}}$
${\ displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {z} {2}} = \ tan {\ frac {y} {2}} \ tan {\ frac {w} {2 }}}$	${\ displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {w} {2}} = \ tan {\ frac {y} {2}} \ tan {\ frac {z} {2 }}}$	${\ displaystyle \ tan {\ frac {x} {2}} \ tan {\ frac {y} {2}} = \ tan {\ frac {z} {2}} \ tan {\ frac {w} {2 }}}$
${\ displaystyle R_ {a} R_ {c} = R_ {b} R_ {d}}$	${\ displaystyle R_ {a} R_ {b} = R_ {c} R_ {d}}$	${\ displaystyle R_ {a} R_ {d} = R_ {b} R_ {c}}$

Les notations de ce tableau sont les suivantes: Dans un quadrilatère convexe ABCD , les diagonales se coupent au P . R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ sont les circumradii en triangles ABP , BCP , CDP , DAP ; h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ sont les altitudes de P aux côtés a = AB , b = BC , c = CD , d = DA respectivement dans les quatre mêmes triangles; e , f , g , h sont les distances des sommets A , B , C , D respectivement à P ; x , y , z , w sont respectivement les angles ABD , ADB , BDC , DBC ; et R _a , R _b , R _c , R _d sont les rayons dans les cercles tangents extérieurement aux côtés a , b , c , d respectivement et les extensions des deux côtés adjacents pour chaque côté.

Surface

Un quadrilatère ABCD ex-tangentiel avec les côtés a, b, c, d a une aire

{\ displaystyle \ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}} \ sin {\ frac {B + D} {2}}.}

Notez que c'est la même formule que celle pour l'aire d'un quadrilatère tangentiel et qu'elle est également dérivée de la formule de Bretschneider de la même manière.

Exradius

L'exradius pour un quadrilatère ex-tangentiel à côtés consécutifs a , b , c , d est donné par

{\ displaystyle r = {\ frac {K} {| ac |}} = {\ frac {K} {| bd |}}}

où K est l'aire du quadrilatère. Pour un quadrilatère ex-tangentiel de côtés donnés, l'exradius est maximum lorsque le quadrilatère est également cyclique (et donc un quadrilatère ex-bicentrique). Ces formules expliquent pourquoi tous les parallélogrammes ont un exradius infini.

Quadrilatère ex-bicentrique

Si un quadrilatère ex-tangentiel a également un cercle circulaire , il est appelé quadrilatère ex-bicentrique . Puis, comme il a deux angles supplémentaires opposés , son aire est donnée par

{\ displaystyle \ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}}

qui est le même que pour un quadrilatère bicentrique .

Si x est la distance entre le circumcenter et l'excentrique, alors

{\ displaystyle {\ frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = {\ frac {1} {r ^ {2 }}},}

où R et r sont respectivement le circumradius et l'exradius. C'est la même équation que le théorème de Fuss pour un quadrilatère bicentrique. Mais lors de la résolution de x , nous devons choisir l'autre racine de l' équation quadratique pour le quadrilatère ex-bicentrique par rapport au quadrilatère bicentrique. Par conséquent, pour l'ex-bicentrique nous avons

{\ displaystyle x = {\ sqrt {R ^ {2} + r ^ {2} + r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.}

De cette formule il suit que

{\ Displaystyle \ Displaystyle x> R + r,}

ce qui signifie que le cercle et le cercle ne peuvent jamais se croiser.

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