Fonction exacte - Exact functor

En mathématiques , en particulier en algèbre homologique , un foncteur exact est un foncteur qui préserve de courtes séquences exactes . Les foncteurs exacts sont pratiques pour les calculs algébriques car ils peuvent être directement appliqués aux présentations d'objets. Une grande partie du travail en algèbre homologique est conçue pour faire face à des foncteurs qui ne sont pas exacts, mais d'une manière qui peut encore être contrôlée.

Définitions

Soient P et Q soient des catégories abéliennes , et que F : P → Q soit un foncteur additif covariant ( de sorte que, en particulier, F (0) = 0 ). On dit que F est un foncteur exact si, chaque fois

{\ displaystyle 0 \ vers A {\ stackrel {f} {\ to}} B {\ stackrel {g} {\ to}} C \ to 0}

est une courte séquence exacte dans P , alors

{\ displaystyle 0 \ à F (A) {\ stackrel {F (f)} {\ à}} F (B) {\ stackrel {F (g)} {\ à}} F (C) \ à 0}

est une courte séquence exacte à Q . (Les applications sont souvent omises et implicites, et on dit: "si 0 → A → B → C → 0 est exact, alors 0 → F (A) → F (B) → F (C) → 0 est aussi exact" .)

De plus, on dit que F est

exact à gauche si, chaque fois que 0 → A → B → C → 0 est exact, alors 0 → F (A) → F (B) → F (C) est exact;
exact à droite si, chaque fois que 0 → A → B → C → 0 est exact, alors F (A) → F (B) → F (C) → 0 est exact;
semi-exact si, chaque fois que 0 → A → B → C → 0 est exact, alors F (A) → F (B) → F (C) est exact. Ceci est distinct de la notion de foncteur semi-exact topologique .

Si G est un foncteur additif contravariant de P à Q , nous définissons de manière similaire G comme étant

exact si, chaque fois que 0 → A → B → C → 0 est exact, alors 0 → G (C) → G (B) → G (A) → 0 est exact;
gauche-exact si, chaque fois que 0 → A → B → C → 0 est exact, alors 0 → G (C) → G (B) → G (A) est exact;
exact à droite si, chaque fois que 0 → A → B → C → 0 est exact, alors G (C) → G (B) → G (A) → 0 est exact;
semi-exact si, chaque fois que 0 → A → B → C → 0 est exact, alors G (C) → G (B) → G (A) est exact.

Il n'est pas toujours nécessaire de commencer par une séquence exacte courte complète 0 → A → B → C → 0 pour conserver une certaine exactitude. Les définitions suivantes sont équivalentes à celles données ci-dessus:

F est exact si et seulement si A → B → C exact implique F (A) → F (B) → F (C) exact;
F est exact à gauche si et seulement si 0 → A → B → C exact implique 0 → F (A) → F (B) → F (C) exact (ie si " F transforme les noyaux en noyaux");
F est exact à droite si et seulement si A → B → C → 0 exact implique F (A) → F (B) → F (C) → 0 exact (c'est-à-dire si " F transforme les cerneaux en cokernels");
G est exact à gauche si et seulement si A → B → C → 0 exact implique 0 → G (C) → G (B) → G (A) exact (c'est-à-dire si " G transforme les noyaux en noyaux");
G est exact à droite si et seulement si 0 → A → B → C exact implique G (C) → G (B) → G (A) → 0 exact (c'est-à-dire si « G transforme les noyaux en noyaux»).

Exemples

Toute équivalence ou dualité des catégories abéliennes est exacte.

Les exemples les plus basiques de foncteurs exacts à gauche sont les foncteurs Hom: si A est une catégorie abélienne et A est un objet de A , alors F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) définit un foncteur exact à gauche covariant de A à la catégorie Ab des groupes abéliens . Le foncteur F _A est exact si et seulement si A est projectif . Le foncteur G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) est un foncteur exact à gauche contravariant; il est exact si et seulement si A est injectif .

Si k est un champ et V est un espace vectoriel sur k , nous écrivons V * = Hom _k ( V , k ) (ceci est communément appelé espace dual ). Cela donne un foncteur exact contravariant de la catégorie des k -espaces vecteurs à lui-même. (L'exactitude découle de ce qui précède: k est un k -module injectif . Alternativement, on peut affirmer que chaque courte séquence exacte d' espaces k- vecteurs se divise , et tout foncteur additif transforme les séquences séparées en séquences séparées.)

Si X est un espace topologique , on peut considérer la catégorie commutatif de tous les faisceaux de groupes abéliens sur X . Le foncteur covariant qui associe à chaque faisceau F le groupe de sections globales F ( X ) est exact à gauche.

Si R est un anneau et T est un R - module droit , on peut définir un foncteur H _{T à} partir de la catégorie abélienne de tous les modules R gauches vers Ab en utilisant le produit tensoriel sur R : H _T ( X ) = T ⊗ X . C'est un foncteur exact de droite covariant; il est exact si et seulement si T est plat . En d'autres termes, étant donné une séquence exacte A → B → C → 0 de modules R gauches , la séquence des groupes abéliens T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 est exacte.

Par exemple, est un -module plat . Par conséquent, tendre avec un -module est un foncteur exact. Preuve: Il suffit de montrer que si i est une carte injective de -modules , alors la carte correspondante entre les produits tensoriels est injective. On peut montrer que si et seulement si est un élément de torsion ou . Les produits tensoriels donnés n'ont que des tenseurs purs. Il suffit donc de montrer que si un tenseur pur est dans le noyau, alors il est nul. Supposons que ce soit un élément différent de zéro du noyau. Ensuite, c'est la torsion. Puisque c'est injectif, c'est la torsion. Par conséquent, ce qui est une contradiction. Par conséquent, est également injectif. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle i: M \ à N}$ ${\ displaystyle M \ otimes \ mathbb {Q} \ à N \ otimes \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle m \ otimes q = 0}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle q = 0}$ ${\ Displaystyle m \ otimes q}$ ${\ Displaystyle m \ otimes q}$ ${\ displaystyle i (m)}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m \ otimes q = 0}$ ${\ displaystyle M \ otimes \ mathbb {Q} \ à N \ otimes \ mathbb {Q}}$

En général, si T n'est pas plat, alors le produit tensoriel n'est pas laissé exact. Par exemple, considérons la courte séquence exacte de -modules . La tension sur avec donne une séquence qui n'est plus exacte, car elle n'est pas sans torsion et donc pas plate. ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle 5 \ mathbf {Z} \; \; {\ hookrightarrow} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 5 \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 5 \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 5 \ mathbf {Z}}$

Si A est une catégorie abélienne et C est une petite catégorie arbitraire , on peut considérer la catégorie de foncteurs A ^C constituée de tous les foncteurs de C à A ; c'est abélien. Si X est un objet donné de C , nous obtenons un foncteur E _X de A ^C à A en évaluant foncteurs à X . Ce foncteur E _X est exact.

Bien que le tenseur puisse ne pas être exact à gauche, il peut être montré que le tenseur est un foncteur exact à droite:

Théorème: Soient A, B, C et P soient R modules pour un anneau commutatif R ayant une identité multiplicative. Laisser ${\ displaystyle A {\ stackrel {f} {\ to}} B {\ stackrel {g} {\ to}} C \ to 0}$

être une courte séquence exacte de modules R , puis

{\ displaystyle A \ otimes _ {R} P {\ stackrel {f \ otimes P} {\ to}} B \ otimes _ {R} P {\ stackrel {g \ otimes P} {\ to}} C \ otimes _ {R} P \ à 0}

est également une courte séquence exacte de modules R. (Puisque R est commutatif, cette séquence est une suite de modules R et pas simplement de groupes abéliens). , Nous définissons ici: .

{\ Displaystyle f \ otimes P (a \ otimes p): = f (a) \ otimes p, g \ otimes P (b \ otimes p): = g (b) \ otimes p}

Cela a un corollaire utile: si I est un idéal de R et P est comme ci-dessus, alors ${\ Displaystyle P \ otimes _ {R} (R / I) \ cong P / IP}$

Preuve:: , où f est l'inclusion et g est la projection, est une séquence exacte de R modules. Par ce qui précède, nous obtenons que: est également une courte séquence exacte de modules R. Par exactitude, puisque f est l'inclusion. Maintenant, considérons l' homomorphisme du module R de donné par R étendant linéairement l'application définie sur des tenseurs purs: cela implique . Ainsi, le noyau de cette carte ne peut contenir aucun tenseur pur non nul. est composé uniquement de tenseurs purs: Pour . Donc, cette carte est injective. C'est clairement sur. Ainsi, . De même, . Cela prouve le corollaire. ${\ displaystyle I {\ stackrel {f} {\ to}} R {\ stackrel {g} {\ to}} R / I \ to 0}$ ${\ displaystyle I \ otimes _ {R} P {\ stackrel {f \ otimes P} {\ to}} R \ otimes _ {R} P {\ stackrel {g \ otimes P} {\ to}} R / I \ otimes _ {R} P \ à 0}$ ${\ Displaystyle R / I \ otimes _ {R} P \ cong (R \ otimes _ {R} P) / Image (f \ otimes P) = (R \ otimes _ {R} P) / (I \ otimes _ {R} P)}$ ${\ displaystyle R \ otimes _ {R} P \ rightarrow P}$ ${\ displaystyle r \ otimes p \ mapsto rp.rp = 0}$ ${\ displaystyle 0 = rp \ otimes 1 = r \ otimes p}$ ${\ displaystyle R \ otimes _ {R} P}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in R, \ sum _ {i} x_ {i} (r_ {i} \ otimes p_ {i}) = \ sum _ {i} 1 \ otimes (r_ {i} x_ { i} p_ {i}) = 1 \ otimes (\ sum _ {i} r_ {i} x_ {i} p_ {i})}$ ${\ displaystyle R \ otimes _ {R} P \ cong P}$ ${\ displaystyle I \ otimes _ {R} P \ cong IP}$

Comme autre application, nous montrons que pour, où et n est la puissance la plus élevée de 2 m divisant . Nous prouvons un cas particulier: m = 12 . ${\ displaystyle P = \ mathbf {Z} [1/2]: = \ {a / 2 ^ {k}: a, k \ in \ mathbf {Z} \}, P \ otimes \ mathbf {Z} / m \ mathbf {Z} \ cong P / k \ mathbf {Z} P}$ ${\ displaystyle k = m / 2 ^ {n}}$

Preuve: Considérons un tenseur pur . Aussi, pour . Cela montre cela . En laissant , A, B, C, P sont des modules R = Z par l'action de multiplication habituelle et satisfont aux conditions du théorème principal. Par l'exactitude impliquée par le théorème et par la note ci-dessus, nous obtenons cela . La dernière congruence suit un argument similaire à celui de la preuve du corollaire montrant cela . ${\ displaystyle (12z) \ otimes (a / 2 ^ {k}) \ in (12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P). (12z) \ otimes (a / 2 ^ {k}) = (3z) \ otimes (a / 2 ^ {k-2})}$ ${\ displaystyle (3z) \ otimes (a / 2 ^ {k}) \ in (3 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P), (3z) \ otimes (a / 2 ^ {k}) = (12z) \ otimes (a / 2 ^ {k + 2})}$ ${\ displaystyle (12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) = (3 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P)}$ ${\ displaystyle P = \ mathbf {Z} [1/2], A = 12 \ mathbf {Z}, B = \ mathbf {Z}, C = \ mathbf {Z} / 12 \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle: \ mathbf {Z} / 12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P \ cong (\ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) / (12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) = (\ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) / (3 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) \ cong \ mathbf {Z} P / 3 \ mathbf {Z } P}$ ${\ displaystyle I \ otimes _ {R} P \ cong IP}$

Propriétés et théorèmes

Un foncteur est exact si et seulement s'il est à la fois exact à gauche et exact à droite.

Un foncteur covariant (pas nécessairement additif) est laissé exact si et seulement s'il transforme des limites finies en limites; un foncteur covariant est exact exact si et seulement s'il transforme des colimites finies en colimites; un foncteur contravariant est laissé exact si et seulement s'il transforme des colimites finies en limites; un foncteur contravariant est exact exact si et seulement s'il transforme des limites finies en colimites.

Le degré auquel un foncteur exact gauche ne parvient pas à être exact peut être mesuré avec ses foncteurs dérivés droits ; le degré auquel un foncteur exact droit ne parvient pas à être exact peut être mesuré avec ses foncteurs dérivés gauches .

Les foncteurs exacts gauche et droit sont omniprésents principalement à cause du fait suivant: si le foncteur F est adjoint gauche de G , alors F est exact à droite et G est exact à gauche.

Généralisations

Dans SGA4 , tome I, section 1, la notion de foncteurs exacts gauche (droite) est définie pour les catégories générales, et pas seulement pour les abéliennes. La définition est la suivante:

Soit C une catégorie à limites projectives (resp. Inductives) finies . Alors un foncteur de C vers une autre catégorie C ′ est exact à gauche (resp. À droite) s'il commute avec des limites projectives (resp. Inductives) finies.

Malgré son abstraction, cette définition générale a des conséquences utiles. Par exemple, dans la section 1.8, Grothendieck prouve qu'un foncteur est pro-représentable si et seulement si elle reste exacte, dans certaines conditions douces sur la catégorie C .

Les foncteurs exacts entre les catégories exactes de Quillen généralisent les foncteurs exacts entre les catégories abéliennes discutées ici.

Les foncteurs réguliers entre les catégories régulières sont parfois appelés foncteurs exacts et généralisent les foncteurs exacts discutés ici.

Remarques

↑ Jacobson (2009), p. 98, théorème 3.1.
↑ Jacobson (2009), p. 149, prop. 3.9.
↑ Jacobson (2009), p. 99, théorème 3.1.
↑ Jacobson (2009), p. 156.

Références

Jacobson, Nathan (2009). Algèbre de base . 2 (2e éd.). Douvres. ISBN 978-0-486-47187-7.

[1] Jacobson (2009), p. 98, théorème 3.1.

[2] Jacobson (2009), p. 149, prop. 3.9.

[3] Jacobson (2009), p. 99, théorème 3.1.

[4] Jacobson (2009), p. 156.

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