Théorème des valeurs extrêmes - Extreme value theorem

Une fonction continue sur l'intervalle fermé montrant le max absolu (rouge) et le min absolu (bleu).${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,b]}$

En calcul , le théorème des valeurs extrêmes stipule que si une fonction à valeur réelle est continue sur l' intervalle fermé , alors doit atteindre un maximum et un minimum , chacun au moins une fois. C'est-à-dire qu'il existe des nombres et en tel que : ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage d}$${\style d'affichage [a,b]}$

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]}$

Le théorème des valeurs extrêmes est plus spécifique que le théorème de bornage connexe , qui déclare simplement qu'une fonction continue sur l'intervalle fermé est bornée sur cet intervalle; c'est-à-dire qu'il existe des nombres réels et tels que : ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage M}$

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b]}$.

Cela ne dit pas cela et sont nécessairement les valeurs maximales et minimales de sur l'intervalle, ce que le théorème des valeurs extrêmes stipule doit également être le cas. ${\style d'affichage M}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,b],}$

Le théorème des valeurs extrêmes est utilisé pour prouver le théorème de Rolle . Dans une formulation due à Karl Weierstrass , ce théorème énonce qu'une fonction continue d'un espace compact non vide à un sous - ensemble des nombres réels atteint un maximum et un minimum.

Histoire

Le théorème des valeurs extrêmes a été prouvé à l'origine par Bernard Bolzano dans les années 1830 dans un ouvrage Théorie des fonctions mais l'ouvrage est resté inédit jusqu'en 1930. La preuve de Bolzano consistait à montrer qu'une fonction continue sur un intervalle fermé était bornée, puis à montrer que la fonction atteignait un maximum et une valeur minimum. Les deux preuves impliquaient ce que l'on appelle aujourd'hui le théorème de Bolzano-Weierstrass . Le résultat a également été découvert plus tard par Weierstrass en 1860.

Fonctions auxquelles le théorème ne s'applique pas

Les exemples suivants montrent pourquoi le domaine fonctionnel doit être fermé et délimité pour que le théorème s'applique. Chacun n'atteint pas un maximum sur l'intervalle donné.

1. ${\style d'affichage f(x)=x}$défini sur n'est pas limité par le haut.${\style d'affichage [0,\infty )}$
2. ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$défini sur est borné mais n'atteint pas sa moindre borne supérieure .${\style d'affichage [0,\infty )}$${\style d'affichage 1}$
3. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$défini sur n'est pas limité par le haut.${\style d'affichage (0,1]}$
4. ${\style d'affichage f(x)=1-x}$défini sur est borné mais n'atteint jamais sa moindre borne supérieure .${\style d'affichage (0,1]}$${\style d'affichage 1}$

La définition dans les deux derniers exemples montre que les deux théorèmes nécessitent une continuité sur . ${\style d'affichage f(0)=0}$${\style d'affichage [a,b]}$

Généralisation aux espaces métriques et topologiques

En passant de la ligne réelle aux espaces métriques et aux espaces topologiques généraux , la généralisation appropriée d'un intervalle borné fermé est un ensemble compact . Un ensemble est dit compact s'il a la propriété suivante : à partir de toute collection d' ensembles ouverts telle que , une sous-collection finie peut être choisie telle que . Ceci est généralement indiqué en bref comme "chaque couverture ouverte a une sous-couverture finie". Le théorème de Heine-Borel affirme qu'un sous-ensemble de la ligne réelle est compact si et seulement s'il est à la fois fermé et borné. En conséquence, un espace métrique a la propriété de Heine-Borel si chaque ensemble fermé et borné est également compact. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage K}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$${\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K}$${\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K}$${\style d'affichage K}$

Le concept de fonction continue peut également être généralisé. Étant donné les espaces topologiques , une fonction est dite continue si pour tout ouvert , est également ouverte. Compte tenu de ces définitions, les fonctions continues peuvent être montrées pour préserver la compacité : ${\style d'affichage V,\ W}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle U\sous-ensemble W}$${\displaystyle f^{-1}(U)\sous-ensemble V}$

Théorème. Si sont des espaces topologiques, est une fonction continue et est compact, alors est également compact.${\style d'affichage V,\ W}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle K\sous-ensemble V}$${\style d'affichage f(K)\sous-ensemble W}$

En particulier, si , alors ce théorème implique que est fermé et borné pour tout ensemble compact , ce qui à son tour implique que atteint son supremum et son infimum sur tout ensemble compact (non vide) . Ainsi, nous avons la généralisation suivante du théorème des valeurs extrêmes : ${\displaystyle W=\mathbb {R} }$${\style d'affichage f(K)}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage K}$

Théorème. Si est un ensemble compact et est une fonction continue, alors est borné et il existe tel que et .${\style d'affichage K}$ ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ ${\style d'affichage f}$ ${\displaystyle p,q\in K}$ ${\textstyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)}$ ${\textstyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}$

Un peu plus généralement, ceci est également vrai pour une fonction semi-continue supérieure. (voir espace compact#Fonctions et espaces compacts ).

Démontrer les théorèmes

Nous regardons la preuve pour la borne supérieure et le maximum de . En appliquant ces résultats à la fonction , l'existence de la borne inférieure et le résultat pour le minimum de suit. Notez également que tout dans la preuve est fait dans le contexte des nombres réels . ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage -f}$${\style d'affichage f}$

Nous démontrons d'abord le théorème de bornage, qui est une étape dans la preuve du théorème des valeurs extrêmes. Les étapes de base impliquées dans la preuve du théorème des valeurs extrêmes sont :

1. Démontrer le théorème de bornage.
2. Trouvez une séquence telle que son image converge vers le supremum de .${\style d'affichage f}$
3. Montrer qu'il existe une sous- suite qui converge vers un point du domaine .
4. Utilisez la continuité pour montrer que l'image de la sous-séquence converge vers le supremum.

Preuve du théorème de bornage

Instruction   Si est continue sur alors elle est bornée sur${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage [a,b]}$

Supposons que la fonction ne soit pas bornée au-dessus de l'intervalle . Alors, pour tout entier naturel , il existe un tel que . Ceci définit une séquence . Parce qu'il est borné, le théorème de Bolzano-Weierstrass implique qu'il existe une sous-suite convergente de . Notons sa limite par . Comme il est fermé, il contient . Parce que est continue à , nous savons que converge vers le nombre réel (comme est séquentiellement continue à ). Mais pour tout , ce qui implique que diverge de , une contradiction. Par conséquent, est borné ci-dessus sur . ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$${\style d'affichage f(x_{n})>n}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\style d'affichage [a,b]}$${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$${\style d'affichage ({x_{n}})}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f(x_{{n}_{k}})}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage f(x_{{n}_{k}})}$${\style d'affichage +\infty }$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,b]}$${\displaystyle \Box }$

Preuve alternative

Instruction   Si est continue sur alors elle est bornée sur${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage [a,b]}$

Preuve    Considérons l'ensemble des points dans tel qui est borné sur . Nous notons qu'il s'agit d'un de ces points, car est borné par la valeur . Si est un autre point, alors tous les points entre et appartiennent également à . En d'autres termes est un intervalle fermé à son extrémité gauche par . ${\style d'affichage B}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,p]}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,a]}$${\style d'affichage f(a)}$${\style d'affichage e>a}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage a}$

Maintenant est continue sur la droite à , d'où il existe tel que pour tout dans . Ainsi est borné par et sur l'intervalle de sorte que tous ces points appartiennent à . ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle \delta >0}$${\style d'affichage |f(x)-f(a)|<1}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [a,a+\delta ]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f(a)-1}$${\style d'affichage f(a)+1}$${\style d'affichage [a,a+\delta ]}$${\style d'affichage B}$

Jusqu'à présent, nous savons qu'il s'agit d'un intervalle de longueur non nulle, fermé à son extrémité gauche par . ${\style d'affichage B}$${\style d'affichage a}$

Ensuite, est délimité ci-dessus par . D'où l'ensemble a un supremum dans  ; appelons-le . De la longueur non nulle de on peut déduire que . ${\style d'affichage B}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage s}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage s>a}$

Supposons . Or est continue en , donc il existe tel que pour tout in donc qui est borné sur cet intervalle. Mais il résulte de la suprématie de qu'il existe un point appartenant à , disons, qui est supérieur à . Ainsi est borné sur qui se chevauche donc qui est borné sur . Cela contredit cependant la suprématie de . ${\style d'affichage s<b}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage s}$${\displaystyle \delta >0}$${\style d'affichage |f(x)-f(s)|<1}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage s}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage s-\delta /2}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,e]}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,s+\delta ]}$${\style d'affichage s}$

Nous devons donc avoir . Maintenant est continue sur la gauche en , d'où il existe tel que pour tout dans donc qui est borné sur cet intervalle. Mais il résulte de la suprématie de qu'il existe un point appartenant à , disons, qui est supérieur à . Ainsi est borné sur qui se chevauche donc qui est borné sur .  ∎${\style d'affichage s=b}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage s}$${\displaystyle \delta >0}$${\style d'affichage |f(x)-f(s)|<1}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [s-\delta ,s]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage s}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage s-\delta /2}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,e]}$${\style d'affichage [s-\delta ,s]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,s]}$

Preuve du théorème des valeurs extrêmes

Par le théorème de bornage, f est borné par le haut, donc, par la complétude de Dedekind des nombres réels, la plus petite borne supérieure (supremum) M de f existe. Il faut trouver un point d dans [ a , b ] tel que M = f ( d ). Soit n un nombre naturel. Comme M est la plus petite borne supérieure, M – 1/ n n'est pas une borne supérieure pour f . Par conséquent, il existe d _n dans [ a , b ] de sorte que M – 1/ n < f ( d _n ). Ceci définit une séquence { d _n }. Puisque M est une borne supérieure pour f , nous avons M – 1/ n < f ( d _n ) ≤ M pour tout n . Par conséquent, la suite { f ( d _n )} converge vers M .

Le théorème de Bolzano-Weierstrass nous dit qu'il existe une sous-suite { }, qui converge vers un certain d et, comme [ a , b ] est fermé, d est dans [ a , b ]. Puisque f est continue en d , la suite { f ( )} converge vers f ( d ). Mais { f ( d _{n k} )} est une sous-suite de { f ( d _n )} qui converge vers M , donc M = f ( d ). Par conséquent, f atteint son supremum M en d . ∎${\displaystyle d_{n_{k}}}$${\displaystyle d_{n_{k}}}$

Preuve alternative du théorème des valeurs extrêmes

L'ensemble { y ∈ R  : y = f( x ) pour un certain x ∈ [ a , b ] } est un ensemble borné. Par conséquent, sa moindre limite supérieure existe par la propriété de moindre limite supérieure des nombres réels. Soit M  = sup( f ( x )) sur [ a ,  b ]. S'il n'y a pas de point x sur [ a ,  b ] de sorte que f ( x ) =  M , alors f ( x ) <  M sur [ a ,  b ]. Par conséquent, 1/( M  −  f ( x )) est continue sur [ a , b ].

Cependant, pour tout nombre positif ε , il y a toujours une certaine x dans [ a ,  b ] de telle sorte que M  -  f ( x ) <  ε parce que M est la borne supérieure. Ainsi, 1/( M  −  f ( x )) > 1/ ε , ce qui signifie que 1/( M  −  f ( x )) n'est pas borné. Puisque toute fonction continue sur a [ a , b ] est bornée, cela contredit la conclusion selon laquelle 1/( M  −  f ( x )) était continue sur [ a ,  b ]. Par conséquent, il doit y avoir un point x dans [ a ,  b ] tel que f ( x ) =  M . ∎

Preuve en utilisant les hyperréels

Dans le cadre du calcul non standard , soit N   un hyperentier infini . L'intervalle [0, 1] a une extension hyperréelle naturelle. Considérons sa partition en N sous-intervalles de longueur infinitésimale égale 1/ N , avec des points de partition x _i  = i  / N lorsque i "passe" de 0 à N . La fonction ƒ   est aussi naturellement étendu à une fonction ƒ * définie sur les hyperreals entre 0 et 1. Notez que dans le réglage standard (lorsque N   est fini), un point avec la valeur maximale de ƒ peut toujours être choisi parmi les N + 1 points x _i , par induction. Ainsi, par le principe de transfert , il existe un hyperentier i ₀ tel que 0 i ₀  ≤ N et   pour tout i  = 0, ...,  N . Considérez le vrai point ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$

${\displaystyle c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})}$

où st est la fonction de partie standard . Un point réel arbitraire x se situe dans un sous-intervalle approprié de la partition, à savoir , de sorte que  st ( x _i ) = x . En appliquant st à l'inégalité , on obtient . Par continuité de ƒ   on a ${\style d'affichage x\in [x_{i},x_{i+1}]}$${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}$

${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)}$.

D'où ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ), pour tout réel x , ce qui prouve que c est un maximum de ƒ .

Preuve des premiers principes

Énoncé      Si est continu sur alors il atteint son supremum sur${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage [a,b]}$

Preuve      Par le théorème de la limite, est borné ci-dessus sur et par la propriété de complétude des nombres réels a un supremum dans . Appelons-le , ou . Il est clair que la restriction de au sous-intervalle où a un supremum inférieur ou égal à , et qui augmente de à lorsque augmente de à . ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage M[a,b]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage [a,x]}$${\style d'affichage x\leq b}$${\style d'affichage M[a,x]}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage M[a,x]}$${\style d'affichage f(a)}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$

Si alors nous avons terminé. Supposons donc que et laissez . Considérez l'ensemble des points dans tel que . ${\style d'affichage f(a)=M}$${\style d'affichage f(a)<M}$${\style d'affichage d=Mf(a)}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage M[a,x]<M}$

Clairement  ; de plus, si est un autre point dans alors tous les points entre et appartiennent également car est monotone croissant. D'où un intervalle non vide, fermé à son extrémité gauche par . ${\displaystyle a\in L}$${\style d'affichage e>a}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage M[a,x]}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage a}$

Maintenant est continue sur la droite à , d'où il existe tel que pour tout dans . Donc est inférieur à sur l'intervalle de sorte que tous ces points appartiennent à . ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle \delta >0}$${\style d'affichage |f(x)-f(a)|<d/2}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [a,a+\delta ]}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle Md/2}$${\style d'affichage [a,a+\delta ]}$${\style d'affichage L}$

Ensuite, est délimité au-dessus par et a donc un supremum dans  : appelons-le . Nous voyons d'après ce qui précède que . Nous montrerons que c'est le point que nous recherchons c'est-à-dire le point où atteint son supremum, ou en d'autres termes . ${\style d'affichage L}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage s}$${\style d'affichage s>a}$${\style d'affichage s}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f(s)=M}$

Supposons le contraire à savoir. . Soit et considérons les deux cas suivants : ${\style d'affichage f(s)<M}$${\displaystyle d=Mf(s)}$

(1)    . Comme est continu à , il existe tel que pour tout dans . Cela signifie que c'est moins que sur l'intervalle . Mais il résulte de la suprématie de qu'il existe un point, disons, appartenant à qui est supérieur à . Par la définition de , . Laissez alors pour tous dans , . Prendre être le minimum et , nous avons pour tous dans . ${\style d'affichage s<b}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage s}$${\displaystyle \delta >0}$${\style d'affichage |f(x)-f(s)|<d/2}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle Md/2}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$${\style d'affichage s}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage s-\delta }$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage M[a,e]<M}$${\displaystyle d_{1}=MM[a,e]}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [a,e]}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$${\style d'affichage d_{2}}$${\style d'affichage d/2}$${\style d'affichage d_{1}}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [a,s+\delta ]}$

Donc donc ça . Ceci contredit cependant la suprématie de et complète la preuve. ${\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}$${\displaystyle s+\delta \in L}$${\style d'affichage s}$

(2)    . Comme c'est continu à gauche en , il existe tel que pour tout dans . Cela signifie que c'est moins que sur l'intervalle . Mais il résulte de la suprématie de qu'il existe un point, disons, appartenant à qui est supérieur à . Par la définition de , . Laissez alors pour tous dans , . Prendre être le minimum et , nous avons pour tous dans . Ceci contredit la suprématie de et complète la preuve. ∎${\style d'affichage s=b}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage s}$${\displaystyle \delta >0}$${\style d'affichage |f(x)-f(s)|<d/2}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [s-\delta ,s]}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle Md/2}$${\style d'affichage [s-\delta ,s]}$${\style d'affichage s}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage s-\delta }$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage M[a,e]<M}$${\displaystyle d_{1}=MM[a,e]}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [a,e]}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$${\style d'affichage d_{2}}$${\style d'affichage d/2}$${\style d'affichage d_{1}}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage M}$

Extension aux fonctions semi-continues

Si la continuité de la fonction f est affaiblie jusqu'à la semi-continuité , alors la moitié correspondante du théorème de bornage et le théorème des valeurs extrêmes sont valables et les valeurs –∞ ou +∞, respectivement, de la droite des nombres réels étendus peuvent être autorisées dans la mesure du possible valeurs. Plus précisément:

Théorème : Si une fonction f  : [ a , b ] → [–∞,∞) est semi-continue supérieure, ce qui signifie que

${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$

pour tout x dans [ a , b ], alors f est majoré au-dessus et atteint son supremum.

Preuve : Si f ( x ) = –∞ pour tout x dans [ a , b ], alors le supremum est aussi –∞ et le théorème est vrai. Dans tous les autres cas, la preuve est une légère modification des preuves données ci-dessus. Dans la preuve du théorème de bornage, la semi-continuité supérieure de f en x implique seulement que la limite supérieure de la sous-suite { f ( x _{n k} )} est majorée par f ( x ) < , mais cela suffit pour obtenir la contradiction. Dans la preuve du théorème des valeurs extrêmes, la semi-continuité supérieure de f en d implique que la limite supérieure de la sous-suite { f ( d _{n k} )} est bornée au-dessus par f ( d ), mais cela suffit pour conclure que f ( d ) = M . ∎

L'application de ce résultat à − f prouve :

Théorème : Si une fonction f  : [ a , b ] → (–∞,∞] est semi-continue inférieure, ce qui signifie que

${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$

pour tout x dans [ a , b ] , alors f est borné en dessous et atteint son infimum .

Une fonction à valeur réelle est semi-continue aussi bien supérieure qu'inférieure, si et seulement si elle est continue au sens habituel. Par conséquent, ces deux théorèmes impliquent le théorème de bornage et le théorème des valeurs extrêmes.

Les références

Lectures complémentaires

• Adams, Robert A. (1995). Calcul : un cours complet . Lecture : Addison-Wesley. p. 706-707. ISBN 0-201-82823-5.
• Protter, MH ; Morrey, CB (1977). « Les théorèmes de la limite et de la valeur extrême » . Un premier cours d'analyse réelle . New York : Springer. p. 71-73. ISBN 0-387-90215-5.

Liens externes

• Une preuve du théorème des valeurs extrêmes à couper le nœud
• Théorème des valeurs extrêmes de Jacqueline Wandzura avec des contributions supplémentaires de Stephen Wandzura, le Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Théorème de la valeur extrême" . MathWorld .
• Preuve du système Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15