Groupe de frise - Frieze group
En mathématiques, une frise ou un motif de frise est un dessin sur une surface bidimensionnelle qui se répète dans une direction. De tels modèles se produisent fréquemment dans l' architecture et l' art décoratif . Un groupe de frise est l'ensemble des symétries d'un motif de frise, en particulier l'ensemble des isométries du motif, c'est-à-dire des transformations géométriques construites à partir de mouvements et de réflexions rigides qui préservent le motif. L'étude mathématique des motifs de frise révèle qu'ils peuvent être classés en sept types selon leurs symétries.
Les groupes de frise sont des groupes de lignes à deux dimensions , ayant une répétition dans une seule direction. Ils sont liés aux groupes de papier peint plus complexes , qui classent les motifs répétitifs dans deux directions, et aux groupes cristallographiques , qui classent les motifs répétitifs dans trois directions.
Général
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Formellement, un groupe de frise est une classe de groupes de motifs à symétrie discrète infinis sur une bande (rectangle infiniment large), donc une classe de groupes d' isométries du plan, ou d'une bande. Un groupe de symétrie d'un groupe de frise contient nécessairement des translations et peut contenir des réflexions de glissement , des réflexions selon le grand axe de la bande, des réflexions selon l'axe étroit de la bande, et des rotations à 180° . Il y a sept groupes de frise, répertoriés dans le tableau récapitulatif. De nombreux auteurs présentent les groupes de frise dans un ordre différent.
Les groupes de symétrie réels au sein d'un groupe de frise sont caractérisés par la plus petite distance de translation et, pour les groupes de frise avec réflexion verticale ou rotation de 180° (groupes 2, 5, 6 et 7), par un paramètre de décalage localisant l'axe de réflexion ou point de rotation. Dans le cas des groupes de symétrie dans le plan, des paramètres supplémentaires sont la direction du vecteur de translation et, pour les groupes de frises avec réflexion horizontale, réflexion glissante ou rotation à 180° (groupes 3 à 7), la position de la réflexion axe ou point de rotation dans la direction perpendiculaire au vecteur de translation. Ainsi, il y a deux degrés de liberté pour le groupe 1, trois pour les groupes 2, 3 et 4, et quatre pour les groupes 5, 6 et 7.
Pour deux des sept groupes de frise (groupes 1 et 4), les groupes de symétrie sont générés individuellement , pour quatre (groupes 2, 3, 5 et 6) ils ont une paire de générateurs, et pour le groupe 7, les groupes de symétrie nécessitent trois générateurs . Un groupe de symétrie dans le groupe de frise 1, 2, 3 ou 5 est un sous - groupe d'un groupe de symétrie dans le dernier groupe de frise avec la même distance de translation. Un groupe de symétrie du groupe de frise 4 ou 6 est un sous-groupe d'un groupe de symétrie du dernier groupe de frise avec la moitié de la distance de translation. Ce dernier groupe de frise contient les groupes de symétrie des motifs périodiques les plus simples de la bande (ou du plan), une rangée de points. Toute transformation du plan laissant ce motif invariant peut être décomposée en une translation, ( x , y ) ↦ ( n + x , y ) , éventuellement suivie d'une réflexion soit sur l'axe horizontal, ( x , y ) ↦ ( x , − y ) , soit l'axe vertical, ( x , y ) ↦ (− x , y ) , à condition que cet axe soit choisi passant ou à mi-chemin entre deux points, soit une rotation de 180°, ( x , y ) ↦ (− x , − y ) (idem). Par conséquent, d'une certaine manière, ce groupe de frise contient les groupes de symétrie "les plus grands", qui consistent en toutes ces transformations.
L'inclusion de la condition discrète consiste à exclure le groupe contenant toutes les translations, et les groupes contenant des translations arbitrairement petites (par exemple le groupe des translations horizontales par distances rationnelles). Même en dehors de la mise à l'échelle et du décalage, il existe une infinité de cas, par exemple en considérant des nombres rationnels dont les dénominateurs sont des puissances d'un nombre premier donné.
L'inclusion de la condition infinie consiste à exclure les groupes qui n'ont pas de traductions :
- le groupe avec l'identité seulement (isomorphe à C 1 , le groupe trivial d'ordre 1).
- le groupe constitué de l'identité et de la réflexion dans l'axe horizontal (isomorphe à C 2 , le groupe cyclique d'ordre 2).
- les groupes constitués chacun de l'identité et du reflet dans un axe vertical (idem)
- les groupes constitués chacun de l'identité et de la rotation de 180° autour d'un point sur l'axe horizontal (idem)
- les groupes comprenant chacun l'identité, la réflexion sur un axe vertical, la réflexion sur l'axe horizontal et une rotation de 180° autour du point d'intersection (isomorphe au groupe des quatre de Klein )
Descriptions des sept groupes de frise
Il existe sept sous-groupes distincts (jusqu'à la mise à l'échelle et au déplacement des motifs) dans le groupe de frise discrète généré par une translation, une réflexion (le long du même axe) et une rotation de 180°. Chacun de ces sous-groupes est le groupe de symétrie d'un motif de frise, et des exemples de motifs sont présentés sur la figure 1. Les sept groupes différents correspondent aux 7 séries infinies de groupes de points axiaux en trois dimensions , avec n = .
Ils sont identifiés dans le tableau ci - dessous en utilisant la notation Hermann-Mauguin (ou notation IUC ), la notation Coxeter , notation Schönflies , orbifold notation , surnoms créés par le mathématicien John H. Conway , et enfin une description en termes de traduction, des réflexions et des rotations.
| IUC | Barreur. | Schön. * | Diagramme, § Orbifold |
Exemples et surnom de
Conway |
La description |
|---|---|---|---|---|---|
| p1 | [∞] + 
|
C de la Z ∞ |
 ?? |
FFFFFFFF houblon
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(T) Translations only : Ce groupe est généré individuellement, par une translation par la plus petite distance sur laquelle le motif est périodique. |
| p11g | [∞ + ,2 + ] 
|
S de la Z ∞ |
 × |
L Γ L Γ L Γ L étape
  |
(TG) Glide-Reflections and Translations : Ce groupe est généré individuellement, par une réflexion de glissement, les translations étant obtenues en combinant deux réflexions de glissement. |
| p1m1 | [∞]
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C v Dih ∞ |
 *∞∞ |
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Sidle
  |
(TV) Lignes de réflexion verticales et traductions : Le groupe est le même que le groupe non trivial dans le cas unidimensionnel ; elle est engendrée par une translation et une réflexion dans l'axe vertical. |
| p2 | [∞,2] +
|
D ∞ Dih ∞ |
 22∞ |
Houblon de filature
SSSSSSSS  |
(TR) Translations et rotations à 180° : Le groupe est généré par une translation et une rotation à 180°. |
| p2mg | [∞,2 + ]
|
D d Dih ∞ |
 2*∞ |
V Λ V Λ V Λ V Λ filature
  |
(TRVG) Lignes de réflexion verticales, réflexions de glissement, translations et rotations à 180° : les translations proviennent ici des réflexions de glissement, ce groupe est donc généré par une réflexion de glissement et soit une rotation, soit une réflexion verticale. |
| p11m | [∞ + ,2]
|
C ∞h Z ∞ ×Dih 1 |
 * |
BBBBBBBB saut
  |
(THG) Translations, Réflexions horizontales, Réflexions glissantes : Ce groupe est généré par une translation et la réflexion dans l'axe horizontal. La réflexion glissante se pose ici comme la composition de la translation et de la réflexion horizontale |
| p2mm | [∞,2]
|
D ∞h Dih ∞ ×Dih 1 |
 *22∞ |
HHHHHHHH saut en rotation
  |
(TRHVG) Lignes de réflexion horizontales et verticales, translations et rotations à 180° : Ce groupe nécessite trois générateurs, avec un groupe électrogène composé d'une translation, la réflexion sur l'axe horizontal et une réflexion sur l'axe vertical. |
- * La notation de groupe de points de Schönflies est étendue ici comme des cas infinis des symétries équivalentes des points dièdres
- § Le diagramme montre un domaine fondamental en jaune, avec des lignes de réflexion en bleu, des lignes de réflexion de glissement en pointillés verts, des normales de translation en rouge et des points de giration 2 sous forme de petits carrés verts.
Sur les sept groupes de frise, il n'y en a que quatre jusqu'à l' isomorphisme . Deux sont générés individuellement et isomorphes à ; quatre d'entre eux sont doublement engendrés, dont un est abélien et trois sont non abéliens et isomorphes à , le groupe dièdre infini ; et l'un d'eux a trois générateurs.
Types de treillis : Oblique et rectangulaire
Les groupes peuvent être classés selon leur type de grille ou de treillis bidimensionnel. Le réseau étant oblique signifie que la deuxième direction n'a pas besoin d'être orthogonale à la direction de répétition.
| Type de treillis | Groupes |
|---|---|
| Oblique | p1, p2 |
| Rectangulaire | p1m1, p11m, p11g, p2mm, p2mg |
Voir également
- Groupes de symétrie dans une dimension
- Groupe de lignes
- Groupe de tiges
- Groupe de papiers peints
- Groupe d'espace
Démo Web et logiciel
Il existe des outils graphiques logiciels qui créent des motifs 2D à l'aide de groupes de frise. Habituellement, le motif entier est mis à jour automatiquement en réponse aux modifications de la bande originale.
- EscherSketch Un programme en ligne gratuit pour dessiner, enregistrer et exporter des pavages. Prend en charge tous les groupes de papiers peints.
- Kali , une application logicielle gratuite et open source pour le papier peint, la frise et d'autres motifs.
- Kali , Kali téléchargeable gratuitement pour Windows et Mac Classic.
- Tess , un programme de tessellation nagware pour plusieurs plates-formes, prend en charge tous les groupes de papier peint, frise et rosace, ainsi que les pavages Heesch.
- FriezingWorkz , une pile Hypercard gratuite pour la plate-forme Mac classique qui prend en charge tous les groupes de frise.