Notation orbifold - Orbifold notation

En géométrie , la notation orbifold (ou signature orbifold ) est un système, inventé par le mathématicien William Thurston et promu par John Conway , pour représenter des types de groupes de symétrie dans des espaces bidimensionnels à courbure constante. L'avantage de la notation est qu'elle décrit ces groupes d'une manière qui indique de nombreuses propriétés des groupes : en particulier, elle suit William Thurston dans la description de l' orbite obtenue en prenant le quotient de l' espace euclidien par le groupe considéré.

Les groupes représentables dans cette notation comprennent les groupes de points sur la sphère ( ), les groupes de frise et les groupes de papier peint du plan euclidien ( ), et leurs analogues sur le plan hyperbolique ( ). ${\style d'affichage S^{2}}$ ${\style d'affichage E^{2}}$ $H^{2}$

Définition de la notation

Les types suivants de transformation euclidienne peuvent se produire dans un groupe décrit par la notation orbifold :

réflexion à travers une ligne (ou un plan)
traduction par un vecteur
rotation d'ordre fini autour d'un point
rotation infinie autour d'une ligne dans l'espace 3-
glisse-réflexion, c'est à dire réflexion suivie d'une translation.

Toutes les traductions qui se produisent sont supposées former un sous-groupe discret des symétries de groupe décrites.

Chaque groupe est noté en notation orbifold par une chaîne finie composée des symboles suivants :

entiers positifs ${\style d'affichage 1,2,3,\points }$
le symbole de l' infini , ${\style d'affichage \infty }$
l' astérisque , *
le symbole o (un cercle plein dans les documents plus anciens), qui est appelé une merveille et aussi une poignée car il représente topologiquement un tore (1 poignée) surface fermée. Les motifs se répètent par deux traductions.
le symbole (un cercle ouvert dans les documents plus anciens), qui est appelé un miracle et représente un crosscap topologique où un motif se répète comme une image miroir sans traverser une ligne miroir. ${\style d'affichage \fois }$

Une chaîne écrite en gras représente un groupe de symétries de l'espace 3 euclidien. Une chaîne non écrite en gras représente un groupe de symétries du plan euclidien, qui est supposé contenir deux traductions indépendantes.

Chaque symbole correspond à une transformation distincte :

un entier n à gauche d'un astérisque indique une rotation d'ordre n autour d'un point de giration
un entier n à droite d'un astérisque indique une transformation d'ordre 2 n qui tourne autour d'un point kaléidoscopique et se réfléchit à travers une ligne (ou un plan)
an indique une réflexion de glissement ${\style d'affichage \fois }$
le symbole indique une symétrie de rotation infinie autour d'une ligne ; cela ne peut se produire que pour les groupes de caractères gras. Par abus de langage, on pourrait dire qu'un tel groupe est un sous-groupe de symétries du plan euclidien avec une seule traduction indépendante. Les groupes de frise se produisent de cette façon. ${\style d'affichage \infty }$
le symbole exceptionnel o indique qu'il existe précisément deux traductions linéairement indépendantes.

Bons orbifolds

Un symbole orbifold est dit bon s'il n'est pas l'un des suivants : p , pq , * p , * pq , pour p , q 2 et p ≠ q .

Chiralité et achiralité

Un objet est chiral si son groupe de symétrie ne contient aucune réflexion ; sinon on l'appelle achiral . L'orbifold correspondant est orientable dans le cas chiral et non orientable dans le cas contraire.

La caractéristique d'Euler et l'ordre

La caractéristique d'Euler d'un orbifold peut être lue à partir de son symbole Conway, comme suit. Chaque caractéristique a une valeur :

n sans ou avant un astérisque compte comme ${\style d'affichage {\frac {n-1}{n}}}$
n après un astérisque compte comme ${\style d'affichage {\frac {n-1}{2n}}}$
astérisque et compte pour 1 ${\style d'affichage \fois }$
o compte pour 2.

Soustraire la somme de ces valeurs de 2 donne la caractéristique d'Euler.

Si la somme des valeurs des caractéristiques est 2, l'ordre est infini, c'est-à-dire que la notation représente un groupe de papier peint ou un groupe de frise. En effet, le "théorème magique" de Conway indique que les 17 groupes de papiers peints sont exactement ceux dont la somme des valeurs de caractéristiques est égale à 2. Sinon, l'ordre est de 2 divisé par la caractéristique d'Euler.

Groupes égaux

Les groupes suivants sont isomorphes :

1* et *11
22 et 221
*22 et *221
2* et 2*1.

C'est parce que la rotation 1 fois est la rotation "vide".

Groupes bidimensionnels

Un flocon de neige parfait aurait une symétrie *6•,

Le pentagone a une symétrie *5•, l'image entière avec des flèches 5•.

Le drapeau de Hong Kong a une symétrie de rotation 5 fois, 5•.

La symétrie d'un objet 2D sans symétrie translationnelle peut être décrite par le type de symétrie 3D en ajoutant une troisième dimension à l'objet qui n'ajoute ni ne gâche la symétrie. Par exemple, pour une image 2D, nous pouvons considérer un morceau de carton avec cette image affichée sur un côté ; la forme du carton doit être telle qu'elle ne gâche pas la symétrie, ou elle peut être imaginée comme infinie. On a donc n • et * n •. La puce (•) est ajoutée sur les groupes à une et deux dimensions pour impliquer l'existence d'un point fixe. (En trois dimensions, ces groupes existent dans un orbifold digonal n-fold et sont représentés par nn et * nn .)

De même, une image 1D peut être dessinée horizontalement sur un morceau de carton, en prévoyant d'éviter une symétrie supplémentaire par rapport à la ligne de l'image, par exemple en dessinant une barre horizontale sous l'image. Ainsi, les groupes de symétrie discrets à une dimension sont *•, *1•, ∞• et *∞•.

Une autre façon de construire un objet 3D à partir d'un objet 1D ou 2D pour décrire la symétrie consiste à prendre respectivement le produit cartésien de l'objet et d'un objet 2D ou 1D asymétrique.

Tables de correspondance

Sphérique

Domaines fondamentaux des groupes de points 3D réfléchissants
(*11), C _1v = C _s	(*22), C _2v	(*33), C _3v	(*44), Do _4v	(*55), C _5v	(*66), C _6v
Commande 2	Commande 4	Commande 6	Commande 8	Commande 10	Commande 12
(*221), D _1h = C _2v	(*222), J _2h	(*223), J _3h	(*224), J _4h	(*225), J _5h	(*226), J _6h
Commande 4	Commande 8	Commande 12	Commande 16	Commande 20	Commande 24
(*332), T _d		(* 432), O _h		(*532), je _h
Commande 24		Commande 48		Commande 120

Groupes de symétrie sphérique
Signature Orbifold	Coxeter	Schönflies	Hermann-Mauguin	Ordre
Groupes polyédriques
*532	[3,5]	je _h	53m	120
532	[3,5] ⁺	je	532	60
*432	[3,4]	O _h	m3m	48
432	[3,4] ⁺	O	432	24
*332	[3,3]	T _d	4 3m	24
3*2	[3 ⁺ ,4]	T _h	m3	24
332	[3,3] ⁺	T	23	12
Groupes dièdres et cycliques : n = 3, 4, 5 ...
*22n	[2,n]	D _nh	n / mmm ou 2 n m2	4n
2*n	[2 ⁺ ,2n]	D _nd	2 n 2 m ou n m	4n
22n	[2,n] ⁺	D _n	n2	2n
*nn	[n]	C _nv	nm	2n
n*	[n ⁺ ,2]	C _nh	n/m ou 2 n	2n
n×	[2 ⁺ ,2n ⁺ ]	S _2n	2 n ou n	2n
nn	[n] ⁺	C _n	m	m
Cas spéciaux
*222	[2,2]	J _2h	2/mm ou 2 2 m2	8
2*2	[2 ⁺ ,4]	D _2d	2 2 2 m ou 2 m	8
222	[2,2] ⁺	D ₂	22	4
*22	[2]	C _2v	2m	4
2*	[2 ⁺ ,2]	C _2h	2/m ou 2 2	4
2×	[2 ⁺ ,4 ⁺ ]	S ₄	2 2 ou 2	4
22	[2] ⁺	C ₂	2	2
*22	[1,2]	D _1h = D _2v	1/mmm ou 2 1 m2	4
2*	[2 ⁺ ,2]	D _1j = C _2h	2 1 2 m ou 1 m	4
22	[1,2] ⁺	D ₁ = C ₂	12	2
*1	[ ]	C _1v = C _s	1m	2
1*	[2,1 ⁺ ]	C _1h = C _s	1/m ou 2 1	2
1×	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	S ₂ = C _i	2 1 ou 1	2
1	[ ] ⁺	C ₁	1	1

plan euclidien

Groupes de frise

Groupes de frise
IUC	Barreur.	Schön. ^*	Diagramme, ^§ Orbifold	Exemples et surnom de Conway	La description
p1	[∞] ⁺	C _de la Z _∞	∞∞	FFFFFFFF houblon	(T) Translations only : Ce groupe est généré individuellement, par une translation de la plus petite distance sur laquelle le motif est périodique.
p11g	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ]	S _de la Z _∞	×	L Γ L Γ L Γ L étape	(TG) Glide-Reflections and Translations : Ce groupe est généré individuellement, par une réflexion de glissement, les translations étant obtenues en combinant deux réflexions de glissement.
p1m1	[∞]	C _v Dih _∞	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Sidle	(TV) Lignes de réflexion verticales et traductions : Le groupe est le même que le groupe non trivial dans le cas unidimensionnel ; elle est engendrée par une translation et une réflexion dans l'axe vertical.
p2	[∞,2] ⁺	D _∞ Dih _∞	22∞	Houblon de filature SSSSSSSS	(TR) Translations et rotations à 180° : Le groupe est généré par une translation et une rotation à 180°.
p2mg	[∞,2 ⁺ ]	D _d Dih _∞	2*∞	V Λ V Λ V V Λ filature	(TRVG) Lignes de réflexion verticales, réflexions de glissement, translations et rotations à 180° : les translations proviennent ici des réflexions de glissement, ce groupe est donc généré par une réflexion de glissement et soit une rotation, soit une réflexion verticale.
p11m	[∞ ⁺ ,2]	C _∞h Z _∞ ×Dih ₁	*	BBBBBBBB saut	(THG) Translations, Réflexions horizontales, Réflexions glissantes : Ce groupe est généré par une translation et la réflexion dans l'axe horizontal. La réflexion de glissement se pose ici comme la composition de la translation et de la réflexion horizontale
p2mm	[∞,2]	D _∞h Dih _∞ ×Dih ₁	*22∞	HHHHHHHH saut en rotation	(TRHVG) Lignes de réflexion horizontales et verticales, translations et rotations à 180° : Ce groupe nécessite trois générateurs, avec un groupe électrogène composé d'une translation, la réflexion sur l'axe horizontal et une réflexion sur l'axe vertical.

^{* La} notation de groupe de points de Schönflies est étendue ici comme des cas infinis des symétries équivalentes des points dièdres

^§ Le diagramme montre un domaine fondamental en jaune, avec des lignes de réflexion en bleu, des lignes de réflexion de glissement en vert pointillé, des normales de translation en rouge et des points de giration 2 sous forme de petits carrés verts.

Groupes de papiers peints

Domaines fondamentaux des groupes réflexifs euclidiens
(*442), p4m	(4*2), p4g

(*333), p3m	(632), p6

17 groupes de papiers peints
Signature Orbifold	Coxeter	Hermann- Mauguin	Speiser Niggli	Polya Guggenhein	Fejes Toth Cadwell
*632	[6,3]	p6m	C ^(I)_6v	D ₆	L ¹₆
632	[6,3] ⁺	p6	C ^(I)₆	C ₆	L ₆
*442	[4,4]	p4m	C ^(I)₄	J ^*₄	L ¹₄
4*2	[4 ⁺ ,4]	p4g	C ^II_4v	D ^o₄	L ²₄
442	[4,4] ⁺	p4	C ^(I)₄	C ₄	L ₄
*333	[3 ^[3] ]	p3m1	C ^II_3v	J ^*₃	L ¹₃
3*3	[3 ⁺ ,6]	p31m	C ^je_3v	D ^o₃	W ²₃
333	[3 ^[3] ] ⁺	p3	C ^je₃	C ₃	L ₃
*2222	[∞,2,∞]	pm	C ^I_2v	D ₂ kkkk	W ²₂
2*22	[∞,2 ⁺ ,∞]	cmm	C ^IV_2v	D ₂ kgkg	L ¹₂
22*	[(∞,2) ⁺ ,∞]	pmg	C ^III_2v	D ₂ kg	L ³₂
22×	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]	pgg	C ^II_2v	D ₂ gggg	L ⁴₂
2222	[∞,2,∞] ⁺	p2	C ^(I)₂	C ₂	W ₂
**	[∞ ⁺ ,2,∞]	après-midi	C ^je_s	D ₁ kk	W ²₁
*×	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞]	cm	C ^III_s	D ₁ kg	W ¹₁
××	[∞ ⁺ ,(2,∞) ⁺ ]	page	C ^II₂	D ₁ g	L ³₁
o	[∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ]	p1	C ^(je)₁	C ₁	W ₁

Plan hyperbolique

Modèle de disque de Poincaré des triangles du domaine fondamental
Exemple de triangles rectangles (*2pq)
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
Exemple de triangles généraux (*pqr)
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*6 ³	*∞ ³
Exemple de polygones supérieurs (*pqrs...)
*2223	*(23) ²	*(24) ²	*3 ⁴	*4 ⁴
*2 ⁵	*2 ⁶	*2 ⁷	*2 ⁸
*222∞	*(2∞) ²	*∞ ⁴	*2 ^∞	*∞ ^∞

Quelques premiers groupes hyperboliques, ordonnés par leur caractéristique d'Euler sont :

Groupes de symétrie hyperbolique
−1/χ	Orbifolds	Coxeter
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3] ⁺
40	*245	[5,4]
36–26,4	239, 2 3 10	[9,3], [10,3]
26,4	*2 3 11	[11,3]
24	2 3 12, 246, 334, 34, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3 ⁺ ,8], [8,3] ⁺
22.3–21	2 3 13, 2 3 14	[13,3], [14,3]
20	2 3 15, 255, 5*2, 245	[15,3], [5,5], [5 ⁺ ,4], [5,4] ⁺
19.2	*2 3 16	[16,3]
18+2 / 3	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3], [9,3] ⁺
17,5–16,2	2 3 19, 2 3 20, 2 3 21, 2 3 22, *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	2 3 24, 248	[24,3], [8,4]
15	2 3 30, 256, 335, 35, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3 ⁺ ,10], [10,3] ⁺
14+2 ⁄ 5 – 13+1 ⁄ 3	2 3 36 ... 2 3 70, 249, 2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13+1 / 5	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3] ⁺
12+8 / 11	2 3 105, 257	[105,3], [7,5]
12+4 / 7	2 3 132, 2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	23∞, 2 4 12, 266, 62, 336, 36, 344, 43, 2223, 223, 2 3 12, 246, 334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6 ⁺ ,4], [(6,3,3)], [3 ⁺ ,12], [(4,4,3)] , [4 ⁺ ,6], [∞,3,∞], [12,3] ⁺ , [6,4] ⁺ [(4,3,3)] ⁺
...

Voir également

Mutation des orbifolds
Notation fibrifold - une extension de la notation orbifold pour les groupes d'espace 3D

Les références

John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson et William P. Thurston. Sur les orbifolds tridimensionnels et les groupes spatiaux. Contributions à l'algèbre et à la géométrie, 42(2):475-507, 2001.
JH Conway, DH Huson. La notation Orbifold pour les groupes bidimensionnels. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247-257, août 2002.
JH Conway (1992). « La notation Orbifold pour les groupes de surface ». Dans : MW Liebeck et J. Saxl (éd.), Groups, Combinatorics and Geometry , Actes du Symposium LMS Durham, 5-15 juillet, Durham, Royaume-Uni, 1990 ; Mathématiques de Londres. Soc. Série de notes de cours 165 . Cambridge University Press, Cambridge. p. 438-447
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Les symétries des choses 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
Hughes, Sam (2019), Cohomologie des groupes fuchsiens et des groupes cristallographiques non euclidiens , arXiv : 1910.00519 , Bibcode : 2019arXiv19100519H

Liens externes

A field guide to the orbifolds (Notes du cours sur "Geometry and the Imagination" à Minneapolis, avec John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman et Bill Thurston, du 17 au 28 juin 1991. Voir aussi PDF, 2006 )
Logiciel Tegula pour visualiser les pavages bidimensionnels du plan, de la sphère et du plan hyperbolique, et éditer leurs groupes de symétrie en notation orbifold

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