Théorème de Hurewicz - Hurewicz theorem

En mathématiques , le théorème de Hurewicz est un résultat de base de la topologie algébrique , reliant la théorie de l'homotopie à la théorie de l' homologie via une carte connue sous le nom d' homomorphisme de Hurewicz . Le théorème porte le nom de Witold Hurewicz et généralise les résultats antérieurs d' Henri Poincaré .

Énoncé des théorèmes

Les théorèmes de Hurewicz sont un lien clé entre les groupes d'homotopie et les groupes d'homologie .

Version absolue

Pour tout espace connecté au chemin X et entier positif n, il existe un homomorphisme de groupe

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}$

appelé homomorphisme de Hurewicz , du n- ième groupe d'homotopie au n- ième groupe d'homologie (avec des coefficients entiers). Elle est donnée de la manière suivante : choisissez un générateur canonique , puis une classe d'homotopie d'applications est prise en . ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$

Car cet homomorphisme induit un isomorphisme${\style d'affichage n=1}$

${\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_ {1 FOIS)}$

entre l' abélianisation du premier groupe d'homotopie (le groupe fondamental ) et le premier groupe d'homologie.

Si et X est -connexe , l'application de Hurewicz est un isomorphisme. De plus, la carte de Hurewicz est un épimorphisme dans ce cas. ${\displaystyle n\geq 2}$${\style d'affichage (n-1)}$${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$

Version relative

Pour tout couple d'espaces et d'entiers, il existe un homomorphisme ${\style d'affichage (X,A)}$${\style d'affichage k>1}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}$

des groupes d'homotopie relative aux groupes d'homologie relative. Le théorème relatif de Hurewicz indique que si les deux et sont connectés et que la paire est -connectée, alors pour et est obtenu à partir de la factorisation de l'action de . Ceci est prouvé, par exemple, dans Whitehead (1978) par induction, prouvant à son tour la version absolue et le lemme d'addition d'homotopie. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage (n-1)}$${\style d'affichage H_{k}(X,A)=0}$${\style d'affichage k<n}$${\style d'affichage H_{n}(X,A)}$${\style d'affichage \pi _{n}(X,A)}$${\style d'affichage \pi _{1}(A)}$

Ce théorème relatif de Hurewicz est reformulé par Brown & Higgins (1981) comme une déclaration sur le morphisme

${\displaystyle \pi _{n}(X,A)\à \pi _{n}(X\cup CA),}$

où désigne le cône de . Cet énoncé est un cas particulier d'un théorème d'excision homotopique , impliquant des modules induits pour (modules croisés si ), qui lui-même est déduit d'un théorème d' homotopie supérieure de van Kampen pour les groupes d'homotopie relative, dont la preuve nécessite le développement de techniques d'un groupoïde d'homotopie supérieure cubique d'un espace filtré. ${\displaystyle CA}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage n>2}$${\style d'affichage n=2}$

Version triadique

Pour toute triade d'espaces (ie, un espace X et les sous-espaces A , B ) et entier il existe un homomorphisme ${\style d'affichage (X;A,B)}$${\displaystyle k>2}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}$

des groupes d'homotopie de triade aux groupes d'homologie de triade. Noter que

${\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).}$

Le théorème triadique de Hurewicz stipule que si X , A , B , et sont connectés, les paires et sont -connectées et -connectées, respectivement, et la triade est -connectée, alors pour et est obtenu à partir de la factorisation de l'action de et du produits Whitehead généralisés. La preuve de ce théorème utilise un théorème supérieur d'homotopie de type van Kampen pour les groupes d'homotopie triadiques, qui nécessite une notion du -groupe fondamental d'un n -cube d'espaces. ${\displaystyle C=A\cap B}$${\style d'affichage (A,C)}$${\style d'affichage (B,C)}$${\style d'affichage (p-1)}$${\style d'affichage (q-1)}$${\style d'affichage (X;A,B)}$${\style d'affichage (p+q-2)}$${\style d'affichage H_{k}(X;A,B)=0}$${\style d'affichage k<p+q-2}$${\style d'affichage H_{p+q-1}(X;A)}$${\style d'affichage \pi _{p+q-1}(X;A,B)}$${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$${\displaystyle \operatorname {cat} ^{n}}$

Version set simplifiée

Le théorème de Hurewicz pour les espaces topologiques peut également être énoncé pour des ensembles simpliciaux n -connexes satisfaisant la condition de Kan.

Théorème rationnel de Hurewicz

Théorème rationnel de Hurewicz : Soit X un espace topologique simplement connexe avec pour . Puis la carte Hurewicz ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$${\style d'affichage i\leq r}$

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$

induit un isomorphisme pour et une surjection pour . ${\style d'affichage 1\leq i\leq 2r}$${\style d'affichage i=2r+1}$

Remarques

Les références

• Brown, Ronald (1989), "Théorèmes triadiques de Van Kampen et théorèmes de Hurewicz", Topologie algébrique (Evanston, IL, 1988) , Contemporary Mathematics, 96 , Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 39-57, doi : 10.1090/ com/096/1022673 , ISBN 9780821851029, MR  1022673
• Brown, Ronald ; Higgins, PJ (1981), "Colimit theorems for relative homotopy groups", Journal of Pure and Applied Algebra , 22 : 11–41, doi : 10.1016/0022-4049(81)90080-3 , ISSN  0022-4049
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), "Excision homotopique et théorèmes de Hurewicz, pour n-cubes d'espaces", Actes de la London Mathematical Society , Third Series, 54 : 176–192, CiteSeerX  10.1.1.168.1325 , doi : 10.1112/plms/s3 -54.1.176 , ISSN  0024-6115
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), "Théorèmes de Van Kampen pour les diagrammes d'espaces", Topologie , 26 (3) : 311-334, doi : 10.1016/0040-9383(87)90004-8 , ISSN  0040-9383

• Rotman, Joseph J. (1988), An Introduction to Algebraic Topology , Graduate Texts in Mathematics , 119 , Springer-Verlag (publié le 1998-07-22), ISBN 978-0-387-96678-6
• Whitehead, George W. (1978), Éléments de la théorie de l'homotopie , Textes d'études supérieures en mathématiques , 61 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90336-1