Théorème d'accords croisés - Intersecting chords theorem

${\ Displaystyle | AS | \ cdot | SC | = | BS | \ cdot | SD |}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & | AS | \ cdot | SC | = | BS | \ cdot | SD | \\ = & (r + d) \ cdot (rd) = r ^ {2} -d ^ {2} \ end {aligné}}}$

${\ displaystyle \ triangle ASD \ sim \ triangle BSC}$

Le théorème d'accords entrecroisés ou simplement le théorème d'accord est une déclaration en géométrie élémentaire qui décrit une relation des quatre segments de ligne créés par deux accords entrecroisés dans un cercle. Il déclare que les produits des longueurs des segments de ligne sur chaque corde sont égaux. Il est la proposition 35 du livre 3 d'Euclide Elements .

Plus précisément, pour deux accords AC et BD se coupant en un point S, l'équation suivante est vraie:

${\ Displaystyle | AS | \ cdot | SC | = | BS | \ cdot | SD |}$

L'inverse est également vrai, c'est-à-dire que si pour deux segments de droite AC et BD se croisant en S, l'équation ci-dessus est vraie, alors leurs quatre extrémités A , B , C et D se trouvent sur un cercle commun. Ou en d'autres termes, si les diagonales d'un quadrilatère ABCD se coupent en S et remplissent l'équation ci-dessus, alors c'est un quadrilatère cyclique .

La valeur des deux produits dans le théorème d'accord ne dépend que de la distance du point d'intersection S du centre du cercle et est appelée la valeur absolue de la puissance de S , plus précisément on peut dire que:

${\ Displaystyle | AS | \ cdot | SC | = | BS | \ cdot | SD | = r ^ {2} -d ^ {2}}$

où r est le rayon du cercle, et d est la distance entre le centre du cercle et le point d'intersection S . Cette propriété découle directement de l'application du théorème d'accord à un troisième accord passant par S et le centre du cercle M (voir dessin).

Le théorème peut être prouvé en utilisant des triangles similaires (via le théorème de l'angle inscrit ). Considérez les angles des triangles ASD et BSC :

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ angle ADS & = \ angle BCS \, ({\ text {angles inscrits sur AB}}) \\\ angle DAS & = \ angle CBS \, ({\ text {angles inscrits sur CD }}) \\\ angle ASD & = \ angle BSC \, ({\ text {angles opposés}}) \ end {aligné}}}$

Cela signifie que les triangles ASD et BSC sont similaires et donc

${\ displaystyle {\ frac {AS} {SD}} = {\ frac {BS} {SC}} \ Leftrightarrow | AS | \ cdot | SC | = | BS | \ cdot | SD |}$

À côté du théorème tangente-sécante et du théorème sécantes intersectantes, le théorème d'accord croisé représente l'un des trois cas de base d'un théorème plus général sur deux droites qui se croisent et un cercle - le théorème de puissance du point .

Les références

• Paul Glaister: Théorème d'accords croisés: 30 ans plus tard . Mathématiques à l'école, vol. 36, n ° 1 (janvier 2007), p. 22 ( JSTOR )
• Bruce Shawyer: Explorations en géométrie . World Scientific, 2010, ISBN   9789813100947 , p. 14
• Hans Schupp: Géométrie élémentaire. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN   3-506-99189-2 , p. 149 (allemand).
• Schülerduden - Mathematik I . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN   978-3-411-04208-1 , pp. 415-417 (allemand)

Liens externes

• Théorème d'accords croisés sur cut-the-knot.org
• Théorème d'accords croisés sur proofwiki.org
• Weisstein, Eric W. "Chord" . MathWorld .
• Deux illustrations interactives: [1] et [2]