Join (topologie) - Join (topology)

Jointure géométrique de deux segments de ligne . Les espaces d'origine sont représentés en vert et en bleu. La jointure est un solide tridimensionnel en gris.

En topologie , un domaine des mathématiques , la jointure de deux espaces topologiques et , souvent désigné par ou , est un espace topologique défini comme ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\displaystyle A\ast B}$${\style d'affichage A\étoile B}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ A\sqcup _{p_{0}}(A\times B\times [0,1])\sqcup _{p_{1}}B,}$

où le cylindre est attaché aux espaces d'origine et le long des projections naturelles des faces du cylindre : ${\displaystyle A\fois B\fois [0,1]}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$

${\displaystyle {A\fois B\fois \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,}$

${\displaystyle {A\fois B\fois \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.}$

Intuitivement, est formé en prenant l' union disjointe des deux espaces et en attachant des segments de ligne joignant chaque point de à chaque point de . ${\style d'affichage A\étoile B}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$

Notez que généralement, il est implicitement supposé que et ne sont pas vides, auquel cas la définition est souvent formulée un peu différemment : au lieu d'attacher les faces du cylindre aux espaces et , ces faces sont simplement réduites d'une manière suggérée par le saillies de fixation : ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\displaystyle A\fois B\fois [0,1]}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage p_{1},p_{2}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ (A\fois B\fois [0,1])/R,}$

où est la relation d'équivalence générée par ${\style d'affichage R}$

${\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{for all }}a\in A{\mbox{ et }}b_{1} ,b_{2}\dans B,}$

${\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{for all }}a_{1},a_{2}\in A{\mbox { et }}b\en B.}$

Aux extrémités, cela se réduit à et à . ${\displaystyle A\fois B\fois \{0\}}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle A\fois B\fois \{1\}}$${\style d'affichage B}$

Exemples

• La jointure d'un espace avec un espace à un point est appelée le cône de .${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle CX}$${\style d'affichage X}$
• La jointure d'un espace avec (la sphère de dimension 0 , ou, l' espace discret avec deux points) est appelée la suspension de .${\style d'affichage X}$${\style d'affichage S^{0}}$ ${\style d'affichage SX}$${\style d'affichage X}$
• La jointure des sphères et est la sphère .${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{m}}$${\style d'affichage S^{n+m+1}}$
• La jointure de deux paires de points isolés est un carré (sans intérieur). La jointure d'un carré avec une troisième paire de points isolés est un octaèdre (encore une fois, sans intérieur). En général, la jointure de paires de points isolés est une sphère octaédrique de dimension .${\style d'affichage n+1}$${\style d'affichage n}$
• La jonction de deux abstraites complexes simpliciaux es et sur des ensembles de sommets disjoints est le complexe abstrait simplicial . C'est-à-dire que tout simplex de la jointure est l'union d'un simplex de et d'un simplex de . Par exemple, si chacun de et contient deux points isolés, et , alors , un graphique "carré".${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle \{x\cup y|x\in X,y\in Y\}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle X=\{\{1\},\{2\}\}}$${\displaystyle Y=\{\{3\},\{4\}\}}$${\displaystyle X\star Y=\{\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\}\}}$

Propriétés

• La jointure de deux espaces est homéomorphe à une somme de produits cartésiens de cônes sur les espaces et les espaces eux-mêmes, où la somme est prise sur le produit cartésien des espaces :

${\displaystyle A\star B\cong C(A)\times B\cup _{A\times B}C(B)\times A.}$

• Étant donné les complexes CW à point de base et , la "jointure réduite"${\style d'affichage (A,a_{0})}$${\style d'affichage (B,b_{0})}$

${\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}$

est homéomorphe à la suspension réduite

${\style d'affichage \Sigma (A\coin B)}$

du produit smash . Par conséquent, puisque est contractile , il existe une équivalence d'homotopie${\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}$

${\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}$

Cette équivalence établit l'isomorphisme .${\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\ fois B/A\vee B){\bigr )}}$

Voir également

• Déssuspension

Les références

• Hatcher, Allen , Topologie algébrique. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN  0-521-79160-X et ISBN  0-521-79540-0
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• Brown, Ronald , Topologie et Groupoïdes Section 5.7 Jointures.