Théorème des quatre carrés de Lagrange - Lagrange's four-square theorem

Il suffit de prouver le théorème pour tout nombre premier impair p . Cela découle immédiatement de l'identité à quatre carrés d' Euler (et du fait que le théorème est vrai pour les nombres 1 et 2).

Les résidus de a ² modulo p sont distincts pour tout a compris entre 0 et ( p  − 1)/2 (inclus). Pour voir cela, prenez du a et définissez c comme un ² mod p . a est une racine du polynôme x ²  −  c sur le corps Z/ p Z . Il en va de même pour p  −  a (qui est différent de a ). Dans un corps K , tout polynôme de degré n a au plus n racines distinctes ( théorème de Lagrange (théorie des nombres) ), donc il n'y a pas d'autre a avec cette propriété, en particulier pas entre 0 à ( p  − 1)/2 .

De même, pour b prenant des valeurs entières comprises entre 0 et ( p  − 1)/2 (inclus), les − b ²  − 1 sont distincts. Par le principe du pigeonnier , il existe a et b dans cet intervalle, pour lesquels a ² et − b ²  − 1 sont congrus modulo p , c'est-à-dire pour lesquels

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$

Soit maintenant m le plus petit entier positif tel que mp soit la somme de quatre carrés, x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² (nous venons de montrer qu'il existe m (c'est-à-dire n ) avec cette propriété , donc il y a au moins un m , et il est plus petit que p ). On montre par contradiction que m vaut 1 : en supposant que ce ne soit pas le cas, on prouve l'existence d'un entier positif r inférieur à m , pour lequel rp est aussi la somme de quatre carrés (c'est dans l'esprit de la méthode de la descente infinie de Fermat).

Pour cela, on considère pour chaque x _i les y _i qui sont dans la même classe de résidus modulo m et compris entre (– m  + 1)/2 et m /2 (éventuellement inclus). Il s'ensuit que y ₁ ²  +  y ₂ ²  +  y ₃ ²  +  y ₄ ²  =  mr , pour un entier strictement positif r inférieur à  m .

Enfin, un autre appel à l'identité à quatre carrés d'Euler montre que mpmr  =  z ₁ ²  +  z ₂ ²  +  z ₃ ²  +  z ₄ ² . Mais le fait que chaque x _i soit congru à son y _i correspondant implique que tous les z _i sont divisibles par m . En effet,

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4} &\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m} },\\z_{2}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}&\equiv x_{ 1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod {m}},\\z_{3} &=x_{1}y_{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{4}y_{2}&\equiv x_{1}x_{3}-x_ {2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}x_{2}&=0&{\pmod {m}},\\z_{4}&=x_{1}y_{ 4}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{1}&\equiv x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}- x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}&=0&{\pmod {m}}.\end{cases}}}$

Il s'ensuit que, pour w _i = z _i / m , w ₁ ²  +  w ₂ ²  +  w ₃ ²  +  w ₄ ²  =  rp , ce qui est en contradiction avec la minimalité de  m .

Dans la descente ci-dessus, il faut exclure à la fois le cas y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m /2 (ce qui donnerait r = m et pas de descente), et aussi le cas y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (ce qui donnerait r = 0 plutôt que strictement positif). Pour ces deux cas, on peut vérifier que mp = x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² serait un multiple de m ² , ce qui contredit le fait que p est un nombre premier supérieur à m .

Les quaternions de Hurwitz se composent de tous les quaternions à composantes entières et de tous les quaternions à composantes demi-entières . Ces deux ensembles peuvent être combinés en une seule formule

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}E_{0}(1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} )+E_{1}\mathbf {i } +E_{2}\mathbf {j} +E_{3}\mathbf {k} =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3 }\mathbf {k} }$

où sont des nombres entiers. Ainsi, les composants du quaternion sont soit tous des entiers, soit tous des demi-entiers, selon qu'ils sont respectivement pairs ou impairs. L'ensemble des quaternions de Hurwitz forme un anneau ; c'est-à-dire que la somme ou le produit de deux quaternions de Hurwitz quelconques est également un quaternion de Hurwitz. ${\style d'affichage E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$${\style d'affichage E_{0}}$

La norme (arithmétique ou de champ) d'un quaternion rationnel est le nombre rationnel non négatif${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$${\style d'affichage \alpha }$

${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2} +a_{3}^{2}}$

où est le conjugué de . Notez que la norme d'un quaternion de Hurwitz est toujours un entier. (Si les coefficients sont des demi-entiers, alors leurs carrés sont de la forme , et la somme de quatre de ces nombres est un entier.) ${\displaystyle {\bar {\alpha }}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i} -a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k} }$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+n:n\in \mathbb {Z} }$

Puisque la multiplication de quaternions est associative et que les nombres réels commutent avec d'autres quaternions, la norme d'un produit de quaternions est égale au produit des normes :

${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha \beta )=\alpha \beta ({\overline {\alpha \beta }})=\alpha \beta {\bar {\beta }}{\bar {\alpha }}=\alpha \mathrm {N} (\beta ){\bar {\alpha }}=\alpha {\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\beta )=\mathrm {N} (\ alpha )\mathrm {N} (\beta ).}$

Pour tout , . Il s'ensuit facilement que est une unité dans l'anneau des quaternions de Hurwitz si et seulement si . ${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle \alpha ^{-1}={\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\alpha )^{-1}}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=1}$

La preuve du théorème principal commence par une réduction au cas des nombres premiers. L'identité des quatre carrés d'Euler implique que si le théorème des quatre carrés de Langrange est valable pour deux nombres, il est valable pour le produit des deux nombres. Puisque n'importe quel nombre naturel peut être factorisé en puissances de nombres premiers, il suffit de prouver le théorème des nombres premiers. C'est vrai pour . Pour montrer cela pour un entier premier impair p , représentez-le comme un quaternion et supposons pour l'instant (comme nous le montrerons plus loin) qu'il ne s'agit pas d'un irréductible de Hurwitz ; c'est-à-dire qu'il peut être factorisé en deux quaternions de Hurwitz non unitaires ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}$${\style d'affichage (p,0,0,0)}$

${\displaystyle p=\alpha \beta .}$

Les normes de sont des entiers tels que ${\style d'affichage p,\alpha ,\beta }$

${\displaystyle \mathrm {N} (p)=p^{2}=\mathrm {N} (\alpha \beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta )}$

et . Cela montre que les deux et sont égaux à p (puisqu'ils sont des entiers), et p est la somme de quatre carrés ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha ),\mathrm {N} (\beta )>1}$${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$${\displaystyle \mathrm {N} (\beta )}$

${\displaystyle p=\mathrm {N} (\alpha )=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2} .}$

S'il arrive que l' élu ait des coefficients demi-entiers, il peut être remplacé par un autre quaternion de Hurwitz. Choisissez de manière à avoir des coefficients entiers pairs. Puis ${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \omega =(\pm 1\pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} )/2}$${\displaystyle \gamma \equiv \omega +\alpha }$

${\displaystyle p=({\bar {\gamma }}-{\bar {\omega }})\omega {\bar {\omega }}(\gamma -\omega )=({\bar {\gamma } }\omega -1)({\bar {\omega }}\gamma -1).}$

Puisque a des coefficients entiers pairs, aura des coefficients entiers et peut être utilisé à la place de l'original pour donner une représentation de p comme la somme de quatre carrés. ${\style d'affichage \gamma }$${\displaystyle ({\bar {\omega }}\gamma -1)}$${\style d'affichage \alpha }$

Quant à montrer que p n'est pas un irréductible de Hurwitz, Lagrange a prouvé que tout nombre premier impair p divise au moins un nombre de la forme , où l et m sont des entiers. Cela peut être vu comme suit : puisque p est premier, peut être valable pour les entiers , uniquement lorsque . Ainsi, l'ensemble des carrés contient des résidus distincts modulo p . De même, contient des résidus. Puisqu'il n'y a que p résidus au total, et , les ensembles X et Y doivent se croiser. ${\displaystyle u=1+l^{2}+m^{2}}$${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {p}}}$${\style d'affichage a,b}$${\displaystyle a\equiv \pm b{\pmod {p}}}$${\displaystyle X=\{0^{2},1^{2},\dots ,((p-1)/2)^{2}\}}$${\style d'affichage (p+1)/2}$${\displaystyle Y=\{-(1+x):x\in X\}}$${\style d'affichage (p+1)/2}$${\style d'affichage |X|+|Y|=p+1>p}$

Le nombre u peut être factorisé dans les quaternions de Hurwitz :

${\displaystyle 1+l^{2}+m^{2}=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} - m\;\mathbf {j} ).}$

La norme sur les quaternions de Hurwitz satisfait une forme de la propriété euclidienne : pour tout quaternion à coefficients rationnels on peut choisir un quaternion de Hurwitz de telle sorte qu'en choisissant d'abord tel que puis tel que pour . On obtient alors ${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$${\displaystyle \beta =b_{0}+b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha -\beta )<1}$${\style d'affichage b_{0}}$${\displaystyle |a_{0}-b_{0}|\leq 1/4}$${\style d'affichage b_{1},b_{2},b_{3}}$${\style d'affichage |a_{i}-b_{i}|\leq 1/2}$${\style d'affichage i=1,2,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} (\alpha -\beta )&=(a_{0}-b_{0})^{2}+(a_{1}-b_{1}) ^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1} {4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^ {2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{aligned}}}$

Il s'ensuit que pour tout quaternion de Hurwitz avec , il existe un quaternion de Hurwitz tel que ${\style d'affichage \alpha ,\beta }$${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\style d'affichage \gamma }$

${\displaystyle \mathrm {N} (\beta -\alpha \gamma )<\mathrm {N} (\alpha ).}$

L'anneau H des quaternions de Hurwitz n'est pas commutatif, ce n'est donc pas un domaine euclidien réel et il n'a pas de factorisation unique au sens habituel. Néanmoins, la propriété ci-dessus implique que tout idéal juste est principal . Ainsi, il existe un quaternion de Hurwitz tel que ${\style d'affichage \alpha }$

${\displaystyle \alpha H=pH+(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H.}$

En particulier, pour certains quaternions de Hurwitz . Si c'était une unité, ce serait un multiple de p , mais c'est impossible car ce n'est pas un quaternion de Hurwitz pour . De même, s'il s'agissait d'une unité, nous aurions ${\displaystyle p=\alpha \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle 1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} }$${\displaystyle 1/pl/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$${\style d'affichage p>2}$${\style d'affichage \alpha }$

${\displaystyle (1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )H=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )pH+(1 +l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$

donc p divise , ce qui contredit à nouveau le fait que ce n'est pas un quaternion de Hurwitz. Ainsi, p n'est pas Hurwitz irréductible, comme on le prétend. ${\displaystyle 1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} }$${\displaystyle 1/pl/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$