Théorème des nombres polygonaux de Fermat - Fermat polygonal number theorem

À ne pas confondre avec le dernier théorème de Fermat .

Dans la théorie des nombres additifs , le théorème des nombres polygonaux de Fermat stipule que chaque entier positif est une somme d'au plus n nombres n- gonaux . Autrement dit, chaque entier positif peut être écrit comme la somme de trois nombres triangulaires ou moins , et comme la somme de quatre nombres carrés ou moins , et comme la somme de cinq nombres pentagonaux ou moins , et ainsi de suite. C'est-à-dire que les nombres n- gonaux forment une base additive d'ordre n .

Exemples

Trois de ces représentations du nombre 17, par exemple, sont présentées ci-dessous :

  • 17 = 10 + 6 + 1 ( nombres triangulaires )
  • 17 = 16 + 1 ( nombres carrés )
  • 17 = 12 + 5 ( nombres pentagonaux ).

Histoire

Le théorème porte le nom de Pierre de Fermat , qui l'énonça, en 1638, sans preuve, promettant de l'écrire dans un ouvrage séparé qui ne parut jamais. Joseph Louis Lagrange a prouvé le cas carré en 1770, qui déclare que chaque nombre positif peut être représenté comme une somme de quatre carrés, par exemple, 7 = 4 + 1 + 1 + 1 . Gauss a prouvé le cas triangulaire en 1796, commémorant l'occasion en écrivant dans son journal la ligne " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ", et a publié une preuve dans son livre Disquisitiones Arithmeticae . Pour cette raison, le résultat de Gauss est parfois connu sous le nom de théorème d'Eureka . Le théorème des nombres polygonaux complets n'a pas été résolu jusqu'à ce qu'il soit finalement prouvé par Cauchy en 1813. La preuve de Nathanson (1987) est basée sur le lemme suivant dû à Cauchy :

Pour les entiers positifs impairs a et b tels que b 2 < 4 a et 3 a < b 2 + 2 b + 4 on peut trouver des entiers non négatifs s , t , u et v tels que a = s 2 + t 2 + u 2 + v 2 et b = s + t + u + v .

Voir également

Remarques

Les références