Quantification de Landau - Landau quantization

En mécanique quantique , la quantification de Landau fait référence à la quantification des orbites cyclotron des particules chargées dans un champ magnétique uniforme. En conséquence, les particules chargées ne peuvent occuper que des orbites avec des valeurs d'énergie discrètes et équidistantes, appelées niveaux de Landau. Ces niveaux sont dégénérés , le nombre d'électrons par niveau étant directement proportionnel à la force du champ magnétique appliqué. Il porte le nom du physicien soviétique Lev Landau .

La quantification de Landau est directement responsable de la susceptibilité électronique des métaux, connue sous le nom de diamagnétisme de Landau . Sous de forts champs magnétiques, la quantification de Landau conduit à des oscillations des propriétés électroniques des matériaux en fonction du champ magnétique appliqué connu sous le nom d' effets De Haas-Van Alphen et Shubnikov-de Haas .

La quantification de Landau est un ingrédient clé pour expliquer l' effet Hall quantique entier .

Dérivation

Schéma d'une orbite cyclotron, qui est la trajectoire classique d'une particule chargée sous un champ magnétique uniforme. La quantification de Landau fait référence à une particule chargée quantique sous un champ magnétique uniforme.

Considérons un système de particules sans interaction avec une charge q et un spin S confinés dans une zone A = L _x L _y dans le plan xy . Appliquer un champ magnétique uniforme le long de l' axe z . En unités CGS , l' hamiltonien de ce système (ici, les effets de spin sont négligés) est ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}|{\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}|^{2 }.}$

Ici, est l' opérateur impulsion canonique et est le potentiel vecteur électromagnétique , qui est lié au champ magnétique par ${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,}$

Il existe une certaine liberté de jauge dans le choix du potentiel vectoriel pour un champ magnétique donné. L'hamiltonien est invariant de jauge , ce qui signifie que l'ajout du gradient d'un champ scalaire à Â modifie la phase globale de la fonction d'onde d'une quantité correspondant au champ scalaire. Mais les propriétés physiques ne sont pas influencées par le choix spécifique de la jauge.

Dans la jauge Landau

Pour simplifier le calcul, choisissez la jauge de Landau , qui est

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$

où B =| B | et x̂ est la composante x de l'opérateur de position.

Dans cette jauge, l'hamiltonien est

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({ \hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m} }.}$

L'opérateur commute avec cet hamiltonien, puisque l'opérateur ŷ est absent par choix de jauge. Ainsi l'opérateur peut être remplacé par sa valeur propre ħk _y . Comme n'apparaît pas dans l'hamiltonien et que seul le moment z apparaît dans l'énergie cinétique, ce mouvement le long de la direction z est un mouvement libre. ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

L'hamiltonien peut aussi s'écrire plus simplement en notant que la fréquence cyclotron est ω _c = qB/m , ce qui donne

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _ {\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right) ^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$

C'est exactement l'hamiltonien pour l' oscillateur harmonique quantique , sauf avec le minimum du potentiel décalé dans l'espace de coordonnées de x ₀ = k _y /mω _c .

Pour trouver les énergies, notez que la traduction du potentiel de l'oscillateur harmonique n'affecte pas les énergies. Les énergies de ce système sont donc identiques à celles de l' oscillateur harmonique quantique standard ,

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2} }{2m}},\quad n\geq 0~.}$

L'énergie ne dépend pas du nombre quantique k _y , il y aura donc un nombre fini de dégénérescences (Si la particule est placée dans un espace non confiné, cette dégénérescence correspondra à une séquence continue de ). La valeur de est continue si la particule n'est pas confinée dans la direction z et discrète si la particule est également limitée dans la direction z. Chaque ensemble de fonctions d'onde avec la même valeur de n est appelé un niveau de Landau . ${\style d'affichage p_{y}}$${\style d'affichage p_{z}}$

Pour les fonctions d'onde, rappelons que commute avec l'hamiltonien. Ensuite, la fonction d'onde prend en compte un produit des états propres de quantité de mouvement dans la direction y et des états propres de l'oscillateur harmonique décalés d'une quantité x ₀ dans la direction x : ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})}$

où . En résumé, l'état de l'électronique est caractérisée par les nombres quantiques, n , k _y et k _z . ${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar }$

Dans la jauge symétrique

La dérivation traitait x et y comme légèrement asymétriques. Cependant, par la symétrie du système, il n'y a pas de grandeur physique qui distingue ces coordonnées. Le même résultat aurait pu être obtenu avec un échange approprié de x et y .

Un choix plus adéquat de jauge, est la jauge symétrique, qui fait référence au choix

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1} {2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$

En termes de longueurs et d'énergies sans dimension, l'hamiltonien peut être exprimé sous la forme

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{ 2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right] }$

Les unités correctes peuvent être restaurées en introduisant des facteurs de et${\displaystyle q,\hbar ,\mathbf {B} }$${\style d'affichage m}$

Considérez les opérateurs

${\displaystyle {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{ \partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{ \partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

Ces opérateurs suivent certaines relations de commutation

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1 }$.

En termes d'opérateurs ci-dessus, l'hamiltonien peut être écrit comme

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac { 1}{2}}\droit),}$

où nous avons réintroduit les unités.

L'indice de niveau de Landau est la valeur propre de l'opérateur . ${\style d'affichage n}$${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

L'application de augmente d'une unité tout en préservant , tandis que l' application augmente et diminue simultanément d'une unité. L'analogie avec l'oscillateur harmonique quantique fournit des solutions ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$${\style d'affichage m_{z}}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage m_{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,}$

où

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$

et

${\displaystyle |n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z} +n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$

On peut vérifier que les états ci-dessus correspondent au choix de fonctions d'onde proportionnelles à

${\displaystyle \psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4} }\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$

où . ${\style d'affichage w=x+iy}$

En particulier, le niveau de Landau le plus bas est constitué de fonctions analytiques arbitraires multipliant une gaussienne, . ${\style d'affichage n=0}$${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$

Dégénérescence des niveaux de Landau

Dans la jauge Landau

Les effets des niveaux de Landau ne peuvent être observés que lorsque l'énergie thermique moyenne kT est inférieure à la séparation des niveaux d'énergie, kT ħω _c , ce qui signifie des températures basses et des champs magnétiques puissants.

Chaque niveau de Landau est dégénéré à cause du deuxième nombre quantique k _y , qui peut prendre les valeurs

${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}}$,

où N est un entier. Les valeurs autorisées de N sont en outre restreintes par la condition selon laquelle le centre de force de l'oscillateur, x ₀ , doit se trouver physiquement dans le système, 0 x ₀ < L _x . Cela donne la plage suivante pour N ,

${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$

Pour les particules de charge q = Ze , la borne supérieure de N peut être simplement écrite comme un rapport de flux ,

${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$

où Φ ₀ = h / e est la base du flux magnétique quantique et Φ = BA est le flux à travers le système (avec zone A = L _x L _y ).

Ainsi, pour les particules de spin S , le nombre maximal D de particules par niveau de Landau est

${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~,}$

ce qui pour les électrons (où Z =1 et S =1/2) donne D = 2Φ/Φ ₀ , deux états disponibles pour chaque quantum de flux qui pénètre dans le système.

Ce qui précède ne donne qu'une idée approximative des effets de la géométrie de taille finie. A strictement parler, l'utilisation de la solution standard de l'oscillateur harmonique n'est valable que pour les systèmes non bornés dans la direction x (bandes infinies). Si la taille L _x est finie, les conditions aux limites dans cette direction donnent lieu à des conditions de quantification non standard sur le champ magnétique, impliquant (en principe) les deux solutions de l'équation d'Hermite. Le remplissage de ces niveaux avec de nombreux électrons est toujours un domaine de recherche actif.

En général, les niveaux de Landau sont observés dans les systèmes électroniques. Au fur et à mesure que le champ magnétique augmente, de plus en plus d'électrons peuvent entrer dans un niveau de Landau donné. L'occupation du plus haut niveau de Landau varie de complètement plein à entièrement vide, ce qui conduit à des oscillations dans diverses propriétés électroniques (voir effet De Haas-Van Alphen et effet Shubnikov-de Haas ).

Si la division de Zeeman est incluse, chaque niveau de Landau se divise en une paire, une pour les électrons de spin up et l'autre pour les électrons de spin down. Alors l'occupation de chaque niveau de Landau de spin est juste le rapport des flux D = Φ/Φ ₀ . Zeeman a un effet significatif sur les niveaux de Landau parce que leurs échelles d'énergie sont les mêmes, 2 μ _B B = ħω _c . Cependant, l'énergie de Fermi et l'énergie de l'état fondamental restent à peu près les mêmes dans un système avec de nombreux niveaux remplis, car les paires de niveaux d'énergie divisés s'annulent lorsqu'elles sont additionnées.

De plus, la dérivation ci-dessus dans la jauge de Landau supposait un électron confiné dans la direction z , ce qui est une situation expérimentale pertinente - trouvée dans les gaz d'électrons bidimensionnels, par exemple. Cependant, cette hypothèse n'est pas essentielle pour les résultats. Si les électrons sont libres de se déplacer le long de la direction z , la fonction d'onde acquiert un terme multiplicatif supplémentaire exp( ik _z z ); l'énergie correspondant à ce mouvement libre, ( k _z ) ² /( 2m ) , s'ajoute au E discuté. Ce terme comble alors la séparation en énergie des différents niveaux de Landau, brouillant l'effet de la quantification. Néanmoins, le mouvement dans le plan x - y , perpendiculaire au champ magnétique, est toujours quantifié.

Dans la jauge symétrique

Chaque niveau de Landau a des orbitales dégénérées étiquetées par les nombres quantiques en jauge symétrique. La dégénérescence par unité de surface est la même dans chaque niveau de Landau. ${\style d'affichage m_{z}}$

La composante z du moment cinétique est

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger } {\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$

En exploitant la propriété nous avons choisi des fonctions propres qui diagonalisent et , La valeur propre de est notée , où il est clair que dans le ième niveau de Landau. Cependant, il peut être arbitrairement grand, ce qui est nécessaire pour obtenir la dégénérescence infinie (ou la dégénérescence finie par unité de surface) présentée par le système. ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle -m_{z}\hbar }$${\displaystyle m_{z}\geq -n}$${\style d'affichage n}$

Cas relativiste

Niveaux de Landau dans le graphène . Les porteurs de charge dans le graphène se comportent comme des particules de Dirac relativistes sans masse .

Un électron suivant l' équation de Dirac sous un champ magnétique constant, peut être résolu analytiquement. Les énergies sont données par

${\displaystyle E_{\rm {rel}}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \ oméga _{\rm {c}}mc^{2}}}}$

où c est la vitesse de la lumière, le signe dépend de la composante particule-antiparticule et ν est un entier non négatif. En raison de rotation, tous les niveaux sont dégénérés , sauf pour l'état fondamental à ν = 0.

Le cas 2D sans masse peut être simulé dans des matériaux monocouches comme le graphène près des cônes de Dirac , où les énergies propres sont données par

${\displaystyle E_{\rm {graphene}}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm {F}}^{2}}}}$

où la vitesse de la lumière doit être remplacée par la vitesse de Fermi v _F du matériau et le signe moins correspond aux trous d'électrons .

Susceptibilité magnétique d'un gaz de Fermi

Le gaz de Fermi (un ensemble de fermions sans interaction ) fait partie des bases de compréhension des propriétés thermodynamiques des métaux. En 1930, Landau a calculé une estimation de la susceptibilité magnétique d'un gaz de Fermi, connue sous le nom de susceptibilité de Landau , qui est constante pour les petits champs magnétiques. Landau a également remarqué que la susceptibilité oscille à haute fréquence pour de grands champs magnétiques, ce phénomène physique est connu sous le nom d'effet De Haas-Van Alphen .

Treillis bidimensionnel

Le spectre d'énergie de liaison étroite des particules chargées dans un réseau infini bidimensionnel est connu pour être auto-similaire et fractal , comme le montre le papillon de Hofstadter . Pour un rapport entier du quantum de flux magnétique et du flux magnétique traversant une cellule du réseau, on retrouve les niveaux de Landau pour les grands entiers.

Effet Hall quantique entier

Voir également

• Effet Barkhausen
• Fonction d'onde de Laughlin
• Potentiel de Coulomb entre deux boucles de courant noyées dans un champ magnétique

Les références

Lectures complémentaires

• Landau, LD ; et Lifschitz, EM; (1977). Mécanique quantique : théorie non relativiste. Cours de Physique Théorique . Vol. 3 (3e éd. Londres : Pergamon Press). ISBN  0750635398 .