Largeur de ligne laser - Laser linewidth

La largeur de raie laser est la largeur de raie spectrale d'un faisceau laser .

Deux des caractéristiques les plus distinctives de l'émission laser sont la cohérence spatiale et la cohérence spectrale . Alors que la cohérence spatiale est liée à la divergence du faisceau du laser, la cohérence spectrale est évaluée en mesurant la largeur de raie du rayonnement laser.

Théorie

Historique : première dérivation de la largeur de raie laser

La première source de lumière cohérente fabriquée par l'homme était un maser . L'acronyme MASER signifie "Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation". Plus précisément, c'est le maser à ammoniac fonctionnant à une longueur d'onde de 12,5 mm qui a été démontré par Gordon , Zeiger et Townes en 1954. Un an plus tard, les mêmes auteurs dérivaient théoriquement la largeur de raie de leur appareil en faisant les approximations raisonnables que leur maser à ammoniac

Notamment, leur dérivation était entièrement semi-classique, décrivant les molécules d'ammoniac comme des émetteurs quantiques et supposant des champs électromagnétiques classiques (mais pas de champs quantifiés ni de fluctuations quantiques ), résultant en la largeur de raie du maser demi-largeur à demi-maximum (HWHM).

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {M}}^{*}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}}^ {*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {M}}={\frac {2\pi k_{\rm {B}} T(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}},}$

indiqué ici par un astérisque et converti en largeur de ligne pleine largeur à demi-maximum (FWHM) . est la constante de Boltzmann , est la température , est la puissance de sortie et et sont respectivement les largeurs de raie HWHM et FWHM du résonateur hyperfréquence passif sous-jacent . ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {M}}=2\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$${\style d'affichage T}$${\displaystyle P_{\rm {out}}}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}^{*}}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}=2\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}}$

En 1958, deux ans avant que Maiman ne fasse la démonstration du laser (initialement appelé « maser optique »), Schawlow et Townes transférèrent la largeur de raie du maser au régime optique en remplaçant l' énergie thermique par l' énergie photonique , où est la constante de Planck et la fréquence de lumière laser, se rapprochant ainsi de ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle h\nu _{\rm {L}}}$${\style d'affichage h}$${\displaystyle \nu _{\rm {L}}}$

iv. un photon est couplé dans le mode laser par émission spontanée pendant le temps de désintégration du photon ,${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$

résultant en l'approximation originale de Schawlow-Townes de la largeur de ligne laser :

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L,ST}}^{*}={\frac {4\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm { c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {L,ST}}={\frac {2\pi h\ nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}}.}$

De plus, le transfert des micro-ondes au régime optique était entièrement semi-classique, sans supposer de champs quantifiés ou de fluctuations quantiques. Par conséquent, l'équation originale de Schawlow-Townes est entièrement basée sur la physique semi-classique et est une quadruple approximation d'une largeur de raie laser plus générale, qui sera dérivée dans ce qui suit.

Mode résonateur passif : temps de désintégration des photons

On suppose un résonateur Fabry-Pérot à deux miroirs de longueur géométrique , rempli de façon homogène d'un milieu laser actif d' indice de réfraction . On définit la situation de référence, à savoir le mode résonateur passif, pour un résonateur dont le milieu actif est transparent , c'est-à-dire qu'il n'introduit ni gain ni absorption . ${\style d'affichage \ell }$ ${\style d'affichage n}$

Le temps d'aller-retour de la lumière voyageant dans le résonateur avec la vitesse , où est la vitesse de la lumière dans le vide , et la plage spectrale libre sont donnés par ${\style d'affichage t_{\rm {RT}}}$${\style d'affichage c=c_{0}/n}$${\style d'affichage c_{0}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

La lumière dans le mode de résonateur longitudinal d'intérêt oscille à la fréquence de résonance q-ième

${\displaystyle \nu _{L}={\frac {q}{t_{\rm {RT}}}}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}.}$

Le temps de décroissance de découplage exponentiel et la constante de taux de décroissance correspondante sont liés aux réflectances d' intensité des deux miroirs du résonateur par ${\displaystyle \tau _{\rm {out}}}$${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}}}$ ${\style d'affichage R_{i}}$ ${\style d'affichage i=1,2}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\ rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Le temps de perte intrinsèque exponentiel et la constante de taux de décroissance correspondante sont liés à la perte aller-retour intrinsèque par ${\displaystyle \tau _{\rm {perte}}}$${\displaystyle 1/\tau _{\rm {perte}}}$${\displaystyle L_{\rm {RT}}}$

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {perte}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _ {\rm {perte}}}}={\frac {-\ln {(1-L_{\rm {RT}})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Le temps de décroissance des photons exponentiel et la constante de taux de décroissance correspondante du résonateur passif sont alors donnés par ${\displaystyle \tau _{c}}$${\displaystyle 1/\tau _{\rm {c}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{ \tau _{\rm {perte}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Les trois temps de décroissance exponentielle sont en moyenne sur le temps d'aller-retour. Dans ce qui suit, nous supposons que , , , , et , donc également , , et ne varient pas de manière significative sur la plage de fréquences d'intérêt. ${\displaystyle t_{\rm {RT}}.}$${\style d'affichage \ell }$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage R_{1}}$${\style d'affichage R_{2}}$${\displaystyle L_{\rm {RT}}}$${\displaystyle \tau _{\rm {out}}}$${\displaystyle \tau _{\rm {perte}}}$${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$

Mode résonateur passif : largeur de raie lorentzienne, facteur Q , temps et longueur de cohérence

Outre le temps de désintégration des photons , les propriétés de cohérence spectrale du mode résonateur passif peuvent être exprimées de manière équivalente par les paramètres suivants. La largeur de raie lorentzienne FWHM du mode de résonateur passif qui apparaît dans l'équation de Schawlow-Townes est dérivée du temps de désintégration exponentiel des photons par transformation de Fourier , ${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}}$${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.}$

Le facteur Q est défini comme l'énergie stockée dans le mode résonateur sur l'énergie perdue par cycle d'oscillation, ${\displaystyle Q_{\rm {c}}}$${\displaystyle W_{\rm {stocké}}}$${\displaystyle W_{\rm {perdu}}}$

${\displaystyle Q_{\rm {c}}=2\pi {\frac {W_{\rm {stocké}}(t)}{W_{\rm {perdu}}(t)}}=2\pi { \frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _ {L}\tau _{\rm {c}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {c}}}},}$

où est le nombre de photons dans le mode. Le temps de cohérence et la longueur de cohérence de la lumière émise par le mode sont donnés par ${\displaystyle \varphi =W_{\rm {stocké}}/h\nu _{L}}$${\displaystyle \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}}$${\displaystyle \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}}$

${\displaystyle \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}} =2\tau _{\rm {c}}.}$

Mode résonateur actif : gain, temps de décroissance des photons, largeur de raie lorentzienne, facteur Q , temps et longueur de cohérence

Avec les densités de population et de niveau laser supérieur et inférieur, respectivement, et les sections efficaces et d' émission et d' absorption stimulées à la fréquence de résonance , respectivement, le gain par unité de longueur dans le milieu laser actif à la fréquence de résonance est donné par ${\style d'affichage N_{2}}$${\style d'affichage N_{1}}$${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}}$${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}}$${\style d'affichage \nu _{L}}$${\style d'affichage \nu _{L}}$

${\displaystyle g=\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1}.}$

Une valeur de induit une amplification, alors qu'elle induit une absorption de lumière à la fréquence de résonance , ce qui entraîne un temps de décroissance photonique allongé ou raccourci des photons hors du mode résonateur actif, respectivement, ${\style d'affichage g>0}$${\style d'affichage g<0}$${\style d'affichage \nu _{L}}$${\displaystyle \tau _{\rm {L}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {L}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}-cg.}$

Les quatre autres propriétés de cohérence spectrale du mode résonateur actif sont obtenues de la même manière que pour le mode résonateur passif. La largeur de raie lorentzienne est dérivée par transformation de Fourier,

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {L}}}}.}$

Une valeur de conduit à un rétrécissement du gain, alors qu'elle conduit à un élargissement de l'absorption de la largeur de raie spectrale. Le facteur Q est ${\style d'affichage g>0}$${\style d'affichage g<0}$

${\displaystyle Q_{\rm {L}}=2\pi {\frac {W_{\rm {stocké}}(t)}{W_{\rm {perdu}}(t)}}=2\pi { \frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _ {L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L}}}}.}$

Le temps et la longueur de cohérence sont

${\displaystyle \tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}} =2\tau _{\rm {L}}.}$

Facteur de cohérence spectrale

Le facteur par lequel le temps de désintégration des photons est allongé par le gain ou raccourci par l'absorption est introduit ici comme facteur de cohérence spectrale : ${\style d'affichage \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda :={\frac {1}{1-cg\tau _{\rm {c}}}}.}$

Les cinq paramètres de cohérence spectrale sont ensuite mis à l'échelle par le même facteur de cohérence spectrale : ${\style d'affichage \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\rm {L}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}},&(\Delta \nu _{\rm {L}})^ {-1}&=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},&Q_{\rm {L}}&=\Lambda Q_{\rm {c}},& \tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},&\ell _{\rm {L }}^{\rm {coh}}&=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.\end{aligned}}}$

Mode résonateur laser : largeur de raie laser fondamentale

Avec le nombre de photons se propageant à l'intérieur du mode résonateur laser, les taux d'émission stimulée et de désintégration des photons sont, respectivement, ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle R_{\rm {st}}=cg\varphi ,}$

${\displaystyle R_{\rm {decay}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .}$

Le facteur de cohérence spectrale devient alors

${\displaystyle \Lambda ={\frac {R_{\rm {decay}}}{R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}}.}$

Le temps de désintégration des photons du mode résonateur laser est

${\displaystyle \tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}}{R_{\rm {decay}}- R_{\rm {st}}}}\tau _{\rm {c}}.}$

La largeur de raie laser fondamentale est

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {carie }}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.}$

Cette largeur de raie fondamentale est valable pour les lasers avec un système de niveau d'énergie arbitraire, fonctionnant au-dessous, au niveau ou au-dessus du seuil, le gain étant inférieur, égal ou supérieur aux pertes, et dans un régime laser continu ou transitoire.

Il devient clair à partir de sa dérivation que la largeur de raie laser fondamentale est due à l'effet semi-classique que le gain allonge le temps de désintégration des photons.

Laser à onde continue : Le gain est inférieur aux pertes

Le taux d'émission spontanée dans le mode résonateur laser est donné par

${\displaystyle R_{\rm {sp}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}.}$

Notamment, est toujours un taux positif, car une excitation atomique est convertie en un photon dans le mode laser. C'est le terme source du rayonnement laser et ne doit pas être interprété à tort comme du « bruit ». L'équation du taux de photons pour un seul mode laser lit ${\displaystyle R_{\rm {sp}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi =R_{\rm {sp}}+R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}+cg\varphi -{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .}$

Un laser CW est défini par un nombre de photons temporellement constant dans le mode laser, d'où . Dans un laser CW, les taux d'émission stimulée et spontanée compensent ensemble le taux de désintégration des photons. Par conséquent, ${\style d'affichage d\varphi /dt=0}$

${\displaystyle R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=-R_{\rm {sp}}<0.}$

Le taux d'émission stimulée est inférieur au taux de désintégration des photons ou, familièrement, "le gain est inférieur aux pertes". Ce fait est connu depuis des décennies et exploité pour quantifier le comportement de seuil des lasers à semi-conducteurs. Même bien au-dessus du seuil laser, le gain est encore un tout petit peu inférieur aux pertes. C'est exactement cette petite différence qui induit la largeur de raie finie d'un laser CW.

Il devient clair à partir de cette dérivation que fondamentalement le laser est un amplificateur d'émission spontanée, et la largeur de raie laser cw est due à l'effet semi-classique que le gain est plus petit que les pertes. De plus, dans les approches quantiques de la largeur de raie laser, basées sur l'équation maître densité-opérateur, il peut être vérifié que le gain est inférieur aux pertes.

Approximation de Schawlow-Townes

Comme mentionné ci-dessus, il ressort clairement de sa dérivation historique que l'équation originale de Schawlow-Townes est une approximation quadruple de la largeur de raie laser fondamentale. En partant de la largeur de raie laser fondamentale dérivée ci-dessus, en appliquant les quatre approximations i.–iv. on obtient alors l'équation originale de Schawlow-Townes. ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}}$

C'est-à-dire en appliquant les quatre mêmes approximations i.–iv. à la largeur de raie laser fondamentale qui a été appliquée dans la première dérivation, l'équation originale de Schawlow-Townes est obtenue. ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}}$

Ainsi, la largeur de raie laser fondamentale est

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {carie }}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}=(1-cg\tau _{\rm {c}} )\Delta \nu _{\rm {c}}=\Delta \nu _{\rm {c}}-{\frac {cg}{2\pi }},}$

alors que l'équation originale de Schawlow-Townes est une approximation quadruple de cette largeur de raie laser fondamentale et n'a qu'un intérêt historique.

Effets supplémentaires d'élargissement et de rétrécissement de la largeur de ligne

Après sa publication en 1958, l'équation originale de Schawlow-Townes a été étendue de diverses manières. Ces équations étendues sont souvent commercialisées sous le même nom, la « largeur de raie de Schawlow-Townes », créant ainsi une véritable confusion dans la littérature disponible sur la largeur de raie laser, car il est souvent difficile de savoir quelle extension particulière de l'équation originale de Schawlow-Townes les auteurs respectifs faire référence à.

Plusieurs extensions semi-classiques destinées à supprimer une ou plusieurs des approximations i.–iv. mentionné ci-dessus, faisant ainsi des pas vers la largeur de raie laser fondamentale dérivée ci-dessus.

Les extensions suivantes peuvent s'ajouter à la largeur de ligne fondamentale du laser :

Mesure de la largeur de raie laser

L'une des premières méthodes utilisées pour mesurer la cohérence d'un laser était l' interférométrie . Une méthode typique pour mesurer la largeur de raie laser est l'interférométrie auto-hétérodyne. Une approche alternative est l'utilisation de la spectrométrie .

Lasers continus

La largeur de raie laser dans un laser He-Ne monomode transverse typique (à une longueur d'onde de 632,8 nm), en l'absence d'optique de rétrécissement de raie intracavité, peut être de l'ordre de 1 GHz. Les lasers à rétroaction distribuée à base de diélectrique ou à base de semi-conducteurs dopés aux terres rares ont des largeurs de raie typiques de l'ordre de 1 kHz. La largeur de raie laser des lasers stabilisés à onde continue de faible puissance peut être très étroite et atteindre moins de 1 kHz. Les largeurs de raie observées sont supérieures à la largeur de raie fondamentale du laser en raison du bruit technique (fluctuations temporelles de la puissance ou du courant de pompe optique, vibrations mécaniques, changements d'indice de réfraction et de longueur dus aux fluctuations de température, etc.).

Lasers pulsés

La largeur de raie laser des lasers pulsés haute puissance et à gain élevé, en l'absence d'optique de rétrécissement de raie intracavité, peut être assez large et dans le cas de puissants lasers à colorant à large bande, elle peut aller de quelques nm de large à 10 nm. .

La largeur de raie laser provenant d'oscillateurs laser pulsés à gain élevé et haute puissance, comprenant des optiques à rétrécissement de raie, est fonction des caractéristiques géométriques et dispersives de la cavité laser . En première approximation la largeur de raie laser, dans une cavité optimisée, est directement proportionnelle à la divergence du faisceau de l'émission multipliée par l'inverse de la dispersion intracavité globale . C'est-à-dire,

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\partial \Theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

Ceci est connu sous le nom d' équation de largeur de ligne de cavité où est la divergence du faisceau et le terme entre parenthèses (élevé à –1) est la dispersion intracavité globale. Cette équation est à l'origine dérivée de l'optique classique. Cependant, en 1992, Duarte a dérivé cette équation des principes de l'interférométrie quantique , liant ainsi une expression quantique à la dispersion angulaire globale intracavité. ${\displaystyle \Delta \theta }$

Un oscillateur laser à réseau à prismes multiples optimisé peut fournir une émission d'impulsions dans le régime kW à des largeurs de raie en mode longitudinal unique de ≈ 350 MHz (équivalent à ≈ 0,0004 nm à une longueur d'onde laser de 590 nm). Étant donné que la durée d'impulsion de ces oscillateurs est d'environ 3 ns, les performances de largeur de raie laser sont proches de la limite autorisée par le principe d'incertitude de Heisenberg . ${\displaystyle \Delta \nu }$${\displaystyle \Delta \lambda }$

Voir également

• Laser
• Interféromètre Fabry-Pérot
• Divergence de faisceau
• Théorie de la dispersion à prismes multiples
• Oscillateur laser à réseau à prismes multiples
• Équation interférométrique à fente N
• Largeur de ligne de l'oscillateur
• Lasers à colorant à l'état solide

Les références