Liste des représentations de e -List of representations of e

Fait partie d' une série d'articles sur le
constante mathématique e
Propriétés
Un algorithme naturel Fonction exponentielle
Applications
intérêts composés L'identité d'Euler la formule d'Euler demi-vies croissance exponentielle et décroissance
Définir e
preuve que e est irrationnel représentations de e Théorème de Lindemann-Weierstrass
Personnes
Jean Napier Léonhard Euler
Rubriques connexes
La conjecture de Schanuel
v t e

La constante mathématique e peut être représentée de diverses manières sous la forme d'un nombre réel . Puisque e est un nombre irrationnel (voir la preuve que e est irrationnel ), il ne peut pas être représenté comme le quotient de deux entiers , mais il peut être représenté comme une fraction continue . En utilisant le calcul , e peut également être représenté comme une série infinie , un produit infini ou d'autres types de limite d'une séquence .

En fraction continue

Euler a prouvé que le nombre e est représenté comme la fraction continue simple infinie (séquence A003417 dans l' OEIS ):

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}$

Sa convergence peut être triplée en autorisant un seul nombre fractionnaire :

${\displaystyle e=[1;1/2,12,5,28,9,44,13,60,17,\ldots ,4(4n-1),4n+1,\ldots ].}$

Voici quelques développements infinis de fractions continues généralisées de e . La seconde est générée à partir de la première par une simple transformation d'équivalence .

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{ 5+\ddots }}}}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5} {5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{ 18+\ddots \,}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac { 1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}$

Ce dernier, équivalent à [1; 0.5, 12, 5, 28, 9, ...], est un cas particulier d'une formule générale pour la fonction exponentielle :

${\displaystyle e^{x/y}=1+{\cfrac {2}x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14a+{\cfrac {x^{2}}{18a+\ddots }}}}}}}}}}}$

Comme une série infinie

Le nombre e peut être exprimé comme la somme des séries infinies suivantes :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}$pour tout nombre réel x .

Dans le cas particulier où x  = 1 ou −1, on a :

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$, et

${\displaystyle e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Les autres séries comprennent les suivantes :

${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}$

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}=\sum _{k=0}^{ \infty }{\frac {(3k+1)^{2}+1}{(3k+1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+2 )^{2}+1}{(3k+2)!}}}$

${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right] ^{2}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$où est le n ième numéro de Bell .${\style d'affichage B_{n}}$

L'examen de la façon de mettre des bornes supérieures sur e conduit à cette série descendante :

${\displaystyle e=3-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k!(k-1)k}}=3-{\frac {1}{4}} -{\frac {1}{36}}-{\frac {1}{288}}-{\frac {1}{2400}}-{\frac {1}{21600}}-{\frac {1 }{211680}}-{\frac {1}{2257920}}-\cdots }$

qui donne au moins un chiffre correct (ou arrondi) par terme. Autrement dit, si 1 n , alors

${\displaystyle e<3-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k!(k-1)k}}<e+0.6\cdot 10^{1-n}\ ,.}$

Plus généralement, si x n'est pas dans {2, 3, 4, 5, ...}, alors

${\displaystyle e^{x}={\frac {2+x}{2-x}}+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {-x^{k+1}} {k!(kx)(k+1-x)}}\,.}$

En tant que produit infini

Le nombre e est également donné par plusieurs produits infinis formes , y compris Pippenger produit de »

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{ 3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\ ;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots }$

et le produit de Guillera

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right) ^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2 ^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

où le n ième facteur est la n ième racine du produit

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

ainsi que le produit infini

${\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{( \ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

Plus généralement, si 1 < B < e ² (ce qui inclut B = 2, 3, 4, 5, 6 ou 7), alors

${\displaystyle e={\frac {B\cdot B^{(\ln(B)-1)^{2}}\cdots }{B^{\ln(B)-1}\cdot B^{( \ln(B)-1)^{3}}\cdots }}.}$

Comme limite d'une séquence

Le nombre e est égal à la limite de plusieurs suites infinies :

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$ et

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$(tous deux par la formule de Stirling ).

La limite symétrique,

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{ n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}$

peut être obtenu en manipulant la définition limite de base de e .

Les deux définitions suivantes sont des corollaires directs du théorème des nombres premiers

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}}$

où est le n ième premier et est le primorial du n ième premier. ${\style d'affichage p_{n}}$${\style d'affichage p_{n}\#}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

où est la fonction de comptage des nombres premiers . ${\style d'affichage \pi (n)}$

Aussi:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Dans le cas particulier que , le résultat est la fameuse déclaration : ${\style d'affichage x=1}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Le rapport de la factoriel , qui compte toutes les permutations d'un ensemble ordonné S avec cardinalité , et le dérangement fonction qui compte le nombre de permutations où aucun élément apparaît dans sa position initiale, tend à en pousse. ${\style d'affichage n!}$ ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage !n}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage n}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}.}$

En trigonométrie

Trigonométriquement, e peut être écrit en termes de somme de deux fonctions hyperboliques ,

${\displaystyle e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x),}$

à x = 1 .

Voir également

• Liste des formules impliquant π

Remarques