La conjecture de Schanuel - Schanuel's conjecture

Fait partie d' une série d'articles sur le
constante mathématique e
Propriétés
Un algorithme naturel Fonction exponentielle
Applications
intérêts composés L'identité d'Euler la formule d'Euler demi-vies croissance exponentielle et décroissance
Définir e
preuve que e est irrationnel représentations de e Théorème de Lindemann-Weierstrass
Gens
Jean Napier Léonhard Euler
Rubriques connexes
La conjecture de Schanuel
v t e

En mathématiques , en particulier en théorie transcendantale des nombres , la conjecture de Schanuel est une conjecture faite par Stephen Schanuel dans les années 1960 concernant le degré de transcendance de certaines extensions de champ des nombres rationnels .

Déclaration

La conjecture est la suivante :

Etant donné n nombres complexes z ₁ , ..., z _n qui sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels , l' extension de champ ( z ₁ , ..., z _n , e ^{z ₁} , ..., e ^{z _n} ) a degré de transcendance au moins n sur . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La conjecture peut être trouvée dans Lang (1966).

Conséquences

La conjecture, si elle était prouvée, généraliserait les résultats les plus connus de la théorie transcendantale des nombres . Le cas particulier où les nombres z ₁ ,..., z _n sont tous algébriques est le théorème de Lindemann-Weierstrass . Si, d'autre part, les nombres sont choisis de manière à rendre exp( z ₁ ),...,exp( z _n ) tout algébrique alors on prouverait que les logarithmes linéairement indépendants des nombres algébriques sont algébriquement indépendants, un renforcement de Théorème de Baker .

Le théorème de Gelfond-Schneider découle de cette version renforcée du théorème de Baker, tout comme la conjecture des quatre exponentielles actuellement non prouvée .

La conjecture de Schanuel, si elle est établie, serait également régler si des nombres tels que e  +  π et e ^e algébriques ou transcendantale, et prouver que e et π sont tout simplement algébriquement indépendants en fixant z ₁  = 1 et z ₂  =  π i , et à l' aide d' Euler identité .

Les états d'identité d'Euler que e ^{π i}  + 1 = 0. Si la conjecture de Schanuel est vrai , alors cela est, dans un certain sens précis impliquant des anneaux exponentielles , la seule relation entre e , π et i sur les nombres complexes.

Bien qu'apparemment un problème en théorie des nombres, la conjecture a également des implications en théorie des modèles . Angus Macintyre et Alex Wilkie , par exemple, ont prouvé que la théorie du champ réel avec exponentiation, _exp , est décidable à condition que la conjecture de Schanuel soit vraie. En fait, ils n'avaient besoin que de la version réelle de la conjecture, définie ci-dessous, pour prouver ce résultat, qui serait une solution positive au problème de la fonction exponentielle de Tarski . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Conjectures et résultats connexes

La conjecture inverse de Schanuel est l'énoncé suivant :

Supposons que F soit un corps dénombrable de caractéristique 0, et e  : F → F soit un homomorphisme du groupe additif ( F ,+) au groupe multiplicatif ( F ,·) dont le noyau est cyclique . Supposons en outre que pour n'importe quels n éléments x ₁ ,..., x _n de F qui sont linéairement indépendants sur , le champ d'extension ( x ₁ ,..., x _n , e ( x ₁ ),..., e ( x _n )) a un degré de transcendance d'au moins n sur . Alors il existe un homomorphisme de corps h  : F → tel que h ( e ( x )) = exp( h ( x )) pour tout x dans F .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Une version de la conjecture de Schanuel pour les séries de puissance formelles , également par Schanuel, a été prouvée par James Axe en 1971. Il déclare :

Étant donné n'importe quelles n séries formelles f ₁ ,..., f _n in t [[ t ]] qui sont linéairement indépendantes sur , alors l'extension de champ ( t , f ₁ ,..., f _n ,exp( f ₁ ) ,...,exp( f _n )) a un degré de transcendance d'au moins n sur ( t ).${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Comme indiqué ci-dessus, la décidabilité de _exp découle de la version réelle de la conjecture de Schanuel qui est la suivante : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Supposons que x ₁ ,..., x _n soient des nombres réels et que le degré de transcendance du corps ( x ₁ ,..., x _n , exp ( x ₁ ),...,exp( x _n )) soit strictement inférieur que n , alors il existe des entiers m ₁ ,..., m _n , pas tous nuls, tels que m ₁ x ₁  +...+  m _n x _n  = 0.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Une conjecture connexe appelée le réel uniforme La conjecture de Schanuel dit essentiellement la même chose mais met une limite sur les entiers m _i . La version réelle uniforme de la conjecture est équivalente à la version réelle standard. Macintyre et Wilkie ont montré qu'une conséquence de la conjecture de Schanuel, qu'ils ont surnommée la conjecture de Schanuel faible, était équivalente à la décidabilité de _exp . Cette conjecture énonce qu'il existe une borne supérieure calculable sur la norme des solutions non singulières aux systèmes de polynômes exponentiels ; c'est, non évidemment, une conséquence de la conjecture de Schanuel pour les réels. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

On sait aussi que la conjecture de Schanuel serait une conséquence des résultats conjecturaux de la théorie des motifs . Dans ce cadre, la conjecture de période de Grothendieck pour une variété abélienne A indique que le degré de transcendance de sa matrice de période est le même que la dimension du groupe de Mumford-Tate associé , et ce qui est connu par les travaux de Pierre Deligne est que la dimension est une lié au degré de transcendance. Bertolin a montré comment une conjecture de période généralisée inclut la conjecture de Schanuel.

La pseudo-exponentiation de Zilber

Alors qu'une preuve de la conjecture de Schanuel semble loin, les liens avec la théorie des modèles ont suscité une vague de recherches sur la conjecture.

En 2004, Boris Zilber a construit systématiquement des champs exponentiels K _exp algébriquement clos et de caractéristique zéro, et tels qu'un de ces champs existe pour chaque cardinalité indénombrable . Il axiomatisé ces champs et, en utilisant la construction de Hrushovski et les techniques inspirées des travaux de Shelah sur la catégorisation dans les logiques infinités , a prouvé que cette théorie de la "pseudo-exponentiation" a un modèle unique dans chaque cardinal indénombrable. La conjecture de Schanuel fait partie de cette axiomatisation, et donc la conjecture naturelle selon laquelle le modèle unique de continuum de cardinalité est en fait isomorphe au champ exponentiel complexe implique la conjecture de Schanuel. En fait, Zilber a montré que cette conjecture est vraie si et seulement si à la fois la conjecture de Schanuel et une autre condition non prouvée sur le champ d'exponentiation complexe, que Zilber appelle fermeture exponentielle-algébrique, sont vraies. Comme cette construction peut également donner des modèles avec des contre-exemples de la conjecture de Schanuel, cette méthode ne peut pas prouver la conjecture de Schanuel.

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Conjecture de Schanuel" . MathWorld .