Collection localement finie - Locally finite collection

Dans le domaine mathématique de la topologie , la finitude locale est une propriété des collections de sous - ensembles d'un espace topologique . Elle est fondamentale dans l'étude de la paracompactité et de la dimension topologique .

Une collection de sous-ensembles d'un espace topologique est dite localement finie , si chaque point de l'espace a un voisinage qui ne coupe qu'un nombre fini d'ensembles de la collection. ${\style d'affichage X}$

Notez que le terme localement fini a des significations différentes dans d'autres domaines mathématiques.

Exemples et propriétés

Une collection finie de sous-ensembles d'un espace topologique est localement finie. Les collections infinies peuvent aussi être localement finies : par exemple, la collection de tous les sous-ensembles de de la forme pour un entier . Une collection dénombrable de sous-ensembles n'a pas besoin d'être localement finie, comme le montre la collection de tous les sous-ensembles de de la forme pour un nombre naturel n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage (n,n+2)}$ ${\style d'affichage n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage (-n,n)}$

Si une collection d'ensembles est localement finie, la collection de toutes les fermetures de ces ensembles est aussi localement finie. La raison en est que si un ouvert contenant un point coupe la fermeture d'un ensemble, il coupe nécessairement l'ensemble lui-même, donc un voisinage peut couper au plus le même nombre de fermetures (il peut en couper moins, puisque deux disjoints, les ensembles peuvent avoir la même fermeture). L'inverse, cependant, peut échouer si les fermetures des ensembles ne sont pas distinctes. Par exemple, dans la topologie en complément fini , la collection de tous les ensembles ouverts n'est pas localement finie, mais la collection de toutes les fermetures de ces ensembles est localement finie (puisque les seules fermetures sont et l' ensemble vide ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Espaces compacts

Toute collection localement finie de sous-ensembles d'un espace compact doit être finie. En effet, soit une famille localement finie de sous-ensembles d'un espace compact . Pour chaque point , choisissez un voisinage ouvert qui coupe un nombre fini de sous - ensembles dans . Clairement la famille d'ensembles : est une couverture ouverte de , et a donc une sous- couverture finie : . Puisque chacun ne coupe qu'un nombre fini de sous-ensembles dans , l'union de tous ces sous-ensembles ne coupe qu'un nombre fini de sous-ensembles dans . Puisque cette union est l'espace entier , il s'ensuit qu'elle ne coupe qu'un nombre fini de sous-ensembles dans la collection . Et puisque est composé de sous-ensembles de chaque membre de doit se croiser , est donc fini. ${\displaystyle G=\{G_{a}|a\in A\}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage U_{x}}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle \{U_{x}|x\in X\}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}}$${\displaystyle U_{k_{i}}}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle U_{k_{i}}}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage G}$

Un espace topologique dans lequel chaque couverture ouverte admet un raffinement ouvert localement fini est appelé paracompact . Chaque collection localement finie de sous-ensembles d'un espace topologique est également finie ponctuellement . Un espace topologique dans lequel chaque couverture ouverte admet un raffinement ouvert point-fini est appelé métacompact .

Deuxièmes espaces dénombrables

Aucune couverture indénombrable d'un espace de Lindelöf ne peut être localement finie, par essentiellement le même argument que dans le cas des espaces compacts. En particulier, aucune couverture indénombrable d'un second espace dénombrable n'est localement finie.

Ensembles fermés

Une union finie d' ensembles fermés est toujours fermée. On peut facilement donner un exemple d'union infinie d'ensembles fermés qui n'est pas fermée. Cependant, si l'on considère une collection localement finie d'ensembles fermés, l'union est fermée. Pour voir cela, nous notons que si est un point en dehors de l'union de cette collection localement finie d'ensembles fermés, nous choisissons simplement un voisinage de qui coupe cette collection à seulement un nombre fini de ces ensembles. Définir une carte bijective à partir de la collection d'ensembles qui se croise pour ainsi donner un indice à chacun de ces ensembles. Ensuite, pour chaque ensemble, choisissez un ensemble ouvert contenant qui ne l'intersecte pas. L'intersection de tous ces pour intersecté avec , est un voisinage de qui n'intersecte pas l'union de cette collection d'ensembles fermés. ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle {1,\dots ,k}}$${\displaystyle U_{i}}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle U_{i}}$${\style d'affichage 1\leq i\leq k}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage x}$

Collections dénombrables localement finies

Une collection dans un espace est dénombrable localement finie (ou σ-localement finie ) si elle est l'union d'une famille dénombrable de collections localement finies de sous-ensembles de . Dénombrable finitude locale est une hypothèse clé dans le espace métrisable Nagata-Smirnov , qui stipule qu'un espace topologique est métrisable si et seulement si elle est régulière et a un dénombrable localement fini base . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Les références

• James R. Munkres (2000), Topologie (2e éd.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2