Couverture (topologie) - Cover (topology)

En mathématiques , en particulier en topologie , une couverture d'un ensemble est une collection d'ensembles dont l'union comprend un sous - ensemble . Formellement, si est une famille d'ensembles indexée alors est une couverture de si ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$${\displaystyle U_{\alpha },}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X}$

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Couverture en topologie

Les couvertures sont couramment utilisées dans le contexte de la topologie . Si l'ensemble X est un espace topologique , puis un couvercle C de X est une collection de sous - ensembles U _α ( α ∈ A ) de X dont l' union est tout l'espace X . Dans ce cas on dit que C recouvre X , ou que les ensembles U _α recouvrent X . De plus, si Y est un sous-ensemble de X , alors une couverture de Y est une collection de sous-ensembles de X dont l'union contient Y , c'est-à-dire que C est une couverture de Y si

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Soit C une couverture d'un espace topologique X . Une sous - couverture de C est un sous-ensemble de C qui couvre toujours X .

On dit que C est un ouvrir le couvercle si chacun de ses éléments est unensemble ouvert(chaqueU _α est contenu dansT, oùTest la topologie surX).

Une couverture de X est dite localement finie si chaque point de X a un voisinage qui ne coupe qu'un nombre fini d'ensembles dans la couverture. Formellement, C = { U _α } est localement fini s'il existe pour tout un voisinage N ( x ) de x tel que l'ensemble ${\style d'affichage x\dans X,}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$

est fini. Une couverture de X est dite point finie si chaque point de X n'est contenu que dans un nombre fini d'ensembles de la couverture. Une couverture est finie ponctuellement si elle est localement finie, bien que l'inverse ne soit pas nécessairement vrai.

Raffinement

Un raffinement d'une couverture d'un espace topologique est une nouvelle couverture de telle que chaque ensemble dans est contenu dans un ensemble dans . Officiellement, ${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$est un raffinement de si pour tout il existe tel que${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle \beta \in B}$${\displaystyle \alpha \in A}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

En d'autres termes, il existe une application de raffinement satisfaisante pour tout. Cette application est utilisée, par exemple, dans la cohomologie de Čech de . ${\displaystyle \phi :B\to A}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$${\displaystyle \beta \in B.}$${\style d'affichage X}$

Chaque sous-couverture est aussi un raffinement, mais l'inverse n'est pas toujours vrai. Une sous-couverture est faite à partir des ensembles qui sont dans la couverture, mais en omettant certains d'entre eux ; alors qu'un raffinement est effectué à partir de tous les ensembles qui sont des sous-ensembles des ensembles de la couverture.

La relation de raffinement est un pré - ordre sur l'ensemble des couvertures de . ${\style d'affichage X}$

D'une manière générale, un raffinement d'une structure donnée en est un autre qui en un certain sens la contient. On trouve des exemples lors du partitionnement d'un intervalle (un raffinement d' être ), en considérant des topologies (la topologie standard dans l'espace euclidien étant un raffinement de la topologie triviale ). Lors de la subdivision de complexes simpliciaux (la première subdivision barycentrique d'un complexe simplicial est un raffinement), la situation est légèrement différente : chaque simplexe dans le complexe le plus fin est une face d'un simplexe dans le plus grossier, et les deux ont des polyèdres sous-jacents égaux. ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<...<a_{n}}$${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<...<a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

Une autre notion de raffinement est celle de raffinement en étoile .

Sous-couverture

Un moyen simple d'obtenir une sous-couverture est d'omettre les ensembles contenus dans un autre ensemble dans la couverture. Considérez spécifiquement les couvertures ouvertes. Soit une base topologique de et une couverture ouverte de First take Then est un raffinement de . Ensuite, pour chacun, nous sélectionnons un contenant (nécessitant l'axiome de choix). Alors est une sous-couverture de Par conséquent, la cardinalité d'une sous-couverture d'une couverture ouverte peut être aussi petite que celle de n'importe quelle base topologique. Par conséquent, en particulier, la deuxième dénombrement implique qu'un espace est Lindelöf . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\style d'affichage X.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}} :{\text{ il existe }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ tel que }} A\subseteq U\}.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

Compacité

Le langage des couvertures est souvent utilisé pour définir plusieurs propriétés topologiques liées à la compacité . Un espace topologique X est dit

Compact

si chaque couverture ouverte a une sous-couverture finie, (ou de manière équivalente que chaque couverture ouverte a un raffinement fini) ;

Lindelöf

si chaque couverture ouverte a une sous- couverture dénombrable (ou de manière équivalente que chaque couverture ouverte a un raffinement dénombrable) ;

Métacompacte

si chaque couvercle ouvert a un raffinement ouvert ponctuel fini ;

Paracompacte

si tout couvercle ouvert admet un raffinement ouvert localement fini.

Pour d'autres variantes, voir les articles ci-dessus.

Dimension de couverture

Un espace topologique X est dit de dimension couvrant n si chaque couverture ouverte de X a un raffinement ouvert point-fini tel qu'aucun point de X n'est inclus dans plus de n+1 ensembles dans le raffinement et si n est la valeur minimale pour laquelle c'est vrai. S'il n'existe pas un tel n minimal , l'espace est dit de dimension de recouvrement infinie.

Voir également

• Atlas (topologie)
• Couvrir l'espace
• Partition d'un ensemble
• Définir le problème de couverture
• Raffinement étoilé
• Topologie de Grothendieck

Remarques

Les références

1. Introduction à la topologie, deuxième édition , Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Douvres Publications 1999. ISBN  0-486-40680-6
2. Topologie générale , John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.

Liens externes

• "Couvrant (d'un ensemble)" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]