Catégorie de modèle - Model category

En mathématiques , en particulier en théorie de l'homotopie , une catégorie modèle est une catégorie avec des classes distinctes de morphismes («flèches») appelées « équivalences faibles », « fibrations » et « cofibrations » satisfaisant certains axiomes les reliant. Ceux-ci font abstraction de la catégorie des espaces topologiques ou des complexes de chaînes ( théorie des catégories dérivées ). Le concept a été introduit par Daniel G. Quillen  ( 1967 ).

Au cours des dernières décennies, le langage des catégories de modèles a été utilisé dans certaines parties de la théorie algébrique de la K et de la géométrie algébrique , où les approches de la théorie de l'homotopie ont conduit à des résultats profonds.

Motivation

Les catégories de modèles peuvent fournir un cadre naturel pour la théorie de l'homotopie : la catégorie des espaces topologiques est une catégorie de modèle, l'homotopie correspondant à la théorie habituelle. De même, les objets qui sont considérés comme des espaces admettent souvent une structure de catégorie de modèle, telle que la catégorie des ensembles simplicial .

Une autre catégorie de modèle est la catégorie des complexes de la chaîne de R - modules pour un anneau commutatif R . La théorie de l'homotopie dans ce contexte est l'algèbre homologique . L'homologie peut alors être considérée comme un type d'homotopie, permettant des généralisations d'homologie à d'autres objets, tels que les groupes et les R- algèbres , l'une des premières applications majeures de la théorie. En raison de l'exemple ci-dessus concernant l'homologie, l'étude des catégories de modèles fermés est parfois considérée comme une algèbre homotopique .

Définition formelle

La définition donnée initialement par Quillen était celle d'une catégorie de modèle fermé, dont les hypothèses semblaient fortes à l'époque, motivant d'autres à affaiblir certaines des hypothèses pour définir une catégorie de modèle. En pratique, la distinction ne s'est pas avérée significative et les auteurs les plus récents (par exemple, Mark Hovey et Philip Hirschhorn) travaillent avec des catégories de modèles fermées et abandonnent simplement l'adjectif «fermé».

La définition a été séparée de celle d'une structure modèle sur une catégorie, puis d'autres conditions catégoriques sur cette catégorie, dont la nécessité peut sembler démotivée au début mais devient importante plus tard. La définition suivante suit celle donnée par Hovey.

Une structure de modèle sur une catégorie C se compose de trois classes distinctes de morphismes (sous-catégories équivalentes): les équivalences faibles , les fibrations et les cofibrations , et deux factorisations fonctionnelles et soumises aux axiomes suivants. Une fibration qui est également une équivalence faible est appelée fibration acyclique (ou triviale ) et une cofibration qui est également une équivalence faible est appelée cofibration acyclique (ou triviale ) (ou parfois appelée morphisme anodyne ).

Axiomes
  1. Retrait : si g est un morphisme appartenant à l'une des classes distinguées, et f est un retrait de g (en tant qu'objets de la catégorie flèche , où 2 est l'ensemble ordonné à 2 éléments), alors f appartient à la même classe distinguée. Explicitement, l'exigence que f soit un retrait de g signifie qu'il existe i , j , r et s , de sorte que le diagramme suivant commute:
    Catégorie de modèle retract.png
  2. 2 sur 3 : si f et g sont des applications dans C telles que gf est définie et que deux de ces valeurs sont des équivalences faibles, alors la troisième l'est aussi.
  3. Lifting : les cofibrations acycliques ont la propriété de levage gauche par rapport aux fibrations, et les cofibrations ont la propriété de levage gauche par rapport aux fibrations acycliques. Explicitement, si le carré extérieur du diagramme suivant commute, où i est une cofibration et p est une fibration, et i ou p est acyclique, alors il existe h complétant le diagramme.
    Catégorie de modèle lifting.png
  4. Factorisation :
    • tout morphisme f dans C peut s'écrire comme pour une fibration p et une cofibration acyclique i ;
    • tout morphisme f dans C peut s'écrire comme pour une fibration acyclique p et une cofibration i .

Une catégorie de modèle est une catégorie qui a une structure de modèle et toutes les (petites) limites et colimites , c'est-à-dire une catégorie complète et cocomplète avec une structure de modèle.

Définition via des systèmes de factorisation faibles

La définition ci-dessus peut être succinctement formulée par la définition équivalente suivante: une catégorie de modèle est une catégorie C et trois classes d'équivalences faibles (dites) W , fibrations F et cofibrations C de sorte que

  • C a toutes les limites et les colimites,
  • est un système de factorisation faible
  • satisfait la propriété 2 sur 3.

Premières conséquences de la définition

Les axiomes impliquent que deux des trois classes de cartes déterminent la troisième (par exemple, les cofibrations et les équivalences faibles déterminent les fibrations).

Aussi, la définition est auto-duelle: si C est une catégorie modèle, alors sa catégorie opposée admet également une structure modèle pour que les équivalences faibles correspondent à leurs opposés, les fibrations opposées aux cofibrations et les cofibrations opposées aux fibrations.

Exemples

Espaces topologiques

La catégorie des espaces topologiques , Top , admet une structure de catégorie de modèle standard avec les fibrations habituelles (Serre) et avec des équivalences faibles en tant qu'équivalences d'homotopie faibles. Les cofibrations ne sont pas la notion habituelle trouvée ici , mais plutôt la classe plus étroite de cartes qui ont la propriété de levage gauche par rapport aux fibrations acycliques de Serre. De manière équivalente, ce sont les rétractations des complexes cellulaires relatifs, comme expliqué par exemple dans les catégories de modèles de Hovey . Cette structure n'est pas unique; en général, il peut y avoir de nombreuses structures de catégories modèles sur une catégorie donnée. Pour la catégorie des espaces topologiques, une autre structure de ce type est donnée par les fibrations de Hurewicz et les cofibrations standard, et les équivalences faibles sont les équivalences d'homotopie (fortes) .

Complexes en chaîne

La catégorie des complexes de chaînes (à gradation négative) des modules R porte au moins deux structures modèles, qui figurent toutes deux en bonne place dans l'algèbre homologique:

  • les équivalences faibles sont des cartes qui induisent des isomorphismes d'homologie;
  • les cofibrations sont des cartes qui sont des monomorphismes à chaque degré avec cokernel projectif ; et
  • les fibrations sont des cartes qui sont des épimorphismes à chaque degré différent de zéro

ou alors

  • les équivalences faibles sont des cartes qui induisent des isomorphismes d'homologie;
  • les fibrations sont des cartes qui sont des épimorphismes à chaque degré avec noyau injectif ; et
  • Les cofibrations sont des cartes qui sont des monomorphismes à chaque degré non nul.

Ceci explique pourquoi les groupes Ext de modules R peuvent être calculés en résolvant la source de manière projective ou la cible de manière injective. Ce sont des remplacements de cofibrant ou de fibrant dans les structures de modèle respectives.

La catégorie des chaînes complexes arbitraires de R -modules a une structure de modèle qui est définie par

  • les équivalences faibles sont des équivalences d'homotopie de chaîne de complexes de chaîne;
  • les cofibrations sont des monomorphismes qui sont divisés en morphismes de modules R sous-jacents ; et
  • les fibrations sont des épimorphismes qui sont divisés en morphismes de modules R sous-jacents .

Autres exemples

D'autres exemples de catégories admettant des structures de modèle incluent la catégorie de toutes les petites catégories, la catégorie des ensembles simplicial ou des pré-poussoirs simpliciaux sur tout petit site de Grothendieck , la catégorie des spectres topologiques, et les catégories de spectres simplicial ou pré - feuilles de spectres simplicial sur un petit Grothendieck placer.

Les objets simpliciaux d'une catégorie sont une source fréquente de catégories de modèles; par exemple, les anneaux commutatifs simpliciaux ou les modules R simpliciaux admettent des structures de modèle naturelles. Cela s'ensuit parce qu'il y a une adjonction entre les ensembles simpliciaux et les anneaux commutatifs simpliciaux (donnés par les foncteurs oublieux et libres), et dans de beaux cas, on peut soulever des structures modèles sous une adjonction.

Une catégorie de modèle simplicial est une catégorie simplicial avec une structure de modèle compatible avec la structure simplicial.

Étant donné toute catégorie C et une catégorie de modèle M , sous certaines hypothèses supplémentaires, la catégorie de foncteurs Fun ( C , M ) (également appelée C- diagrammes dans M ) est également une catégorie de modèle. En fait, il y a toujours deux candidats pour les structures de modèles distincts: dans l' un, le soi-disant structure du modèle projectif, fibrations et faibles sont les équivalences des cartes de foncteurs qui sont fibrations et faibles lorsqu'ils sont évalués à équivalences chaque objet de C . Dually, la structure du modèle injectif est similaire avec des cofibrations et des équivalences faibles à la place. Dans les deux cas, la troisième classe de morphismes est donnée par une condition de levage (voir ci-dessous). Dans certains cas, lorsque la catégorie C est une catégorie Reedy , il existe une troisième structure de modèle située entre le projectif et l'injectif.

Le processus consistant à forcer certaines cartes à devenir des équivalences faibles dans une nouvelle structure de catégorie de modèle sur la même catégorie sous-jacente est connu sous le nom de localisation de Bousfield . Par exemple, la catégorie des poulies simplicial peut être obtenue comme une localisation de Bousfield de la catégorie modèle des pré-poussoirs simplicial .

Denis-Charles Cisinski a développé une théorie générale des structures de modèles sur les catégories pré-feuilles (généralisant les ensembles simpliciaux, qui sont des pré-poussées sur la catégorie simplex ).

Si C est une catégorie de modèle, il en est la catégorie Pro ( C ) des objets pro- en C . Cependant, une structure modèle sur Pro ( C peut également être construit) en imposant un ensemble d'axiomes plus faible à C .

Quelques constructions

Chaque catégorie de modèle fermé a un objet terminal par complétude et un objet initial par cocomplétude, puisque ces objets sont respectivement la limite et la colimite du diagramme vide. Étant donné un objet X dans la catégorie modèle, si la carte unique de l'objet initial à X est une cofibration, alors X est dit cofibrant . De manière analogue, si la carte unique de X à l'objet terminal est une fibration, alors X est dit fibrant .

Si Z et X sont des objets d'une catégorie de modèle tel que Z est cofibrant et il y a une équivalence faible de Z à X alors Z est dit être un remplacement cofibrant pour X . De même, si Z est fibrant et il y a une équivalence faible de X à Z alors Z est dit être un remplacement fibrant pour X . En général, tous les objets ne sont pas fibrants ou cofibrants, bien que ce soit parfois le cas. Par exemple, tous les objets sont cofibrants dans la catégorie de modèle standard des ensembles simplicial et tous les objets sont fibrants pour la structure de catégorie de modèle standard donnée ci-dessus pour les espaces topologiques.

L'homotopie de gauche est définie par rapport aux objets cylindriques et l'homotopie de droite est définie par rapport aux objets d'espace de trajectoire . Ces notions coïncident lorsque le domaine est cofibrant et le codomaine est fibrant. Dans ce cas, l'homotopie définit une relation d'équivalence sur les ensembles hom de la catégorie modèle donnant lieu à des classes d'homotopie.

Caractérisations des fibrations et cofibrations par levée des propriétés

Les cofibrations peuvent être caractérisées comme les cartes qui ont la propriété de soulèvement gauche par rapport aux fibrations acycliques, et les cofibrations acycliques sont caractérisées comme les cartes qui ont la propriété de soulèvement gauche par rapport aux fibrations. De même, les fibrations peuvent être caractérisées comme les cartes qui ont la bonne propriété de levage par rapport aux cofibrations acycliques, et les fibrations acycliques sont caractérisées comme les cartes qui ont la bonne propriété de levage par rapport aux cofibrations.

Homotopie et catégorie d'homotopie

La catégorie d'homotopie d'un modèle de catégorie C est la localisation de C par rapport à la classe d'équivalences faibles. Cette définition de la catégorie d'homotopie ne dépend pas du choix des fibrations et des cofibrations. Cependant, les classes de fibrations et de cofibrations sont utiles pour décrire la catégorie d'homotopie d'une manière différente et en particulier pour éviter les problèmes de théorie des ensembles qui se posent dans les localisations générales des catégories. Plus précisément, le "théorème fondamental des catégories de modèles" stipule que la catégorie d'homotopie de C est équivalente à la catégorie dont les objets sont les objets de C qui sont à la fois fibrant et cofibrant, et dont les morphismes sont des classes d'homotopie de gauche classes d'homotopie des cartes) telles que définies ci-dessus. (Voir par exemple les catégories de modèles par Hovey, Thm 1.2.10)

En appliquant cela à la catégorie des espaces topologiques avec la structure de modèle donnée ci-dessus, la catégorie d'homotopie résultante est équivalente à la catégorie des complexes CW et des classes d'homotopie des cartes continues, d'où le nom.

Ajustements Quillen

Une paire de foncteurs adjoints

entre deux catégories de modèles C et D est appelée une adjonction de Quillen si F préserve les cofibrations et les cofibrations acycliques ou, de manière équivalente par les axiomes du modèle fermé, de telle sorte que G préserve les fibrations et les fibrations acycliques. Dans ce cas F et G induisent une adjonction

entre les catégories d'homotopie. Il existe également un critère explicite pour que cette dernière soit une équivalence ( F et G sont alors appelés équivalences de Quillen ).

Un exemple typique est l'adjonction standard entre les ensembles simplicial et les espaces topologiques:

impliquant la réalisation géométrique d'un ensemble simplicial et des chaînes singulières dans un espace topologique. Les catégories sSet et Top ne sont pas équivalentes, mais leurs catégories d'homotopie le sont. Par conséquent, les ensembles simplicial sont souvent utilisés comme modèles pour les espaces topologiques en raison de cette équivalence des catégories d'homotopie.

Voir également

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes