Calcul non standard - Nonstandard calculus

En mathématiques , le calcul non standard est l'application moderne des infinitésimaux , dans le sens de l' analyse non standard , au calcul infinitésimal . Il fournit une justification rigoureuse pour certains arguments en calcul qui étaient auparavant considérés comme purement heuristiques .

Les calculs non rigoureux avec des infinitésimaux étaient largement utilisés avant que Karl Weierstrass ne cherche à les remplacer par la définition (ε, δ) de la limite à partir des années 1870. (Voir histoire du calcul .) Pendant près de cent ans par la suite, des mathématiciens tels que Richard Courant considéraient les infinitésimaux comme étant naïfs et vagues ou dénués de sens.

Contrairement à de telles vues, Abraham Robinson a montré en 1960 que les infinitésimaux sont précis, clairs et significatifs, en s'appuyant sur les travaux d' Edwin Hewitt et Jerzy Łoś . Selon Howard Keisler , "Robinson a résolu un problème vieux de trois cents ans en donnant un traitement précis des infinitésimaux. La réalisation de Robinson sera probablement l'une des avancées mathématiques majeures du vingtième siècle."

Histoire

L'histoire du calcul non standard a commencé avec l'utilisation de quantités infiniment petites, appelées infinitésimales en calcul . L'utilisation des infinitésimaux se retrouve dans les fondements du calcul développés indépendamment par Gottfried Leibniz et Isaac Newton à partir des années 1660. John Wallis a affiné les techniques antérieures des indivisibles de Cavalieri et d'autres en exploitant une quantité infinitésimale qu'il dénotait dans les calculs d'aire, préparant le terrain pour le calcul intégral . Ils se sont inspirés des travaux de mathématiciens tels que Pierre de Fermat , Isaac Barrow et René Descartes . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}}$

Dans les premiers calculs, l'utilisation de quantités infinitésimales a été critiquée par un certain nombre d'auteurs, notamment Michel Rolle et Bishop Berkeley dans son livre The Analyst .

Plusieurs mathématiciens, dont Maclaurin et d'Alembert , ont préconisé l'utilisation de limites. Augustin Louis Cauchy a développé un éventail polyvalent d'approches fondamentales, y compris une définition de la continuité en termes d'infinitésimaux et un prototype (quelque peu imprécis) d'un argument ε, pour travailler avec la différenciation. Karl Weierstrass a formalisé le concept de limite dans le contexte d'un système de nombres (réels) sans infinitésimaux. À la suite des travaux de Weierstrass, il est finalement devenu courant de baser le calcul sur des arguments ε, δ au lieu d'infinitésimaux.

Cette approche formalisée par Weierstrass est connue sous le nom de calcul standard . Après de nombreuses années où l'approche infinitésimale du calcul est tombée en désuétude autrement qu'en tant qu'outil pédagogique d'introduction, l'utilisation des quantités infinitésimales a finalement été solidement fondée par Abraham Robinson dans les années 1960. L'approche de Robinson est appelée analyse non standard pour la distinguer de l'utilisation standard des limites. Cette approche a utilisé des machines techniques issues de la logique mathématique pour créer une théorie des nombres hyperréels qui interprètent les infinitésimaux d'une manière qui permet un développement à la Leibniz des règles habituelles du calcul. Une approche alternative, développée par Edward Nelson , trouve des infinitésimaux sur la ligne réelle ordinaire elle-même et implique une modification du cadre fondamental en étendant ZFC par l'introduction d'un nouveau prédicat unaire « standard ».

Motivation

Pour calculer la dérivée de la fonction en x , les deux approches s'accordent sur les manipulations algébriques : ${\style d'affichage f'}$${\style d'affichage y=f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac { 2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x\environ 2x}$

Cela devient un calcul des dérivées utilisant les hyperréels si est interprété comme un infinitésimal et le symbole " " est la relation " est infiniment proche de ". ${\style d'affichage \Delta x}$${\style d'affichage \environ }$

Afin de faire de f ' une fonction à valeur réelle, le terme final est supprimé. Dans l'approche standard utilisant uniquement des nombres réels, cela se fait en prenant la limite comme tend vers zéro. Dans l' approche hyperréelle , la quantité est considérée comme un nombre infinitésimal, un nombre non nul qui est plus proche de 0 que de tout réel non nul. Les manipulations affichées ci-dessus montrent alors que est infiniment proche de 2 x , donc la dérivée de f en x est alors 2 x . ${\style d'affichage \Delta x}$${\style d'affichage \Delta x}$${\style d'affichage \Delta x}$${\displaystyle \Delta y/\Delta x}$

L'élimination du "terme d'erreur" est accomplie par une application de la fonction de pièce standard . La dispense de termes d'erreur infinitésimale a été historiquement considérée comme paradoxale par certains auteurs, notamment George Berkeley .

Une fois que le système de nombres hyperréels (un continuum infinitésimal enrichi) est en place, on a réussi à intégrer une grande partie des difficultés techniques au niveau fondamental. Ainsi, les techniques epsilon et delta que certains croient être l'essence de l'analyse peuvent être mises en œuvre une fois pour toutes au niveau fondamental, et les étudiants n'ont pas besoin d'être "habillés pour effectuer des cascades logiques à quantificateurs multiples sous prétexte d'être enseignés infinitésimal calcul », pour citer une étude récente. Plus précisément, les concepts de base du calcul tels que continuité, dérivée et intégrale peuvent être définis en utilisant des infinitésimaux sans référence à epsilon, delta (voir la section suivante).

Le manuel de Keisler

Le calcul élémentaire de Keisler : une approche infinitésimale définit la continuité à la page 125 en termes d'infinitésimaux, à l'exclusion des méthodes epsilon et delta. La dérivée est définie à la page 45 en utilisant des infinitésimaux plutôt qu'une approche epsilon-delta. L'intégrale est définie à la page 183 en termes d'infinitésimaux. Epsilon, les définitions delta sont présentées à la page 282.

Définition de dérivé

Les hyperréels peuvent être construits dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel , l'axiomatisation standard de la théorie des ensembles utilisée ailleurs en mathématiques. Pour donner une idée intuitive de l'approche hyperréelle, notez que, naïvement, l'analyse non standard postule l'existence de nombres positifs qui sont infiniment petits , ce qui signifie que est plus petit que tout réel positif standard, mais supérieur à zéro. Chaque nombre réel x est entouré d'un "nuage" infinitésimal de nombres hyperréels infiniment proches de lui. Pour définir la dérivée de f à un nombre réel standard x dans cette approche, on n'a plus besoin d'un processus de limitation infini comme dans le calcul standard. Au lieu de cela, on fixe

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right), }$

où st est la fonction de partie standard , donnant le nombre réel infiniment proche de l'argument hyperréel de st , et est l'extension naturelle de aux hyperréels. ${\displaystyle f^{*}}$${\style d'affichage f}$

Continuité

Une fonction réelle f est continue à un nombre réel standard x si pour tout hyperréel x' infiniment proche de x , la valeur f ( x' ) est aussi infiniment proche de f ( x ). Ceci capture la définition de la continuité de Cauchy telle qu'elle est présentée dans son manuel de 1821 Cours d'Analyse , p. 34.

Ici, pour être précis, f devrait être remplacé par son extension hyperréelle naturelle généralement notée f ^* (voir la discussion sur le principe de transfert dans l'article principal de l' analyse non standard ).

En utilisant la notation pour la relation d'être infiniment proche comme ci-dessus, la définition peut être étendue à des points arbitraires (standard ou non standard) comme suit : ${\style d'affichage \environ }$

Une fonction f est microcontinue en x si à chaque fois , on a${\displaystyle x'\environ x}$${\displaystyle f^{*}(x')\approx f^{*}(x)}$

Ici, le point x' est supposé être dans le domaine de (l'extension naturelle de) f .

Ce qui précède nécessite moins quantificateurs que la ( ε ,  δ ) -définition familiers du calcul élémentaire standard:

f est continue en x si pour tout ε  > 0, il existe a δ  > 0 tel que pour tout x' , quand | x  −  x'  | <  δ , on a | f ( x ) −  f ( x'  )| <  ε .

Continuité uniforme

Une fonction f sur un intervalle I est uniformément continue si son extension naturelle f * dans I * a la propriété suivante (voir Keisler, Foundations of Infinitesimal Calculus ('07), p. 45) :

pour chaque paire d'hyperréels x et y dans I *, si alors . ${\style d'affichage x\environ y}$${\displaystyle f^{*}(x)\approx f^{*}(y)}$

En termes de microcontinuité définie dans la section précédente, cela peut s'énoncer comme suit : une fonction réelle est uniformément continue si son extension naturelle f* est microcontinue en tout point du domaine de f*.

Cette définition a une complexité de quantification réduite par rapport à la définition standard (ε, ) . À savoir, la définition epsilon-delta de la continuité uniforme nécessite quatre quantificateurs, tandis que la définition infinitésimale ne nécessite que deux quantificateurs. Il a la même complexité de quantification que la définition de la continuité uniforme en termes de séquences en calcul standard, qui n'est cependant pas exprimable dans le langage du premier ordre des nombres réels.

La définition hyperréelle peut être illustrée par les trois exemples suivants.

Exemple 1 : une fonction f est uniformément continue sur l'intervalle semi-ouvert (0,1], si et seulement si son extension naturelle f* est microcontinue (au sens de la formule ci-dessus) à chaque infinitésimal positif, en plus de la continuité aux points standards de l'intervalle.

Exemple 2 : une fonction f est uniformément continue sur l'intervalle semi-ouvert [0,∞) si et seulement si elle est continue aux points standards de l'intervalle, et de plus, l'extension naturelle f * est microcontinue à tout infini positif point hyperréel.

Exemple 3 : de même, l'échec de la continuité uniforme pour la fonction quadrature

${\style d'affichage x^{2}}$

est due à l'absence de microcontinuité en un seul point hyperréal infini, voir ci-dessous.

Concernant la complexité des quantificateurs, les remarques suivantes ont été faites par Kevin Houston :

Le nombre de quantificateurs dans un énoncé mathématique donne une mesure approximative de la complexité de l'énoncé. Les déclarations impliquant trois quantificateurs ou plus peuvent être difficiles à comprendre. C'est la principale raison pour laquelle il est difficile de comprendre les définitions rigoureuses de la limite, de la convergence, de la continuité et de la différentiabilité en analyse car elles ont de nombreux quantificateurs. En fait, c'est l'alternance des et qui provoque la complexité.${\displaystyle \forall }$${\style d'affichage \existe }$

Andreas Blass a écrit comme suit :

Souvent ... la définition non standard d'un concept est plus simple que la définition standard (à la fois intuitivement plus simple et plus simple au sens technique, comme des quantificateurs sur des types inférieurs ou moins d'alternances de quantificateurs).

Compacité

Un ensemble A est compact si et seulement si son extension naturelle A* a la propriété suivante : tout point de A* est infiniment proche d'un point de A. Ainsi, l'intervalle ouvert (0,1) n'est pas compact car son extension naturelle contient des infinitésimaux positifs qui ne sont pas infiniment proches d'un nombre réel positif.

Théorème de Heine-Cantor

Le fait qu'une fonction continue sur un intervalle compact I soit nécessairement uniformément continue ( théorème de Heine-Cantor ) admet une démonstration hyperréelle succincte. Soient x , y des hyperréels dans l'extension naturelle I* de I . Puisque I est compact, à la fois st( x ) et st( y ) appartiennent à I . Si x et y étaient infiniment proches, alors par l'inégalité triangulaire, ils auraient la même partie standard

${\displaystyle c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).}$

Puisque la fonction est supposée continue en c,

${\displaystyle f(x)\environ f(c)\environ f(y),}$

et donc f ( x ) et f ( y ) sont infiniment proches, prouvant une continuité uniforme de f .

Pourquoi la fonction quadratique n'est-elle pas uniformément continue ?

Soit f ( x ) = x ² défini sur . Soit un hyperréel infini. Le nombre hyperréel est infiniment proche de N . Pendant ce temps, la différence ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle N\in \mathbb {R} ^{*}}$${\displaystyle N+{\tfrac {1}{N}}}$

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2 }=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}}$

n'est pas infinitésimal. Par conséquent, f* n'est pas microcontinu au point hyperréel N . Ainsi, la fonction de quadrature n'est pas uniformément continue, selon la définition en continuité uniforme ci-dessus.

Une preuve similaire peut être donnée dans le cadre standard ( Fitzpatrick 2006 , Exemple 3.15).

Exemple : fonction de Dirichlet

Considérons la fonction de Dirichlet

${\displaystyle I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{ if }}x{\text{ is rational}},\\0&{\text{ if }}x{\text { est irrationnel}}.\end{cases}}}$

Il est bien connu que, selon la définition standard de continuité , la fonction est discontinue en tout point. Vérifions cela en fonction de la définition hyperréelle de la continuité ci-dessus, par exemple montrons que la fonction de Dirichlet n'est pas continue en . Considérons l'approximation de fraction continue a _n de . Soit maintenant l'indice n un nombre hypernaturel infini . Par le principe de transfert , l' extension naturelle de la fonction de Dirichlet prend la valeur 1 en a _n . Notons que le point hyperrationnel a _n est infiniment proche de . Ainsi , le prolongement naturel de la fonction de Dirichlet prend des valeurs différentes (0 et 1) à ces deux points infiniment proches, et donc la fonction de Dirichlet est pas continue à  π .

Limite

Alors que l'idée maîtresse de l'approche de Robinson est que l'on peut se passer de l'approche utilisant des quantificateurs multiples, la notion de limite peut être facilement reprise en fonction de la fonction de partie standard st , à savoir

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

si et seulement si chaque fois que la différence x  −  a est infinitésimale, la différence f ( x ) −  L est également infinitésimale, ou dans les formules :

si st( x ) = a   alors st( f ( x )) = L,

cf. (ε, δ)-définition de la limite .

Limite de séquence

Étant donné une suite de nombres réels , si L est la limite de la suite et ${\displaystyle \{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

si pour tout hypernaturel infini n , st( x _n )= L (ici le principe d'extension est utilisé pour définir x _n pour tout hyperentier n ).

Cette définition n'a pas d' alternances de quantificateurs . La définition de style standard (ε, δ) , en revanche, comporte des alternances de quantificateur :

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon .}$

Théorème des valeurs extrêmes

Pour montrer qu'une fonction continue réelle f sur [0,1] a un maximum, soit N un hyperentier infini . L'intervalle [0, 1] a une extension hyperréelle naturelle. La fonction f est aussi naturellement étendue aux hyperréels entre 0 et 1. Considérons la partition de l'intervalle hyperréel [0,1] en N sous-intervalles de longueur infinitésimale égale 1/ N , avec des points de partition x _i  = i  / N pendant que i " s'exécute " de 0 à N . Dans le cadre standard (lorsque N est fini), un point de valeur maximale de f peut toujours être choisi parmi les N +1 points x _i , par récurrence. Par conséquent, par le principe de transfert , il existe un hyperentier i ₀ tel que 0 i ₀  ≤ N et pour tout i  = 0, …,  N (une explication alternative est que tout ensemble hyperfini admet un maximum). Considérez le vrai point ${\style d'affichage f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$

${\displaystyle c={\rm {st}}(x_{i_{0}})}$

où st est la fonction de partie standard . Un point réel arbitraire x se situe dans un sous-intervalle approprié de la partition, à savoir , de sorte que st ( x _i ) = x . En appliquant st à l'inégalité , . Par continuité de f , ${\style d'affichage x\in [x_{i},x_{i+1}]}$${\style d'affichage f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))}$

${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)}$.

D'où f ( c ) f ( x ), pour tout x , ce qui prouve que c est un maximum de la fonction réelle f . Voir Keisler (1986 , p. 164) . erreur harvtxt : pas de cible : CITEREFKeisler1986 ( aide )

Théorème des valeurs intermédiaires

Comme autre illustration de la puissance de l'approche de Robinson , une courte démonstration du théorème des valeurs intermédiaires ( théorème de Bolzano) en utilisant des infinitésimaux est faite par ce qui suit.

Soit f une fonction continue sur [ a , b ] telle que f ( a )<0 tandis que f ( b )>0. Alors il existe un point c dans [ a , b ] tel que f ( c )=0.

La preuve se déroule comme suit. Soit N un hyperentier infini . Considérons une partition de [ a , b ] en N intervalles de longueur égale, avec des points de partition x _i lorsque i s'étend de 0 à N . Considérons la collection I d'indices tels que f ( x _i )>0. Soit i ₀ le plus petit élément de I (un tel élément existe par le principe de transfert , car I est un ensemble hyperfini ). Alors le vrai nombre

est le zéro désiré de f . Une telle preuve réduit la complexité du quantificateur d'une preuve standard de l'IVT.

Théorèmes de base

Si f est une fonction à valeur réelle définie sur un intervalle [ a , b ], alors l'opérateur de transfert appliqué à f , noté *f , est une fonction interne à valeur hyperréelle définie sur l'intervalle hyperréel [* a , * b ] .

Théorème : Soit f une fonction à valeur réelle définie sur un intervalle [ a , b ]. Alors f est dérivable en a < x < b si et seulement si pour tout h infinitésimal non nul , la valeur

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f]( x)}{h}}}$

est indépendant de h . Dans ce cas, la valeur commune est la dérivée de f en x .

Ce fait découle du principe de transfert de l'analyse non standard et du débordement .

Notez qu'un résultat similaire est valable pour la différentiabilité aux extrémités a , b à condition que le signe de l'infinitésimal h soit convenablement restreint.

Pour le second théorème, l'intégrale de Riemann est définie comme la limite, si elle existe, d'une famille orientée de sommes de Riemann ; ce sont des sommes de la forme

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

où

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}= b.}$

Une telle séquence de valeurs est appelée partition ou maillage et

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

la largeur du maillage. Dans la définition de l'intégrale de Riemann, la limite des sommes de Riemann est prise lorsque la largeur du maillage tend vers 0.

Théorème : Soit f une fonction à valeur réelle définie sur un intervalle [ a , b ]. Alors f est intégrable de Riemann sur [ a , b ] si et seulement si pour tout maillage interne de largeur infinitésimale, la quantité

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k })}$

est indépendant du maillage. Dans ce cas, la valeur commune est l'intégrale de Riemann de f sur [ a , b ].

Applications

Une application immédiate est une extension des définitions standard de différenciation et d'intégration aux fonctions internes sur des intervalles de nombres hyperréels.

Une fonction interne à valeur hyperréelle f sur [ a, b ] est S -différentiable en x , à condition

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

existe et est indépendant de l'infinitésimal h . La valeur est la dérivée S en x .

Théorème : Supposons que f soit S -différentiable en tout point de [ a, b ] où b − a est un hyperréel borné. Supposons en outre que

${\displaystyle |f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.}$

Alors pour certains infinitésimal ε

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(ba)+\epsilon .}$

Pour le prouver, soit N un nombre naturel non standard. Divisez l'intervalle [ a , b ] en N sous-intervalles en plaçant N − 1 points intermédiaires équidistants :

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

Puis

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\ leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{ k}|.}$

Maintenant, le maximum de tout ensemble interne d'infinitésimaux est infinitésimal. Ainsi tous les ε _k sont dominés par un infinitésimal. Par conséquent,

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M (ba)+\epsilon (ba)}$

d'où découle le résultat.

Voir également

• Adégalité
• Critique de l'analyse non standard
• L'utilisation des infinitésimaux par Archimède
• Calcul élémentaire : une approche infinitésimale
• Analyse non classique

Remarques

Les références

• Fitzpatrick, Patrick (2006), Calcul avancé , Brooks/Cole
• H. Jerome Keisler : Calcul élémentaire : Une approche utilisant des infinitésimaux. Première édition 1976; 2e édition 1986. (Ce livre est maintenant épuisé. L'éditeur a restitué les droits d'auteur à l'auteur, qui a mis à disposition la 2e édition au format .pdf disponible pour téléchargement sur http://www.math.wisc.edu/ ~keisler/calc.html .)
• H. Jerome Keisler: Foundations of Infinitesimal Calculus, téléchargeable sur http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 jan '07)
• Blass, Andreas (1978), "Revue : Martin Davis, Analyse non standard appliquée, et KD Stroyan et WAJ Luxemburg, Introduction à la théorie des infinitésimaux, et H. Jerome Keisler, Fondements du calcul infinitésimal" , Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (1) : 34–41, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• Baron, Margaret E. : Les origines du calcul infinitésimal. Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York 1969. Dover Publications, Inc., New York, 1987. (Une nouvelle édition du livre de Baron est parue en 2004)
• "Calcul infinitésimal" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]

Liens externes

• Version en ligne de « Calcul élémentaire : une approche utilisant des infinitésimaux »
• Un texte de calcul en ligne utilisant des infinitésimaux