Modèle Oldroyd-B - Oldroyd-B model

Le modèle Oldroyd-B est un modèle constitutif utilisé pour décrire l'écoulement des fluides viscoélastiques . Ce modèle peut être considéré comme une extension du modèle Maxwell à convection supérieure et équivaut à un fluide rempli de billes élastiques et d'haltères à ressort. Le modèle porte le nom de son créateur James G. Oldroyd .

Le modèle peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle \mathbf {T} +\lambda _{1}{\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}=2\eta _{0}(\mathbf {D} +\lambda _{2 }{\stackrel {\nabla }{\mathbf {D} }})}$

où:

• ${\displaystyle \mathbf {T} }$est le tenseur des contraintes ;
• ${\displaystyle \lambda _{1}}$ est le temps de relaxation ;
• ${\displaystyle \lambda _{2}}$est le temps de retard = ;${\displaystyle {\frac {\eta _{s}}{\eta _{0}}}\lambda _{1}}$
• ${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}}$est la dérivée temporelle convective supérieure du tenseur de contraintes :

${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {T} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf { T} -((\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {T} +\mathbf {T} \cdot (\nabla \mathbf {v} ))}$;

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ est la vitesse du fluide ;
• ${\displaystyle \eta _{0}}$est la viscosité totale composée de composants solvants et polymères, ;${\displaystyle \eta _{0}=\eta _{s}+\eta _{p}}$
• ${\displaystyle \mathbf {D} }$est le tenseur du taux de déformation ou le tenseur du taux de déformation, .${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )^{T}\droit]}$

Le modèle peut également être écrit séparé en partie polymère (viscoélastique) séparément de la partie solvant :

${\displaystyle \mathbf {T} =2\eta _{s}\mathbf {D} +\mathbf {\tau } }$.

où

${\displaystyle \mathbf {\tau } +\lambda _{1}{\stackrel {\nabla }{\mathbf {\tau } }}=2\eta _{p}\mathbf {D} }$

Alors que le modèle donne de bonnes approximations des fluides viscoélastiques dans l'écoulement de cisaillement, il présente une singularité non physique dans l'écoulement extensionnel, où les haltères sont étirés à l'infini. Ceci est cependant spécifique au flux idéalisé ; dans le cas d'une géométrie à fentes croisées, le flux d'extension n'est pas idéal, de sorte que la contrainte, bien que singulière, reste intégrable, c'est-à-dire que la contrainte est infinie dans une région correspondante infiniment petite.

Si la viscosité du solvant est nulle, l'Oldroyd-B devient le modèle Maxwell à convection supérieure .

Les références