Orientabilité - Orientability

Un tore est une surface orientable

La bande de Möbius est une surface non orientable. Notez que le crabe violoniste se déplaçant autour de lui a basculé à gauche et à droite à chaque circulation complète. Cela n'arriverait pas si le crabe était sur le tore.

La surface romaine est non orientable

En mathématiques , l' orientabilité est une propriété de certains espaces topologiques tels que les espaces vectoriels réels , les espaces euclidiens , les surfaces et plus généralement les variétés qui permet une définition cohérente des termes "horaires" et "antihoraires". Un espace est orientable si une telle définition cohérente existe. Dans ce cas, il y a deux définitions possibles, et un choix entre elles est une orientation de l'espace. Les espaces vectoriels réels, les espaces euclidiens et les sphères sont orientables. Un espace n'est pas orientable si "dans le sens des aiguilles d'une montre" est changé en "dans le sens inverse des aiguilles d'une montre" après avoir parcouru quelques boucles et revenir au point de départ. Cela signifie qu'une forme géométrique , telle que , qui se déplace continuellement le long d' une telle boucle est modifiée dans sa propre image miroir . Une bande de Möbius est un exemple d'espace non orientable.

Diverses formulations équivalentes d'orientabilité peuvent être données, en fonction de l'application souhaitée et du niveau de généralité. Les formulations applicables aux variétés topologiques générales emploient souvent des méthodes de la théorie de l' homologie , alors que pour les variétés différentiables, plus de structure est présente, permettant une formulation en termes de formes différentielles . Une généralisation de la notion d'orientabilité d'un espace est celle d'orientabilité d'une famille d'espaces paramétrée par un autre espace (un faisceau de fibres ) pour lequel une orientation doit être choisie dans chacun des espaces qui varie continûment par rapport aux changements de la valeurs des paramètres.

Surfaces orientables

Dans cette animation, une simple analogie est faite en utilisant un engrenage qui tourne selon la règle de la main droite sur le vecteur normal d'une surface. L'orientation des courbes donnée par les limites est donnée par la direction dans laquelle les points se déplacent lorsqu'ils sont poussés par l'engrenage mobile. Sur une surface non orientable, comme la bande de Möbius, la frontière devrait se déplacer dans les deux sens à la fois, ce qui n'est pas possible.

Une surface S dans l' espace euclidien R ³ est orientable si une figure à deux dimensions (par exemple, ) ne peut pas être déplacée autour de la surface et revenir à son point de départ afin qu'elle ressemble à sa propre image miroir ( ). Sinon la surface est non orientable . Une surface abstraite (c'est-à-dire une variété bidimensionnelle ) est orientable si un concept cohérent de rotation dans le sens des aiguilles d'une montre peut être défini sur la surface de manière continue. C'est-à-dire qu'une boucle faisant le tour dans un sens sur la surface ne peut jamais se déformer en continu (sans se recouvrir) en une boucle faisant le tour dans le sens inverse. Cela s'avère équivalent à la question de savoir si la surface ne contient pas de sous-ensemble homéomorphe à la bande de Möbius . Ainsi, pour les surfaces, la bande de Möbius peut être considérée comme la source de toute non-orientabilité.

Pour une surface orientable, un choix cohérent de "dans le sens des aiguilles d'une montre" (par opposition au sens inverse des aiguilles d'une montre) est appelé orientation , et la surface est appelée orientée . Pour les surfaces enchâssées dans l'espace euclidien, une orientation est spécifiée par le choix d'une normale de surface n variant continuellement en chaque point. Si une telle normale existe, alors il y a toujours deux manières de la sélectionner : n ou − n . De manière plus générale, une surface admet exactement deux orientables orientations, et la distinction entre orient ed surface et une orient mesure la surface est subtile et souvent floue. Une surface orientable est une surface abstraite qui admet une orientation, tandis qu'une surface orientée est une surface qui est abstraitement orientable, et a la donnée supplémentaire d'un choix de l'une des deux orientations possibles.

Exemples

La plupart des surfaces que nous rencontrons dans le monde physique sont orientables. Les sphères , les plans et les tores sont orientables, par exemple. Mais les bandes de Möbius , véritables plans projectifs , et les bouteilles de Klein sont non orientables. Ils, tels qu'ils sont visualisés en 3 dimensions, n'ont tous qu'un seul côté. Le vrai plan projectif et la bouteille de Klein ne peuvent pas être noyés dans R ³ , seulement immergés avec de belles intersections.

Notez que localement une surface incrustée a toujours deux côtés, donc une fourmi myope rampant sur une surface unilatérale penserait qu'il y a un "autre côté". L'essence de l'unilatéralité est que la fourmi peut ramper d'un côté de la surface à "l'autre" sans traverser la surface ni basculer par-dessus un bord, mais simplement en rampant assez loin.

En général, la propriété d'être orientable n'équivaut pas à être biface ; cependant, cela est valable lorsque l'espace ambiant (tel que R ³ ci-dessus) est orientable. Par exemple, un tore noyé dans

K^{2}\times S^{1}

peut être unilatéral et une bouteille de Klein dans le même espace peut être recto-verso; fait ici référence à la bouteille de Klein. $K^{2}$

Orientation par triangulation

Toute surface a une triangulation : une décomposition en triangles telle que chaque arête d'un triangle est collée à au plus une autre arête. Chaque triangle est orienté en choisissant une direction autour du périmètre du triangle, en associant une direction à chaque arête du triangle. Si cela est fait de telle manière que, lorsqu'ils sont collés ensemble, les bords voisins pointent dans la direction opposée, cela détermine une orientation de la surface. Un tel choix n'est possible que si la surface est orientable, et dans ce cas il y a exactement deux orientations différentes.

Si la figure peut être positionnée de manière cohérente en tous les points de la surface sans se transformer en son image miroir, alors cela induira une orientation dans le sens ci-dessus sur chacun des triangles de la triangulation en sélectionnant la direction de chacun des triangles en fonction de la commander rouge-vert-bleu des couleurs de l'une des figures à l'intérieur du triangle.

Cette approche se généralise à toute variété n ayant une triangulation. Cependant, certaines variétés 4 n'ont pas de triangulation, et en général pour n > 4, certaines variétés n ont des triangulations qui sont inéquivalentes.

Orientabilité et homologie

Si H ₁ ( S ) désigne le premier groupe d' homologie d' une surface S , alors S est orientable si et seulement si H ₁ ( S ) possède un sous - groupe de torsion trivial . Plus précisément, si S est orientable alors H ₁ ( S ) est un groupe abélien libre , et sinon alors H ₁ ( S ) = F + Z /2 Z où F est abélien libre, et le facteur Z /2 Z est généré par la courbe médiane dans une bande de Möbius noyée dans S .

Orientabilité des variétés

Soit M une n - variété topologique connexe . Il existe plusieurs définitions possibles de ce que signifie pour M être orientable. Certaines de ces définitions exigent que M ait une structure supplémentaire, comme être différentiable. Parfois, $n = 0$ doit être transformé en un cas particulier. Lorsque plus d'une de ces définitions s'applique à M , alors M est orientable sous une définition si et seulement s'il est orientable sous les autres.

Orientabilité des variétés différentiables

Les définitions les plus intuitives exigent que M soit une variété différentiable. Cela signifie que les fonctions de transition dans l'atlas de M sont des fonctions C ¹ . Une telle fonction admet un déterminant jacobien . Lorsque le déterminant jacobien est positif, la fonction de transition est dite préservant l'orientation . Un atlas orienté sur M est un atlas pour lequel toutes les fonctions de transition préservent l'orientation. M est orientable s'il admet un atlas orienté. Lorsque $n > 0$ , une orientation de M est un atlas orienté maximal. (Lorsque $n = 0$ , une orientation de M est une fonction $M \to {\pm1}$ .)

L'orientabilité et les orientations peuvent également être exprimées en termes de fibré tangent. Le fibré tangent est un fibré vectoriel , c'est donc un fibré de fibre de groupe structurel $GL(n, R)$ . C'est-à-dire que les fonctions de transition de la variété induisent des fonctions de transition sur le fibré tangent qui sont des transformations linéaires fibreuses. Si le groupe structure se réduit au groupe $GL + (n, R)$ des matrices déterminantes positives, ou de manière équivalente s'il existe un atlas dont les fonctions de transition déterminent une transformation linéaire préservant l'orientation sur chaque espace tangent, alors la variété M est orientable. Inversement, M est orientable si et seulement si le groupe de structures du fibré tangent peut être ainsi réduit. Des observations similaires peuvent être faites pour le faisceau de trames.

Une autre façon de définir des orientations sur une variété différentiable est à travers les formes de volume . Une forme de volume est une section de fuite nulle part ω de $⋀ n T * M$ , la puissance de l' extérieur de la partie supérieure du faisceau de cotangente de M . Par exemple, R ⁿ a une forme de volume standard donnée par $dx 1 \dots \land dx n$ . Compte tenu de la forme de volume de M , la collection de tous les arbres $U \to R n$ pour laquelle la forme de volume standard tire vers l' arrière à un multiple positif de ω est un atlas orientés. L'existence d'une forme volumique équivaut donc à l'orientabilité de la variété.

Les formes de volume et les vecteurs tangents peuvent être combinés pour donner encore une autre description de l'orientabilité. Si $X 1, \dots, X n$ est une base de vecteurs tangents en un point p , alors la base est dite droite si $ω(X 1, \dots, X n) > 0$ . Une fonction de transition préserve l'orientation si et seulement si elle envoie des bases droites vers des bases droites. L'existence d'une forme volumique implique une réduction du groupe structure du fibré tangent ou du fibré cadre à $GL + (n, R)$ . Comme précédemment, cela implique l'orientabilité de M . Inversement, si M est orientable, alors les formes de volume locales peuvent être assemblées pour créer une forme de volume globale, l'orientabilité étant nécessaire pour s'assurer que la forme globale ne disparaît nulle part.

Homologie et orientabilité des variétés générales

Au cœur de toutes les définitions ci-dessus de l'orientabilité d'une variété différentiable se trouve la notion d'une fonction de transition préservant l'orientation. Cela soulève la question de savoir ce que ces fonctions de transition préservent exactement. Ils ne peuvent pas conserver une orientation de la variété parce qu'une orientation de la variété est un atlas, et cela n'a aucun sens de dire qu'une fonction de transition préserve ou ne préserve pas un atlas dont elle est membre.

Cette question peut être résolue en définissant des orientations locales. Sur une variété unidimensionnelle, une orientation locale autour d'un point p correspond à un choix de gauche et de droite près de ce point. Sur une variété à deux dimensions, cela correspond à un choix de sens horaire et anti-horaire. Ces deux situations ont en commun d'être décrites en termes de comportement de dimension supérieure près de p mais pas en p . Pour le cas général, soit M une n- variété topologique . Une orientation locale de M autour d'un point p est un choix de générateur du groupe

H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right).

Pour voir la signification géométrique de ce groupe, choisissez un graphique autour de p . Dans ce graphique, il y a un voisinage de p qui est une boule ouverte B autour de l'origine O . Par le théorème d'excision , est isomorphe à . La boule B est contractile, donc ses groupes d'homologie s'annulent sauf au degré zéro, et l'espace $B$ $\$ $O$ est une $($ $n$ $- 1)$ -sphère, donc ses groupes d'homologie s'annulent sauf aux degrés $n$ $- 1$ et $0$ . Un calcul avec la longue séquence exacte en homologie relative montre que le groupe d'homologie ci-dessus est isomorphe à . Un choix de générateur correspond donc à une décision de savoir si, dans le thème donné, une sphère autour de p est positive ou négative. Une réflexion de $R$ $n à$ travers l'origine agit par négation sur , donc la signification géométrique du choix du générateur est qu'il distingue les cartes de leurs réflexions. $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$ $H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbf {Z} \right)$ $H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)\cong \mathbf {Z}$ $H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)$

Sur une variété topologique, une fonction de transition est conservatrice d'orientation si, en chaque point p de son domaine, elle fixe les générateurs de . À partir de là, les définitions pertinentes sont les mêmes que dans le cas différentiable. Un atlas orienté est celui pour lequel toutes les fonctions de transition préservent l'orientation, M est orientable s'il admet un atlas orienté, et lorsque $n$ $> 0$ , une orientation de M est un atlas orienté maximal. $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$

Intuitivement, une orientation de M devrait définir une unique orientation locale de M en chaque point. Ceci est précisé en notant que n'importe quel graphique de l'atlas orienté autour de p peut être utilisé pour déterminer une sphère autour de p , et cette sphère détermine un générateur de . De plus, tout autre thème autour de p est lié au premier thème par une fonction de transition préservant l'orientation, ce qui implique que les deux thèmes donnent le même générateur, d'où le générateur est unique. $H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$

Des définitions purement homologiques sont également possibles. En supposant que M soit fermé et connexe, M est orientable si et seulement si le n ième groupe d'homologie est isomorphe aux entiers Z . Une orientation de M est un choix de générateur $α$ de ce groupe. Ce générateur détermine un atlas orienté par la fixation d' un générateur du groupe cyclique infini et en prenant les arbres orientés pour être celles pour lesquelles les $a$ fait avancer à la génératrice fixe. A l'inverse, un atlas orienté détermine un tel générateur car des orientations locales compatibles peuvent être collées ensemble pour donner un générateur pour le groupe d'homologie . $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$ $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$ $H_{n}(M;\mathbf {Z} )$

Orientation et cohomologie

Une variété M est orientable si et seulement si la première classe de Stiefel-Whitney est nulle. En particulier, si le premier groupe de cohomologie à coefficients Z /2 est nul, alors la variété est orientable. De plus si M est orientable et w ₁ s'annule, alors paramétre les choix d'orientations. Cette caractérisation de l'orientabilité s'étend à l' orientabilité des fibrés vectoriels généraux sur M , pas seulement le fibré tangent. $w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbf {Z} /2)$ $H^{0}(M;\mathbf {Z} /2)$

La double couverture d'orientation

Autour de chaque point de M il y a deux orientations locales. Intuitivement, il existe un moyen pour passer d'une orientation locale en un point $p$ à une orientation locale en un point situé à proximité de $p'$ : lorsque les deux points sont situés dans la même coordonnée graphique $U \to R n$ , qui coordonnent graphique définit des orientations locales compatibles à $p$ et $p'$ . On peut donc donner à l'ensemble des orientations locales une topologie, et cette topologie en fait une variété.

Plus précisément, soit O l'ensemble de toutes les orientations locales de M . Pour topologiser O, nous allons spécifier une sous-base pour sa topologie. Soit U un ouvert de M choisi tel qu'il soit isomorphe à Z . Supposons que soit un générateur de ce groupe. Pour chaque p dans U , il existe une fonction pushforward . Le codomaine de ce groupe a deux générateurs, et α correspond à l'un d'eux. La topologie sur O est définie de telle sorte que $H_{n}(M,M\setmoins U;\mathbf {Z} )$ $H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)$

\{{\text{Image de }}\alpha {\text{ in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)\colon p\dans U\}

est ouvert.

Il existe une application canonique $: O \to M$ qui envoie une orientation locale en p vers p . Il est clair que tous les points de M a précisément deux préimages sous $π$ . En fait, $π$ est même un homéomorphisme local, car les préimages des ouverts U mentionnés ci-dessus sont homéomorphes à l'union disjointe de deux exemplaires de U . Si M est orientable, alors M lui-même est l'un de ces ouverts, donc O est l'union disjointe de deux copies de M . Si M est non orientable, alors O est connexe et orientable. Le collecteur O est appelé le double couvercle d'orientation .

Collecteurs avec limite

Si M est une variété avec bord, alors une orientation de M est définie comme étant une orientation de son intérieur. Une telle orientation induit une orientation de M . En effet, supposons qu'une orientation de M soit fixe. Soit $U \to R n +$ une carte en un point frontière de M qui, lorsqu'il est restreint à l'intérieur de M , est dans l'atlas orienté choisi. La restriction de cette carte à ∂ M est une carte de ∂ M . De telles cartes forment un atlas orienté pour ∂ M .

Lorsque M est lisse, à chaque point p de ∂ M , la restriction du faisceau tangent de M à ∂ M est isomorphe à $T p \partial M \oplus R$ , où le facteur de R est décrite par le vecteur normal pointant vers l' intérieur. L'orientation de T _p ∂ M est défini par la condition que la base de T _p ∂ M est orienté positivement si et seulement si elle, lorsqu'il est combiné avec le vecteur normal pointant vers l' intérieur, définit une base orientée de façon positive de T _p M .

Double couverture orientable

Lire les médias

Animation de la double couverture orientable du ruban de Möbius .

Une notion étroitement liée utilise l'idée de couvrir l'espace . Pour un collecteur connecté M prendre M ^* , l'ensemble des couples ( x , o) , où x est un point de M et o est une orientation à x ; ici, nous supposons que M est soit lisse, nous pouvons donc choisir une orientation sur l'espace tangent en un point ou nous utilisons une homologie singulière pour définir l'orientation. Ensuite, pour chaque sous-ensemble ouvert et orienté de M, nous considérons l'ensemble de paires correspondant et définissons cela comme un ensemble ouvert de M ^∗ . Cela donne à M ^∗ une topologie et la projection envoyant ( x , o) vers x est alors une carte de recouvrement 2-en-1. Cet espace de couverture est appelé la double couverture orientable , car il est orientable. M ^* est connecté si et seulement si M est non orientable.

Une autre façon de construire cette couverture consiste à diviser les boucles basées sur un point de base en boucles préservant l'orientation ou inversant l'orientation. Les boucles préservant l'orientation génèrent un sous-groupe du groupe fondamental qui est soit le groupe entier soit d' indice deux. Dans ce dernier cas (ce qui signifie qu'il existe un chemin d'inversion d'orientation), le sous-groupe correspond à un double revêtement connecté ; cette couverture est orientable par construction. Dans le premier cas, on peut simplement prendre deux copies de M , dont chacune correspond à une orientation différente.

Orientation des faisceaux de vecteurs

Un fibré de vecteurs réel , qui a a priori un groupe de structure GL(n) , est dit orientable lorsque le groupe de structure peut être réduit à , le groupe de matrices à déterminant positif . Pour le fibré tangent , cette réduction est toujours possible si la variété de base sous - jacente est orientable et en fait cela fournit un moyen pratique de définir l' orientabilité d' une variété réelle lisse : une variété lisse est définie comme orientable si son fibré tangent est orientable ( comme un faisceau vectoriel). Notez qu'en tant que variété à part entière, le fibré tangent est toujours orientable, même sur des variétés non orientables. $GL^{+}(n)$

Concepts associés

Géométrie lorentzienne

En géométrie lorentzienne , il existe deux types d'orientabilité : l'orientabilité spatiale et l' orientabilité temporelle . Ceux-ci jouent un rôle dans la structure causale de l'espace-temps. Dans le contexte de la relativité générale , une variété d' espace - temps est orientable dans l'espace si, chaque fois que deux observateurs droitiers partent dans des fusées en partant du même point de l'espace-temps, puis se retrouvent à un autre point, ils restent droitiers par rapport à un un autre. Si un espace-temps est orientable dans le temps, alors les deux observateurs seront toujours d'accord sur la direction du temps aux deux points de leur rencontre. En fait, un espace-temps est orientable dans le temps si et seulement si deux observateurs peuvent se mettre d'accord sur laquelle des deux réunions a précédé l'autre.

Formellement, le groupe pseudo-orthogonal O( p , q ) possède un couple de caractères : le caractère d'orientation spatiale σ ₊ et le caractère d'orientation temporelle σ ₋ ,

\sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.

Leur produit σ = σ ₊ σ ₋ est le déterminant, ce qui donne le caractère d'orientation. Une orientation spatiale d'une variété pseudo-riemannienne est identifiée avec une section du fibré associé

\operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}

où O( M ) est le faisceau de cadres pseudo-orthogonaux. De même, une orientation temporelle est une section du faisceau associé

\operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.

Voir également

Les références

^ Munroe, Marshall Evans (1963). Calcul multidimensionnel moderne . Pub Addison-Wesley. Flic. 263.
^ Spivak, Michael (1965). Calcul sur les collecteurs . HarperCollins . ISBN 978-0-8053-9021-6.
^ Hatcher, Allen (2001). Topologie algébrique . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 978-0521795401.
^ Hatcher, Allen (2001). Topologie algébrique . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 978-0521795401., Théorème 3.26(a) à la p. 236
^ Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Géométrie de rotation . Presse de l'Université de Princeton . ISBN 0-691-08542-0., Théorème 1.2 à la p. 79
^ SW Hawking , GFR Ellis (1973). La structure à grande échelle de l'espace-temps . Cambridge : Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.
^ Mark J. Hadley (2002) L'orientabilité de l'espace-temps , gravité classique et quantique 19 : 4565-4571 arXiv:gr-qc/0202031v4

Liens externes

Orientation des collecteurs dans l'Atlas des collecteurs.
Couverture d'orientation au Manifold Atlas.
Orientation des variétés dans les théories de la cohomologie généralisée à l'Atlas des variétés .
L'article de l'Encyclopédie des mathématiques sur l' orientation .

[1] Munroe, Marshall Evans (1963). Calcul multidimensionnel moderne . Pub Addison-Wesley. Flic. 263.

[2] Spivak, Michael (1965). Calcul sur les collecteurs . HarperCollins . ISBN 978-0-8053-9021-6.

[3] Hatcher, Allen (2001). Topologie algébrique . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 978-0521795401.

[4] Hatcher, Allen (2001). Topologie algébrique . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 978-0521795401., Théorème 3.26(a) à la p. 236

[5] Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Géométrie de rotation . Presse de l'Université de Princeton . ISBN 0-691-08542-0., Théorème 1.2 à la p. 79

[6] SW Hawking , GFR Ellis (1973). La structure à grande échelle de l'espace-temps . Cambridge : Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.

[7] Mark J. Hadley (2002) L'orientabilité de l'espace-temps , gravité classique et quantique 19 : 4565-4571 arXiv:gr-qc/0202031v4

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