Système de coordonnées périfocales - Perifocal coordinate system

Le périfocales de coordonnées ( PAW ) le système est un cadre de référence pour une orbite . La trame est centrée au foyer de l'orbite, c'est-à-dire le corps céleste autour duquel l'orbite est centrée. Les vecteurs unitaires et se situent dans le plan de l'orbite. est dirigé vers la périastre de l'orbite et présente une véritable anomalie ( ) de 90 degrés après la périastre. Le troisième vecteur unitaire est le vecteur de moment angulaire et est dirigé orthogonal au plan orbital de telle sorte que: ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = \ mathbf {\ hat {p}} \ times \ mathbf {\ hat {q}}}$

Et, puisque c'est le vecteur de moment cinétique, il peut également être exprimé comme: ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = {\ frac {\ mathbf {h}} {\ | \ mathbf {h} \ |}}}$

où h est le moment angulaire relatif spécifique.

Les vecteurs de position et de vitesse peuvent être déterminés pour n'importe quel emplacement de l'orbite. Le vecteur de position, r , peut être exprimé comme suit:

${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ | r \ | \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + \ | r \ | \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {q}}}$

où est la vraie anomalie et le rayon r peut être calculé à partir de l' équation d'orbite . ${\ displaystyle \ theta}$

Le vecteur vitesse, v , est trouvé en prenant la dérivée temporelle du vecteur position:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ dot {r}} = ({\ dot {r}} \ cos \ theta -r {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta) \ mathbf {\ hat {p}} + ({\ dot {r}} \ sin \ theta + r {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q}}}$

Une dérivation de l'équation d'orbite peut être faite pour montrer que:

${\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ mu} {h}} e \ sin \ theta}$

où est le paramètre gravitationnel du foyer, h est le moment angulaire relatif spécifique du corps orbital, e est l' excentricité de l'orbite et est la véritable anomalie. est la composante radiale du vecteur vitesse (pointant vers l'intérieur vers le foyer) et est la composante tangentielle du vecteur vitesse. En substituant les équations pour et dans l'équation du vecteur de vitesse et en simplifiant, la forme finale de l'équation du vecteur de vitesse est obtenue comme suit: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ dot {r}}}$${\ displaystyle r {\ dot {\ theta}}}$${\ displaystyle {\ dot {r}}}$${\ displaystyle r {\ dot {\ theta}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mu} {h}} [- \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + (e + \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q }}]}$

Transformation à partir du système de coordonnées équatoriales

Le système de coordonnées périfocales peut également être défini en utilisant les paramètres orbitaux inclinaison ( i ), ascension droite du nœud ascendant ( ) et l' argument de périapsis ( ). Les équations suivantes transforment une orbite du système de coordonnées équatoriales au système de coordonnées périfocal. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} p_ {i} & = \ cos \ Omega \ cos \ omega - \ sin \ Omega \ cos i \ sin \ omega \\ p_ {j} & = \ sin \ Omega \ cos \ omega + \ cos \ Omega \ cos i \ sin \ omega \\ p_ {k} & = \ sin i \ sin \ omega \\ [8pt] q_ {i} & = - \ cos \ Omega \ sin \ omega - \ sin \ Omega \ cos i \ cos \ omega \\ q_ {j} & = - \ sin \ Omega \ sin \ omega + \ cos \ Omega \ cos i \ cos \ omega \\ q_ {k} & = \ sin i \ cos \ omega \\ [8pt] w_ {i} & = \ sin i \ sin \ Omega \\ w_ {j} & = - \ sin i \ cos \ Omega \\ w_ {k} & = \ cos i \ fin {aligné}}}$

où

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {\ hat {p}} & = p_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + p_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + p_ { k} \ mathbf {\ hat {K}} \\\ mathbf {\ hat {q}} & = q_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + q_ {j} \ mathbf {\ hat {J} } + q_ {k} \ mathbf {\ hat {K}} \\\ mathbf {\ hat {w}} & = w_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + w_ {j} \ mathbf {\ chapeau {J}} + w_ {k} \ mathbf {\ hat {K}} \ end {aligné}}}$

et , et sont les vecteurs unitaires du système de coordonnées équatoriales. ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {I}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {J}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {K}}}$

Applications

Les cadres de référence périfocaux sont le plus couramment utilisés avec les orbites elliptiques pour la raison que la coordonnée doit être alignée avec le vecteur d'excentricité . Les orbites circulaires , n'ayant aucune excentricité, ne donnent aucun moyen pour orienter le système de coordonnées autour du foyer. ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$

Le système de coordonnées périfocales peut également être utilisé comme référentiel inertiel car les axes ne tournent pas par rapport aux étoiles fixes. Cela permet de calculer l'inertie de tout corps orbital dans ce cadre de référence. Ceci est utile lorsque vous essayez de résoudre des problèmes comme le problème à deux corps .

Les références