Quadrique - Quadric

En mathématiques, une quadrique ou une surface quadrique ( hypersurface quadrique en dimensions supérieures ), est une généralisation des sections coniques ( ellipses , paraboles et hyperboles ). C'est une hypersurface (de dimension D ) dans un espace ( D + 1) -dimensionnel, et elle est définie comme l' ensemble zéro d'un polynôme irréductible de degré deux en D + 1 variables ( D = 1 dans le cas des sections coniques ). Lorsque le polynôme de définition n'est pas absolument irréductible , l'ensemble zéro n'est généralement pas considéré comme une quadrique, bien qu'on l'appelle souvent une quadrique dégénérée ou une quadrique réductible .

En coordonnées x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} , la quadrique générale est donc définie par l' équation algébrique

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{D+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{D+1}P_{i} x_{i}+R=0}$

qui peut s'écrire de manière compacte en notation vectorielle et matricielle sous la forme :

${\displaystyle xQx^{\mathrm {T} }+Px^{\mathrm {T} }+R=0\,}$

où x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} ) est un vecteur ligne , x ^T est la transposée de x (un vecteur colonne), Q est un ( D + 1) × ( D + 1 ) matrice et P est un ( D + 1) du vecteur ligne de dimension et R une constante scalaire de. Les valeurs Q , P et R sont souvent considérées comme étant sur des nombres réels ou des nombres complexes , mais une quadrique peut être définie sur n'importe quel champ .

Une quadrique est une variété algébrique affine , ou, si elle est réductible, un ensemble algébrique affine . Des quadriques peuvent aussi être définies dans des espaces projectifs ; voir § Géométrie projective , ci-dessous.

plan euclidien

Comme la dimension d'un plan euclidien est deux, les quadriques dans un plan euclidien ont une dimension un et sont donc des courbes planes . Ils sont appelés sections coniques , ou coniques .

Espace euclidien

Dans l' espace euclidien tridimensionnel , les quadriques ont la dimension D  = 2 et sont appelées surfaces quadriques . Ils sont classés et nommés par leurs orbites sous transformations affines . Plus précisément, si une transformation affine mappe une quadrique sur une autre, elles appartiennent à la même classe, et partagent le même nom et de nombreuses propriétés.

Le théorème de l'axe principal montre que pour toute quadrique (éventuellement réductible), une transformation euclidienne appropriée ou un changement de coordonnées cartésiennes permet de mettre l' équation quadratique de la quadrique sous l'une des formes normales suivantes :

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{1}{z^{2} \over c^{ 2}}+\varepsilon _{2}=0,}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{3}=0}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{4}=0,}$

${\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{5}{y^{2} \over b^{2}},}$

où sont soit 1, –1 ou 0, sauf qui ne prend que la valeur 0 ou 1. ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{3}}$

Chacune de ces 17 formes normales correspond à une seule orbite sous transformations affines. Dans trois cas il n'y a pas de points réels : ( ellipsoïde imaginaire ), ( cylindre elliptique imaginaire ), et (paire de plans parallèles conjugués complexes , une quadrique réductible). Dans un cas, le cône imaginaire , il y a un seul point ( ). Si on a une droite (en fait deux plans complexes conjugués sécants). Car on a deux plans sécants (quarique réductible). Car on a un double plan. Car on a deux plans parallèles (quarique réductible). ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=1}$${\displaystyle \varepsilon _{1}=0,\varepsilon _{2}=1}$${\displaystyle \varepsilon _{4}=1}$${\displaystyle \varepsilon _{1}=1,\varepsilon _{2}=0}$${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=0,}$${\displaystyle \varepsilon _{3}=0,}$${\displaystyle \varepsilon _{4}=0,}$${\displaystyle \varepsilon _{4}=-1,}$

Ainsi, parmi les 17 formes normales, il existe neuf vraies quadriques : un cône, trois cylindres (souvent appelés quadriques dégénérées) et cinq quadriques non dégénérées ( ellipsoïde , paraboloïdes et hyperboloïdes ), qui sont détaillés dans les tableaux suivants. Les huit quadriques restantes sont l'ellipsoïde imaginaire (pas de point réel), le cylindre imaginaire (pas de point réel), le cône imaginaire (un seul point réel) et les quadriques réductibles, qui se décomposent en deux plans ; il existe cinq de ces quadriques décomposées, selon que les plans sont distincts ou non, parallèles ou non, réels ou complexes conjugués.

Surfaces quadriques réelles non dégénérées
Ellipsoïde	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\ ,}$
Paraboloïde elliptique	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Paraboloïde hyperbolique	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Hyperboloïde d'une feuille       ou    hyperboloïde hyperbolique	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\ ,}$
Hyperboloïde de deux feuilles       ou    hyperboloïde elliptique	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1 \,}$

Surfaces quadriques réelles dégénérées
Cône elliptique       ou    quadrique conique	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\ ,}$
Cylindre elliptique	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Cylindre hyperbolique	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Cylindre parabolique	${\style d'affichage x^{2}+2ay=0\,}$

Lorsque deux ou plusieurs des paramètres de l'équation canonique sont égaux, on obtient une quadrique de révolution , qui reste invariante lorsqu'elle est tournée autour d'un axe (ou d'une infinité d'axes, dans le cas de la sphère).

Quadriques de révolution
Aplatis et aplaties sphéroïdes (cas particuliers de ellipsoïde)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\ ,}$
Sphère (cas particulier du sphéroïde)	${\displaystyle {x^{2} \sur un^{2}}+{y^{2} \sur un^{2}}+{z^{2} \sur un^{2}}=1\ ,}$
Paraboloïde circulaire (cas particulier du paraboloïde elliptique)	${\displaystyle {x^{2} \sur un^{2}}+{y^{2} \sur un^{2}}-z=0\,}$
Hyperboloïde de révolution d'une feuille (cas particulier de l'hyperboloïde d'une feuille)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=1\ ,}$
Hyperboloïde de révolution de deux nappes (cas particulier de l'hyperboloïde de deux nappes)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=-1 \,}$
Cône circulaire (cas particulier du cône elliptique)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0\ ,}$
Cylindre circulaire (cas particulier du cylindre elliptique)	${\displaystyle {x^{2} \sur un^{2}}+{y^{2} \sur un^{2}}=1\,}$

Définition et propriétés de base

Une quadrique affine est l'ensemble des zéros d'un polynôme de degré deux. Sauf indication contraire, le polynôme est supposé avoir des coefficients réels et les zéros sont des points dans un espace euclidien . Cependant, la plupart des propriétés restent vraies lorsque les coefficients appartiennent à n'importe quel champ et que les points appartiennent à un espace affine . Comme d'habitude en géométrie algébrique , il est souvent utile de considérer des points sur un corps algébriquement clos contenant les coefficients polynomiaux, généralement les nombres complexes , lorsque les coefficients sont réels.

De nombreuses propriétés deviennent plus faciles à énoncer (et à prouver) en étendant la quadrique à l' espace projectif par complétion projective , consistant à ajouter des points à l'infini . Techniquement, si

${\style d'affichage p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

est un polynôme de degré deux qui définit une quadrique affine, alors sa complétion projective est définie en homogénéisant p en

${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})=X_{0}^{2}\,p\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}}, \ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}$

(c'est un polynôme, car le degré de p est deux). Les points de la complétion projective sont les points de l'espace projectif dont les coordonnées projectives sont des zéros de P .

Ainsi, une quadrique projective est l'ensemble des zéros dans un espace projectif d'un polynôme homogène de degré deux.

Comme le processus d'homogénéisation ci-dessus peut être inversé en définissant X ₀ = 1 :

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

il est souvent utile de ne pas distinguer une quadrique affine de sa complétion projective, et de parler d' équation affine ou d' équation projective d'une quadrique. Cependant, ce n'est pas une équivalence parfaite; c'est généralement le cas qui comprendra des points avec , qui ne sont pas aussi des solutions de car ces points dans l'espace projectif correspondent à des points "à l'infini" dans l'espace affine. ${\style d'affichage P(\mathbf {X} )=0}$${\style d'affichage X_{0}=0}$${\style d'affichage p(\mathbf {x} )=0}$

Équation

Une quadrique dans un espace affine de dimension n est l'ensemble des zéros d'un polynôme de degré 2. C'est-à-dire l'ensemble des points dont les coordonnées satisfont une équation

${\style d'affichage p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

où le polynôme p a la forme

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_ {i}x_{j}+\somme _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

pour une matrice avec et allant de 0 à . Lorsque la caractéristique du champ des coefficients n'est pas deux, on suppose généralement ; de manière équivalente . Lorsque la caractéristique du champ des coefficients est de deux, on suppose généralement quand ; de manière équivalente est triangulaire supérieur . ${\style d'affichage A=(a_{i,j})}$${\style d'affichage i}$${\style d'affichage j}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage a_{i,j}=a_{j,i}}$${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$${\style d'affichage a_{i,j}=0}$${\style d'affichage j<i}$${\style d'affichage A}$

L'équation peut être raccourcie, car l'équation matricielle

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

avec

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

L'équation de la complétion projective est presque identique :

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

avec

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

Ces équations définissent une quadrique comme une hypersurface algébrique de dimension n – 1 et de degré deux dans un espace de dimension n .

La quadrique est dite non dégénérée si la matrice est inversible . ${\style d'affichage A}$

Forme normale des quadriques projectives

Dans l'espace projectif réel , par la loi d'inertie de Sylvester , une forme quadratique non singulière P ( X ) peut être mise sous la forme normale

${\displaystyle P(X)=\pm X_{0}^{2}\pm X_{1}^{2}\pm \cdots \pm X_{D+1}^{2}}$

au moyen d'une transformation projective appropriée (les formes normales pour les quadriques singulières peuvent avoir des zéros ainsi que ±1 comme coefficients). Pour les surfaces bidimensionnelles (dimension D  = 2) dans l'espace tridimensionnel, il existe exactement trois cas non dégénérés :

${\displaystyle P(X)={\begin{cases}X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\ \X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1 }^{2}-X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\end{cases}}}$

Le premier cas est l'ensemble vide.

Le second cas génère l'ellipsoïde, le paraboloïde elliptique ou l'hyperboloïde de deux nappes, selon que le plan choisi à l'infini coupe respectivement la quadrique en l'ensemble vide, en un point ou en une conique non dégénérée. Ceux-ci ont tous une courbure de Gauss positive .

Le troisième cas génère le paraboloïde hyperbolique ou l'hyperboloïde d'une feuille, selon que le plan à l'infini la coupe en deux lignes, ou en une conique non dégénérée respectivement. Ce sont des surfaces doublement réglées de courbure gaussienne négative.

La forme dégénérée

${\displaystyle X_{0}^{2}-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}=0.\,}$

génère le cylindre elliptique, le cylindre parabolique, le cylindre hyperbolique ou le cône, selon que le plan à l'infini le coupe respectivement en un point, une droite, deux droites ou une conique non dégénérée. Ce sont des surfaces réglées individuellement de courbure de Gauss nulle.

On voit que les transformations projectives ne mélangent pas des courbures gaussiennes de signe différent. Ceci est vrai pour les surfaces générales.

Dans l'espace projectif complexe, toutes les quadriques non dégénérées deviennent indiscernables les unes des autres.

Solutions entières et rationnelles

Chaque solution de avec un vecteur ayant des composantes rationnelles donne un vecteur avec des composantes entières qui satisfait ; défini où le facteur de multiplication est le plus petit entier positif qui efface tous les dénominateurs des composants de . ${\style d'affichage p(\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {X} \neq \mathbf {0} }$${\style d'affichage P(\mathbf {X} )=0}$${\displaystyle \mathbf {X} =k(1,\mathbf {x} )}$${\style d'affichage k}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

De plus, lorsque la matrice sous-jacente est inversible, n'importe quelle solution pour pour avec des composants rationnels peut être utilisée pour trouver n'importe quelle autre solution avec des composants rationnels, comme suit. Soit pour certaines valeurs de et , à la fois avec des composants entiers, et value . En écrivant pour une matrice symétrique non singulière avec des composants entiers, nous avons que ${\displaystyle p(\mathbf {y} )=0}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {Y} +\lambda \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Y} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {Z} \neq \mathbf {0} }$${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle P(\mathbf {X} )=\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} }$${\style d'affichage A}$

${\displaystyle P(\mathbf {X} )=\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Y} +2\lambda \mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\ mathbf {Z} +\lambda ^{2}\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} \,.}$

Lorsque

${\displaystyle {\begin{aligné}\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Y} &=0,\\\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} &\neq 0,\\\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} &\neq 0\end{aligned}}}$

alors les deux solutions de , lorsqu'elles sont vues comme une équation quadratique dans , seront , où cette dernière est non nulle et rationnelle. En particulier, si est une solution de et est la solution non nulle correspondante de alors tout pour lequel (1) n'est pas orthogonal à et (2) satisfait ces trois conditions et donne une valeur rationnelle non nulle pour . ${\style d'affichage P(\mathbf {X} )=0}$${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle \lambda =0,-(2\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} )/(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf { Z} )}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle p(\mathbf {y} )=0}$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle P(\mathbf {Y} )=0}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle A\mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} \neq 0}$${\style d'affichage \lambda }$

En bref, si l'on connaît une solution avec des composants rationnels alors on peut trouver de nombreuses solutions entières où dépend du choix de . De plus, le processus est réversible ! Si à la fois satisfait et satisfait, le choix de produira nécessairement . Avec cette approche, on peut générer tous les triplets de Pythagore ou les triangles héroniens . ${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {W} _{\mathbf {Z} }=(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} )\mathbf {Y} -(2\mathbf {Y } ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} )\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} _{\mathbf {Z} }}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle p(\mathbf {y} )=0}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle p(\mathbf {w} )=0}$${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {W} -\mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {W} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {W} }$

Quadriques projectives sur les champs

La définition d'une quadrique projective dans un espace projectif réel (voir ci-dessus) peut être formellement adoptée en définissant une quadrique projective dans un espace projectif à n dimensions sur un champ . Afin d'omettre de traiter les coordonnées, une quadrique projective est généralement définie en commençant par une forme quadratique sur un espace vectoriel

Forme quadratique

Soit un champ et un espace vectoriel sur . Un mappage de à tel que ${\style d'affichage K}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage K}$

(Q1) pour tout et .${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$${\displaystyle \lambda \in K}$${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$

(Q2) est une forme bilinéaire .${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec { x}})-q({\vec {y}})\;}$

est appelée forme quadratique . La forme bilinéaire est symétrique .${\style d'affichage f}$

Dans le cas de la forme bilinéaire est , c'est -à- dire et sont mutuellement déterminés d'une manière unique. Dans le cas de (cela signifie : ) la forme bilinéaire a la propriété , c'est -à- dire qu'elle est symplectique . ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage q}$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$${\style d'affichage 1+1=0}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$${\style d'affichage f}$

Car et ( est une base de ) a la forme familière ${\displaystyle V=K^{n}\ }$${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage \ q}$

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ pour }}\ i\neq k\ {\text{ et }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$ et

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k} +x_{k}y_{i})}$.

Par example:

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}}, {\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

espace projectif n- dimensionnel sur un champ

Soit un champ, , ${\style d'affichage K}$${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$

${\style d'affichage V_{n+1}}$ un ( n + 1) - espace vectoriel dimensionnel sur le champ${\style d'affichage K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$le sous${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$ - espace à 1 dimension généré par ,

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$l' ensemble des points ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{sous-espaces à 2 dimensions de }}V_{n+1}\},\ }$l' ensemble des lignes .

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$est l' espace projectif de dimension n sur .${\style d'affichage K}$

L'ensemble des points contenus dans un sous-espace dimensionnel de est un sous-espace dimensionnel de . Un sous-espace à 2 dimensions est un plan .${\style d'affichage (k+1)}$${\style d'affichage V_{n+1}}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage P_{n}(K)}$

Dans le cas d' un sous-espace de dimension est appelé hyperplan .${\style d'affichage \;n>3\;}$${\style d'affichage (n-1)}$

quadrique projective

Pour une forme quadratique sur un espace vectoriel, un point est appelé singulier si . L'ensemble ${\style d'affichage q}$${\style d'affichage V_{n+1}}$${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}}$

de points singuliers de s'appelle quadrique (par rapport à la forme quadratique ). ${\style d'affichage q}$${\style d'affichage q}$

Exemples en . : ${\style d'affichage P_{2}(K)}$
(E1) : Car on obtient une conique . (E2) : Car on obtient la paire de droites avec les équations et , respectivement. Ils se coupent en un point ; ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$${\style d'affichage x_{1}=0}$${\style d'affichage x_{2}=0}$${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$

Pour les considérations ci-dessous, on suppose que . ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$

Espace polaire

Pour pointer l'ensemble ${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x }})=0\}}$

est appelé espace polaire de (par rapport à ). ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage q}$

Si pour tout , on obtient . ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$

Si pour au moins un , l'équation est une équation linéaire non triviale qui définit un hyperplan. D'où ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$

${\displaystyle P^{\perp }}$est soit un hyperplan, soit .${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Intersection avec une ligne

Pour l'intersection d'une ligne avec une quadrique, la déclaration familière est vraie : ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Pour une ligne arbitraire, les cas suivants se produisent :${\style d'affichage g}$

a) et est appelée ligne extérieure ou${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$${\style d'affichage g}$

b) et est appelée ligne tangente ou${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$${\style d'affichage g}$

b′) et est appelée ligne tangente ou${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$${\style d'affichage g}$

c) et est appelée ligne sécante .${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$${\style d'affichage g}$

Preuve : Soit une droite, qui coupe en un point et est un deuxième point sur . De on obtient I) Dans le cas où l'équation est vraie et c'est pour tout . Donc soit pour tout soit pour tout , ce qui prouve b) et b'). II) Dans le cas où l' on obtient et que l'équation a exactement une solution . D'où : , ce qui prouve c). ${\style d'affichage g}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$${\style d'affichage g}$${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$
${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{ \vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$
${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$
${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec { v}})=0\;}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

De plus, la preuve montre :

Une ligne passant par un point est une ligne tangente si et seulement si .${\style d'affichage g}$${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle g\subset P^{\perp }}$

f -radical, q -radical

Dans les cas classiques ou il n'existe qu'un seul radical, à cause de et et sont étroitement liés. Dans le cas où la quadrique n'est pas déterminée par (voir ci-dessus) et donc on doit faire face à deux radicaux : ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\style d'affichage f}$

a) est un sous-espace projectif. est appelé f -radical de quadrique .${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\mid P^{\perp }={\mathcal {P}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

b) est appelé radical singulier ou -radical de .${\displaystyle {\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

c) Dans le cas où l' on a .${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}}$

Une quadrique est dite non dégénérée si . ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\emptyset }$

Exemples dans${\style d'affichage P_{2}(K)}$ (voir ci-dessus) :
(E1) : Pour (conique) la forme bilinéaire est Dans le cas où les espaces polaires ne sont jamais . Par conséquent . Dans le cas de la forme bilinéaire est réduit à et . Par conséquent, dans ce cas, le radical f est le point commun de toutes les tangentes, ce qu'on appelle le nœud . Dans les deux cas et la quadrique (conique) est non dégénérée . (E2) : Pour (paire de lignes) la forme bilinéaire est et le point d'intersection. Dans cet exemple la quadrique est dégénérée . ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\; .}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}=\emptyset }$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle \notin {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq {\mathcal {S}}=\emptyset \;.}$
${\displaystyle S=\emptyset }$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle ={\mathcal {S}}\;,}$

Symétries

Une quadrique est un objet assez homogène :

Pour tout point il existe un involutorial central collinéation avec le centre et .${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$${\style d'affichage P}$${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$

Preuve : En raison de l'espace polaire est un hyperplan. ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}}$${\displaystyle P^{\perp }}$

La cartographie linéaire

${\displaystyle \varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{q({ \vec {p}})}}{\vec {p}}}$

induit une colinéation centrale involutive d'axe et de centre qui laisse invariant. En cas de mappage, obtient la forme familière avec et pour n'importe quel fichier . ${\displaystyle \sigma _{P}}$${\displaystyle P^{\perp }}$${\style d'affichage P}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \;\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{ f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}\;}$${\displaystyle \;\varphi ({\vec {p}})=-{\vec {p}}}$${\displaystyle \;\varphi ({\vec {x}})={\vec {x}}\;}$${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in P^{\perp }}$

Remarque:

a) Une ligne extérieure, une ligne tangente ou une ligne sécante est représentée par l'involution sur une ligne extérieure, tangente et sécante, respectivement.${\displaystyle \sigma _{P}}$

b) est fixé ponctuel par .${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \sigma _{P}}$

q -sous-espaces et indice d'une quadrique

Un sous - espace de est appelé -sous-espace si${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\;}$${\style d'affichage P_{n}(K)}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\subset {\mathcal {Q}}\;}$

Par exemple : des points sur une sphère ou des lignes sur un hyperboloïde (voir ci-dessous).

Deux sous- espaces maximaux ont la même dimension .${\style d'affichage q}$${\style d'affichage m}$

Soit la dimension des -sous-espaces maximaux de alors ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

L'entier est appelé indice de .${\displaystyle \;i:=m+1\;}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Théorème : (BUEKENHOUT)

Pour l'indice d'une quadrique non dégénérée dans ce qui suit est vrai : ${\style d'affichage i}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\style d'affichage P_{n}(K)}$

${\displaystyle i\leq {\frac {n+1}{2}}}$.

Soit une quadrique non dégénérée dans , et son indice.${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\style d'affichage P_{n}(K),n\geq 2}$${\style d'affichage i}$

En cas de quadrique est appelé sphère (ou conique ovale si ).${\style d'affichage i=1}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\style d'affichage n=2}$

En cas de quadrique est appelé hyperboloïde (d'une feuille).${\style d'affichage i=2}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Exemples:

a) Quadric in with form est non dégénéré d'indice 1.${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\style d'affichage P_{2}(K)}$${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$

b) Si polynôme est irréductible sur la forme quadratique donne lieu à une quadrique non dégénéré dans l' indice 1 (sphère). Par exemple : est irréductible (mais pas fini  !).${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+a_{0}\xi +b_{0}\;}$${\style d'affichage K}$${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}^{2}+a_{0}x_{1}x_{2}+b_{0}x_{2}^{2} -x_{3}x_{4}\;}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\style d'affichage P_{3}(K)}$${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+1\;}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

c) Dans la forme quadratique génère un hyperboloïde .${\style d'affichage P_{3}(K)}$${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\;}$

Généralisation des quadriques : ensembles quadratiques

Il n'est pas raisonnable d'étendre formellement la définition des quadriques aux espaces sur de véritables champs obliques (anneaux de division). Car on obtiendrait des sécantes portant plus de 2 points de la quadrique ce qui est totalement différent des quadriques habituelles . La raison est la déclaration suivante.

Un anneau de division est commutatif si et seulement si une équation , a au plus deux solutions.${\style d'affichage K}$ ${\displaystyle x^{2}+ax+b=0,\ a,b\in K}$

Il existe des généralisations des quadriques : ensembles quadratiques . Un ensemble quadratique est un ensemble de points d'un espace projectif ayant les mêmes propriétés géométriques qu'une quadrique : chaque ligne coupe un ensemble quadratique en au plus deux points ou est contenue dans l'ensemble.

Voir également

• quadrique de Klein
• Rotation des axes
• Superquadriques
• Translation des axes

Les références

Bibliographie

• M. Audin : Géométrie , Springer, Berlin, 2002, ISBN  978-3-540-43498-6 , p. 200.
• M. Berger: Problem Books in Mathematics , ISSN 0941-3502, Springer New York, pp 79-84.
• A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie , Vieweg + Teubner, Braunschweig ua 1992, ISBN  3-528-07241-5 , p. 159.
• P. Dembowski : Géométries finies , Springer, 1968, ISBN  978-3-540-61786-0 , p. 43.
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Quadric" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Quadric" . MathWorld .

Liens externes

• Modèles Java 3D interactifs de toutes les surfaces quadriques
• Note de cours Géométries du cercle planaire , une introduction aux plans de Moebius, Laguerre et Minkowski , p. 117