Circuit RL - RL circuit

Filtres électroniques analogiques linéaires
Filtres de synthèse de réseau Filtre Butterworth Filtre Chebyshev Filtre elliptique (Cauer) Filtre de Bessel Filtre gaussien Filtre "L" optimal (Legendre) Filtre Linkwitz – Riley
Filtres d'impédance d'image Filtre k constant filtre dérivé de m Filtres d'image généraux Filtre réseau Zobel (R constant) Filtre en treillis (passe-tout) Égaliseur de retard en T ponté (passe-tout) Filtre d'image composite filtre de type mm '
Filtres simples Filtre RC Filtre RL Filtre LC Filtre RLC
v t e

Un circuit résistance-inductance ( circuit RL ), ou filtre RL ou réseau RL , est un circuit électrique composé de résistances et d' inductances pilotées par une source de tension ou de courant . Un circuit RL de premier ordre est composé d'une résistance et d'un inducteur et est le type le plus simple de circuit RL.

Un circuit RL de premier ordre est l'un des filtres électroniques analogiques à réponse impulsionnelle infinie les plus simples . Il se compose d'une résistance et d'un inducteur, soit en série pilotés par une source de tension, soit en parallèle pilotés par une source de courant.

introduction

Les éléments fondamentaux du circuit linéaire passif sont la résistance (R), le condensateur (C) et l' inductance (L). Ces éléments de circuit peuvent être combinés pour former un circuit électrique de quatre manières distinctes: le circuit RC , le circuit RL, le circuit LC et le circuit RLC avec les abréviations indiquant quels composants sont utilisés. Ces circuits présentent des types de comportement importants qui sont fondamentaux pour l' électronique analogique . En particulier, ils peuvent jouer le rôle de filtres passifs . Cet article considère le circuit RL en série et en parallèle comme indiqué dans les schémas.

En pratique, cependant, les condensateurs (et les circuits RC) sont généralement préférés aux inducteurs car ils peuvent être plus facilement fabriqués et sont généralement plus petits physiquement, en particulier pour des valeurs de composants plus élevées.

Les circuits RC et RL forment un filtre unipolaire. Selon que l'élément réactif (C ou L) est en série avec la charge, ou en parallèle avec la charge, cela déterminera si le filtre est passe-bas ou passe-haut.

Les circuits RL sont fréquemment utilisés comme alimentations CC pour les amplificateurs RF, où l'inducteur est utilisé pour transmettre le courant de polarisation CC et bloquer le retour du RF dans l'alimentation.

Cet article s'appuie sur la connaissance de la représentation d' impédance complexe des inducteurs et sur la connaissance de la représentation du domaine fréquentiel des signaux .

Impédance complexe

L' impédance complexe Z _L (en ohms ) d'une inductance d'inductance L (en henrys ) est

${\ displaystyle Z_ {L} = Ls \ ,.}$

La fréquence complexe s est un nombre complexe ,

${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega \ ,,}$

où

• j représente l' unité imaginaire : j ² = −1 ,
• σ est la constante de décroissance exponentielle (en radians par seconde ), et
• ω est la fréquence angulaire (en radians par seconde).

Fonctions propres

Les fonctions propres à valeurs complexes de tout système linéaire invariant dans le temps (LTI) sont des formes suivantes:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {V} (t) & = \ mathbf {A} e ^ {st} = \ mathbf {A} e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} \\ \ mathbf {A} & = Ae ^ {j \ phi} \\\ Rightarrow \ mathbf {V} (t) & = Ae ^ {j \ phi} e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} \\ & = Ae ^ {\ sigma t} e ^ {j (\ omega t + \ phi)} \,. \ End {aligné}}}$

D'après la formule d'Euler , la partie réelle de ces fonctions propres sont des sinusoïdes à décroissance exponentielle:

${\ displaystyle v (t) = \ operatorname {Re} {V (t)} = Ae ^ {\ sigma t} \ cos (\ omega t + \ phi) \ ,.}$

État d'équilibre sinusoïdal

L'état stationnaire sinusoïdal est un cas particulier dans lequel la tension d'entrée consiste en une sinusoïde pure (sans décroissance exponentielle). Par conséquent,

${\ displaystyle \ sigma = 0}$

et l'évaluation de s devient

${\ displaystyle s = j \ omega \ ,.}$

Circuit en série

En regardant le circuit comme un diviseur de tension , nous voyons que la tension aux bornes de l'inducteur est:

${\ displaystyle V_ {L} (s) = {\ frac {Ls} {R + Ls}} V _ {\ mathrm {in}} (s) \ ,,}$

et la tension aux bornes de la résistance est:

${\ displaystyle V_ {R} (s) = {\ frac {R} {R + Ls}} V _ {\ mathrm {in}} (s) \ ,.}$

Actuel

Le courant dans le circuit est le même partout puisque le circuit est en série:

${\ displaystyle I (s) = {\ frac {V _ {\ mathrm {in}} (s)} {R + Ls}} \ ,.}$

Fonctions de transfert

La fonction de transfert vers la tension d'inductance est

${\ displaystyle H_ {L} (s) = {\ frac {V_ {L} (s)} {V _ {\ mathrm {in}} (s)}} = {\ frac {Ls} {R + Ls}} = G_ {L} e ^ {j \ phi _ {L}} \ ,.}$

De même, la fonction de transfert, à la tension de résistance est

${\ displaystyle H_ {R} (s) = {\ frac {V_ {R} (s)} {V _ {\ mathrm {in}} (s)}} = {\ frac {R} {R + Ls}} = G_ {R} e ^ {j \ phi _ {R}} \ ,.}$

La fonction de transfert, au courant, est

${\ displaystyle H_ {I} (s) = {\ frac {I (s)} {V _ {\ mathrm {in}} (s)}} = {\ frac {1} {R + Ls}} \ ,. }$

Polonais et zéros

Les fonctions de transfert ont un seul pôle situé à

${\ displaystyle s = - {\ frac {R} {L}} \ ,.}$

De plus, la fonction de transfert de l'inductance a un zéro situé à l' origine .

Gain et angle de phase

Les gains à travers les deux composants sont obtenus en prenant les magnitudes des expressions ci-dessus:

${\ displaystyle G_ {L} = {\ big |} H_ {L} (\ omega) {\ big |} = \ left | {\ frac {V_ {L} (\ omega)} {V _ {\ mathrm {in }} (\ omega)}} \ right | = {\ frac {\ omega L} {\ sqrt {R ^ {2} + \ left (\ omega L \ right) ^ {2}}}}}$

et

${\ displaystyle G_ {R} = {\ big |} H_ {R} (\ omega) {\ big |} = \ left | {\ frac {V_ {R} (\ omega)} {V _ {\ mathrm {in }} (\ omega)}} \ right | = {\ frac {R} {\ sqrt {R ^ {2} + \ left (\ omega L \ right) ^ {2}}}} \ ,,}$

et les angles de phase sont:

${\ displaystyle \ phi _ {L} = \ angle H_ {L} (s) = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {R} {\ omega L}} \ right)}$

et

${\ displaystyle \ phi _ {R} = \ angle H_ {R} (s) = \ tan ^ {- 1} \ left (- {\ frac {\ omega L} {R}} \ right) \ ,.}$

Notation de phase

Ces expressions peuvent être remplacées dans l'expression habituelle du phaseur représentant la sortie:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} V_ {L} & = G_ {L} V _ {\ mathrm {in}} e ^ {j \ phi _ {L}} \\ V_ {R} & = G_ {R} V _ {\ mathrm {in}} e ^ {j \ phi _ {R}} \ end {aligné}}}$

Réponse impulsive

La réponse impulsionnelle pour chaque tension est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert correspondante. Il représente la réponse du circuit à une tension d'entrée constituée d'une impulsion ou d'une fonction delta de Dirac .

La réponse impulsionnelle pour la tension d'inductance est

${\ displaystyle h_ {L} (t) = \ delta (t) - {\ frac {R} {L}} e ^ {- t {\ frac {R} {L}}} u (t) = \ delta (t) - {\ frac {1} {\ tau}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} u (t) \ ,,}$

où u ( t ) est la fonction d'étape de Heaviside et τ = L / R est la constante de temps .

De même, la réponse impulsionnelle pour la tension de résistance est

${\ displaystyle h_ {R} (t) = {\ frac {R} {L}} e ^ {- t {\ frac {R} {L}}} u (t) = {\ frac {1} {\ tau}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} u (t) \ ,.}$

Réponse sans entrée

La réponse d'entrée nulle (ZIR), également appelée réponse naturelle , d'un circuit RL décrit le comportement du circuit une fois qu'il a atteint des tensions et des courants constants et qu'il est déconnecté de toute source d'alimentation. Elle est appelée la réponse à entrée nulle car elle ne nécessite aucune entrée.

Le ZIR d'un circuit RL est:

${\ displaystyle I (t) = I (0) e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} = I (0) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ ,.}$

Considérations relatives au domaine de fréquence

Ce sont des expressions du domaine fréquentiel . Leur analyse montrera quelles fréquences les circuits (ou filtres) passent et rejettent. Cette analyse repose sur une considération de ce qu'il advient de ces gains lorsque la fréquence devient très grande et très petite.

Comme ω → ∞ :

${\ displaystyle G_ {L} \ à 1 \ quad {\ mbox {et}} \ quad G_ {R} \ à 0 \ ,.}$

Comme ω → 0 :

${\ displaystyle G_ {L} \ to 0 \ quad {\ mbox {et}} \ quad G_ {R} \ to 1 \ ,.}$

Cela montre que, si la sortie est prise à travers l'inductance, les hautes fréquences sont transmises et les basses fréquences sont atténuées (rejetées). Ainsi, le circuit se comporte comme un filtre passe-haut . Si, cependant, la sortie est prise à travers la résistance, les hautes fréquences sont rejetées et les basses fréquences sont passées. Dans cette configuration, le circuit se comporte comme un filtre passe-bas . Comparez cela avec le comportement de la sortie de la résistance dans un circuit RC , où l'inverse est le cas.

La plage de fréquences que le filtre passe est appelée sa bande passante . Le point auquel le filtre atténue le signal à la moitié de sa puissance non filtrée est appelé sa fréquence de coupure . Cela nécessite que le gain du circuit soit réduit à

${\ displaystyle G_ {L} = G_ {R} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ,.}$

La résolution de l'équation ci-dessus donne

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {R} {L}} {\ mbox {rad / s}} \ quad {\ mbox {ou}} \ quad f _ {\ mathrm {c }} = {\ frac {R} {2 \ pi L}} {\ mbox {Hz}} \ ,,}$

qui est la fréquence que le filtre atténuera à la moitié de sa puissance d'origine.

Bien entendu, les phases dépendent également de la fréquence, bien que cet effet soit généralement moins intéressant que les variations de gain.

Comme ω → 0 :

${\ displaystyle \ phi _ {L} \ à 90 ^ {\ circ} = {\ frac {\ pi} {2}} {\ mbox {radians}} \ quad {\ mbox {et}} \ quad \ phi _ {R} \ à 0 \ ,.}$

Comme ω → ∞ :

${\ displaystyle \ phi _ {L} \ à 0 \ quad {\ mbox {et}} \ quad \ phi _ {R} \ à -90 ^ {\ circ} = - {\ frac {\ pi} {2} } {\ mbox {radians}} \ ,.}$

Ainsi, à DC (0  Hz ), la tension de la résistance est en phase avec la tension du signal tandis que la tension de l'inductance la mène de 90 °. Au fur et à mesure que la fréquence augmente, la tension de la résistance a un décalage de 90 ° par rapport au signal et la tension de l'inductance se trouve en phase avec le signal.

Considérations relatives au domaine temporel

Cette section s'appuie sur la connaissance de e , la constante logarithmique naturelle .

La manière la plus simple de dériver le comportement du domaine temporel est d'utiliser les transformées de Laplace des expressions pour V _L et V _R données ci-dessus. Cela transforme effectivement jω → s . En supposant une entrée échelonnée (c'est-à-dire, V _in = 0 avant t = 0 puis V _in = V après):

${\ displaystyle {\ begin {aligné} V _ {\ mathrm {in}} (s) & = V \ cdot {\ frac {1} {s}} \\ V_ {L} (s) & = V \ cdot { \ frac {sL} {R + sL}} \ cdot {\ frac {1} {s}} \\ V_ {R} (s) & = V \ cdot {\ frac {R} {R + sL}} \ cdot {\ frac {1} {s}} \,. \ end {aligné}}}$

Les extensions de fractions partielles et le rendement de la transformée de Laplace inverse :

${\ displaystyle {\ begin {aligné} V_ {L} (t) & = Ve ^ {- t {\ frac {R} {L}}} \\ V_ {R} (t) & = V \ left (1 -e ^ {- t {\ frac {R} {L}}} \ right) \,. \ end {aligné}}}$

Ainsi, la tension aux bornes de l'inductance tend vers 0 au fil du temps, tandis que la tension aux bornes de la résistance tend vers V , comme le montrent les figures. Ceci est conforme au point intuitif selon lequel l'inducteur n'aura une tension que tant que le courant dans le circuit change - lorsque le circuit atteint son état d'équilibre, il n'y a plus de changement de courant et finalement pas de tension d'inductance.

Ces équations montrent qu'un circuit série RL a une constante de temps, généralement notée τ = L / R étant le temps qu'il faut à la tension à travers le composant pour soit tomber (à travers l'inductance) ou augmenter (à travers la résistance) à l'intérieur 1 / e de sa valeur finale. Autrement dit, τ est le temps qu'il faut à V _L pour atteindre V ( 1 / e ) et V _R pour atteindre V (1 - 1 / e ) .

Le taux de changement est un fractionnaire 1 - 1 / e par τ . Ainsi, en passant de t = Nτ à t = ( N + 1) τ , la tension se sera déplacée d'environ 63% du trajet de son niveau à t = Nτ vers sa valeur finale. Ainsi, la tension aux bornes de l'inducteur aura chuté à environ 37% après τ , et essentiellement à zéro (0,7%) après environ 5 τ . La loi de tension de Kirchhoff implique que la tension aux bornes de la résistance augmentera au même rythme. Lorsque la source de tension est ensuite remplacée par un court-circuit, la tension aux bornes de la résistance chute exponentiellement avec t de V vers 0. La résistance sera déchargée à environ 37% après τ , et essentiellement complètement déchargée (0,7%) après environ 5 τ . Notez que le courant, I , dans le circuit se comporte comme la tension aux bornes de la résistance, via la loi d'Ohm .

Le retard dans le temps de montée ou de descente du circuit est dans ce cas provoqué par le contre-EMF de l'inducteur qui, lorsque le courant qui le traverse essaie de changer, empêche le courant (et donc la tension à travers la résistance) de monter ou tombant beaucoup plus rapidement que la constante de temps du circuit. Étant donné que tous les fils ont une certaine inductance et résistance, tous les circuits ont une constante de temps. En conséquence, lors de la mise sous tension de l'alimentation, le courant n'atteint pas instantanément sa valeur de régime permanent, V / R . La montée prend au contraire plusieurs constantes de temps pour se terminer. Si ce n'était pas le cas et que le courant atteignait immédiatement l'état d'équilibre, des champs électriques inductifs extrêmement puissants seraient générés par le changement brusque du champ magnétique - cela conduirait à une rupture de l'air dans le circuit et à un arc électrique , probablement endommageant les composants (et les utilisateurs).

Ces résultats peuvent également être obtenus en résolvant l' équation différentielle décrivant le circuit:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} V _ {\ mathrm {in}} & = IR + L {\ frac {dI} {dt}} \\ V_ {R} & = V _ {\ mathrm {in}} -V_ {L} \,. \ End {aligné}}}$

La première équation est résolue en utilisant un facteur d'intégration et donne le courant qui doit être différencié pour donner V _L ; la deuxième équation est simple. Les solutions sont exactement les mêmes que celles obtenues via les transformées de Laplace.

Équation de court-circuit

Pour l' évaluation des courts-circuits , le circuit RL est pris en compte. L'équation la plus générale est:

${\ displaystyle v_ {in} (t) = v_ {L} (t) + v_ {R} (t) = L {\ frac {di} {dt}} + Ri}$

Avec condition initiale:

${\ displaystyle i (0) = i_ {0}}$

Ce qui peut être résolu par la transformation de Laplace :

${\ displaystyle V_ {in} (s) = sLI-Li_ {0} + RI}$

Donc:

${\ displaystyle I (s) = {\ frac {Li_ {o} + V_ {in}} {sL + R}}}$

Puis antitransform retourne:

${\ displaystyle i (t) = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [{\ frac {V_ { dans}} {sL + R}} \ right]}$

Dans le cas où la tension source est une fonction d'étape Heaviside (DC):

${\ displaystyle v_ {dans} (t) = Eu (t)}$

Retour:

${\ displaystyle i (t) = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [{\ frac {E} {s (sL + R)}} \ right] = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ frac {E} {R}} \ left (1-e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} \ right)}$

Dans le cas où la tension source est une fonction sinusoïdale (AC):

${\ displaystyle v_ {in} (t) = E \ sin (\ omega t) \ Rightarrow V_ {in} (s) = {\ frac {E \ omega} {s ^ {2} + \ omega ^ {2} }}}$

Retour:

${\ displaystyle i (t) = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [{\ frac {E \ omega} {(s ^ {2} + \ omega ^ {2}) (sL + R)}} \ right] = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + { \ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [{\ frac {E \ omega} {2j \ omega}} \ left ({\ frac {1} {sj \ omega}} - {\ frac {1} {s + j \ omega}} \ right) {\ frac {1} {(sL + R)}} \ right]}$

${\ displaystyle = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ frac {E} {2jL}} {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left [ {\ frac {1} {s + {\ frac {R} {L}}}} \ gauche ({\ frac {1} {{\ frac {R} {L}} - j \ omega}} - {\ frac {1} {{\ frac {R} {L}} + j \ omega}} \ right) + {\ frac {1} {sj \ omega}} {\ frac {1} {{\ frac {R} { L}} + j \ omega}} - {\ frac {1} {s + j \ omega}} {\ frac {1} {{\ frac {R} {L}} - j \ omega}} \ right] }$

${\ displaystyle = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ frac {E} {2jL}} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t } 2j {\ text {Im}} \ gauche [{\ frac {1} {{\ frac {R} {L}} - j \ omega}} \ droite] + {\ frac {E} {2jL}} 2j {\ text {Im}} \ left [e ^ {j \ omega t} {\ frac {1} {{\ frac {R} {L}} + j \ omega}} \ right]}$

${\ displaystyle = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ frac {E \ omega} {L \ left (\ left ({\ frac {R} {L} } \ right) ^ {2} + \ omega ^ {2} \ right)}} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ frac {E} {L \ left (\ left ({\ frac {R} {L}} \ right) ^ {2} + \ omega ^ {2} \ right)}} \ left ({\ frac {R} {L}} \ sin (\ omega t) - \ omega \ cos (\ omega t) \ right)}$

${\ displaystyle i (t) = i_ {0} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ frac {E \ omega} {L \ left (\ left ({\ frac {R } {L}} \ droite) ^ {2} + \ omega ^ {2} \ droite)}} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t} + {\ frac {E} {L { \ sqrt {\ left ({\ frac {R} {L}} \ right) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}} \ sin \ left (\ omega t- \ tan ^ {- 1} \ gauche ({\ frac {\ omega L} {R}} \ droite) \ droite)}$

Circuit parallèle

Le circuit RL parallèle est généralement moins intéressant que le circuit série à moins d'être alimenté par une source de courant. C'est en grande partie parce que la tension de sortie V _out est égale à la tension d'entrée V _in - par conséquent, ce circuit n'agit pas comme un filtre pour un signal d'entrée de tension.

Avec des impédances complexes:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} I_ {R} & = {\ frac {V _ {\ mathrm {in}}} {R}} \\ I_ {L} & = {\ frac {V _ {\ mathrm {in }}} {j \ omega L}} = - {\ frac {jV _ {\ mathrm {in}}} {\ omega L}} \,. \ end {aligné}}}$

Cela montre que l'inductance retarde le courant de la résistance (et de la source) de 90 °.

Le circuit parallèle est vu sur la sortie de nombreux circuits amplificateurs et est utilisé pour isoler l'amplificateur des effets de charge capacitive à hautes fréquences. En raison du déphasage introduit par la capacité, certains amplificateurs deviennent instables à de très hautes fréquences et ont tendance à osciller. Cela affecte la qualité sonore et la durée de vie des composants (en particulier les transistors) et doit être évité.

Voir également

• Circuit LC
• Circuit RC
• Circuit RLC
• Réseau électrique
• Liste des sujets électroniques

Références