Pavages euclidiens par polygones réguliers convexes - Euclidean tilings by convex regular polygons

Exemple de pavages périodiques

Un carrelage régulier a un type de visage régulier.	Un pavage semi-régulier ou uniforme a un type de sommet , mais deux ou plusieurs types de faces.
Un pavage k -uniforme a k types de sommets et deux types ou plus de faces régulières.	Un pavage non bord à bord peut avoir des faces régulières de différentes tailles.

Les pavages plans euclidiens par polygones réguliers convexes sont largement utilisés depuis l'Antiquité. Le premier traitement mathématique systématique fut celui de Kepler dans ses Harmonices Mundi ( latin : The Harmony of the World , 1619).

Carrelage régulier

Suivant Grünbaum et Shephard (section 1.3), un pavage est dit régulier si le groupe de symétrie du pavage agit transitivement sur les drapeaux du pavage, où un drapeau est un triple composé d'un sommet , d'une arête et d'une tuile mutuellement incidents. carrelage. Cela signifie que, pour chaque paire de drapeaux, il y a une opération de symétrie faisant correspondre le premier drapeau au second. Cela équivaut au pavage étant un pavage bord à bord par des polygones réguliers congrus . Il doit y avoir six triangles équilatéraux , quatre carrés ou trois hexagones réguliers à un sommet, donnant les trois pavages réguliers .

Carrelage régulier (3)

p6m, *632		p4m, *442
3 6 (t=1, e=1)	6 3 (t=1, e=1)	4 4 (t=1, e=1)

Dallages archimédiens, uniformes ou semi-réguliers

La transitivité des sommets signifie que pour chaque paire de sommets, il existe une opération de symétrie mappant le premier sommet sur le second.

Si l'exigence de transitivité du drapeau est assouplie à celle de la transitivité des sommets, tandis que la condition que le pavage est bord à bord est conservée, il y a huit pavages supplémentaires possibles, appelés pavages d' Archimède , uniformes ou demi - réguliers . Notez qu'il existe deux formes d' images miroir (énantiomorphes ou chirales ) de pavage 3 ⁴ .6 (hexagonal retroussé), dont une seule est illustrée dans le tableau suivant. Tous les autres pavages réguliers et semi-réguliers sont achiraux.

Carrelage uniforme (8)

p6m, *632
3.12 2 (t=2, e=2) t{6,3}	3.4.6.4 (t=3, e=2) rr{3,6}	4.6.12 (t=3, e=3) tr{3,6}	(3.6) 2 (t=2, e=1) r{6,3}
4,8 2 (t=2, e=2) t{4,4}	3 2 .4.3.4 (t=2, e=2) s{4,4}	3 3 .4 2 (t=2, e=3) {3,6}:e	3 4 .6 (t=3, e=3) sr{3,6}

Grünbaum et Shephard distinguent la description de ces pavages comme archimédienne comme se référant uniquement à la propriété locale de l'arrangement des tuiles autour de chaque sommet étant le même, et cela comme uniforme comme se référant à la propriété globale de la transitivité des sommets. Bien que ceux-ci produisent le même ensemble de pavages dans le plan, dans d'autres espaces, il existe des pavages archimédiens qui ne sont pas uniformes.

k - carrelages uniformes

Carrelage 3-uniformes #57 sur 61 couleurs

par côtés, triangles jaunes, carrés rouges (par polygones)

par positions 4-isoédriques, 3 couleurs ombrées de triangles (par orbites)

De tels pavages périodiques peuvent être classés par le nombre d' orbites de sommets, d'arêtes et de carreaux. S'il y a k orbites de sommets, un pavage est appelé k -uniforme ou k -isogonal ; s'il y a t orbites de tuiles, comme t -isoédrique ; s'il y a e orbites d'arêtes, comme e -isotoxal.

Les pavages k- uniformes avec les mêmes figures de sommet peuvent être identifiés par la symétrie de leur groupe de papier peint .

Les pavages 1-uniformes comprennent 3 pavages réguliers et 8 semi-réguliers, avec 2 types ou plus de faces polygonales régulières. Il y a 20 pavages 2-uniformes, 61 pavages 3-uniformes, 151 pavages 4-uniformes, 332 pavages 5-uniformes et 673 pavages 6-uniformes. Chacun peut être regroupé par le nombre m de figures de sommets distinctes, également appelées pavages m -archimédiens.

Enfin, si le nombre de types de sommets est le même que l'uniformité ( m = k ci-dessous), alors le pavage est dit Krotenheerdt . En général, l'uniformité est supérieure ou égale au nombre de types de sommets ( m ≥ k ), car différents types de sommets ont nécessairement des orbites différentes, mais pas l'inverse. En définissant m = n = k , il y a 11 pavages de ce type pour n = 1 ; 20 pavages de ce type pour n = 2 ; 39 pavages de ce type pour n = 3 ; 33 pavages de ce type pour n = 4 ; 15 pavages de ce type pour n = 5 ; 10 pavages de ce type pour n = 6 ; et 7 pavages de ce type pour n = 7.

k -uniforme, m -nombre de pavages d'Archimède

		m -Archimède
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	dix	11	12	13	14	15	Le total
k -uniforme	1	11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	11
	2	0	20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	20
	3	0	22	39	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	61
	4	0	33	85	33	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	151
	5	0	74	149	94	15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	332
	6	0	100	284	187	92	dix	0	0	0	0	0	0	0	0	0	673
	7	0	?	?	?	?	?	7	0	0	0	0	0	0	0	0	?
	8	0	?	?	?	?	?	20	0	0	0	0	0	0	0	0	?
	9	0	?	?	?	?	?	?	8	0	0	0	0	0	0	0	?
	dix	0	?	?	?	?	?	?	27	0	0	0	0	0	0	0	?
	11	0	?	?	?	?	?	?	?	1	0	0	0	0	0	0	?
	12	0	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	0	0	0	?
	13	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	?
	14	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	?
	15	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	?
	Le total	11	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	0	∞

Polygones réguliers disséqués

Certains des pavages k -uniformes peuvent être dérivés en disséquant symétriquement les polygones de pavage avec des bords intérieurs, par exemple (dissection directe):

Polygones disséqués avec des bords d'origine

Hexagone	Dodécagone (chacun a 2 orientations)

Certains pavages k-uniformes peuvent être dérivés en disséquant des polygones réguliers avec de nouveaux sommets le long des bords d'origine, par exemple (dissection indirecte) :

Disséqué avec 1 ou 2 sommets moyens

Triangle			Carré		Hexagone

Enfin, pour voir tous les types de configurations de sommets, voir Planigon .

2 carrelages uniformes

Il y a vingt (20) pavages 2-uniformes du plan euclidien. (également appelés pavages 2- isogonaux ou pavages demi - réguliers ) Les types de sommets sont répertoriés pour chacun. Si deux pavages partagent les mêmes deux types de sommets, ils reçoivent les indices 1,2.

2 carrelages uniformes (20)

p6m, *632						p4m, *442
[3 6 ; 3 2 .4.3.4] (t=3, e=3)	[3.4.6.4 ; 3 2 .4.3.4] (t=4, e=4)	[3.4.6.4 ; 3 3 .4 2 ] (t=4, e=4)	[3.4.6.4 ; 3,4 2 0,6] (t = 5, e = 5)	[4.6.12 ; 3.4.6.4] (t=4, e=4)	[3 6 ; 3 2 .4.12] (t=4, e=4)	[3.12.12 ; 3.4.3.12] (t=3, e=3)
p6m, *632	p6, 632	p6, 632	cm, 2*22	pm, *2222	cm, 2*22	pm, *2222
[3 6 ; 3 2 .6 2 ] (t=2, e=3)	[3 6 ; 3 4 .6] 1 (t=3, e=3)	[3 6 ; 3 4 .6] 2 (t=5, e=7)	[3 2 .6 2 ; 3 4 .6] (t=2, e=4)	[3.6.3.6 ; 3 2 .6 2 ] (t=2, e=3)	[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 2 (t=3, e=4)	[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1 (t=4, e=4)
p4g, 4*2	pgg, 22×	cm, 2*22	cm, 2*22	pm, *2222	cm, 2*22
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 (t=4, e=5)	[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 (t=3, e=6)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t=2, e=4)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t=3, e=5)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t=3, e=4)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t=4, e=5)

Pavages k-uniformes supérieurs

Les pavages k -uniformes ont été dénombrés jusqu'à 6. Il y a 673 pavages 6-uniformes du plan euclidien. La recherche de Brian Galebach a reproduit la liste de Krotenheerdt de 10 pavages 6-uniformes avec 6 types de sommets distincts, ainsi que 92 d'entre eux avec 5 types de sommets, 187 d'entre eux avec 4 types de sommets, 284 d'entre eux avec 3 types de sommets et 100 avec 2 types de sommets.

Fractaliser les pavages k-uniformes

Il existe de nombreuses façons de générer de nouveaux pavages k-uniformes à partir d'anciens pavages k-uniformes. Par exemple, notez que le 2-uniforme [3.12.12; 3.4.3.12] le pavage a un treillis carré, le 4(3-1)-uniforme [343.12; (3.12 ² )3] a un treillis carré retroussé et l'uniforme 5(3-1-1) [334.12; 343.12 ; (3.12.12)3] le carrelage a un treillis triangulaire allongé. Ces pavages uniformes d'ordre supérieur utilisent le même réseau mais possèdent une plus grande complexité. La base de fractalisation de ces pavages est la suivante :

	Triangle	Carré	Hexagone	Dodécagone disséqué
Façonner
Fractaliser

Les longueurs de côté sont dilatées d'un facteur . ${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$

Cela peut également être fait avec le pavage trihexagonal tronqué comme base, avec une dilatation correspondante de . ${\displaystyle 3+{\sqrt {3}}}$

	Triangle	Carré	Hexagone	Dodécagone disséqué
Façonner
Fractaliser

Exemples de fractalisation

	Carrelage hexagonal tronqué	Carrelage trihexagonal tronqué
Fractaliser

Des carrelages qui ne sont pas bord à bord

Les polygones réguliers convexes peuvent également former des pavages plans qui ne sont pas bord à bord. De tels pavages peuvent être considérés bord à bord comme des polygones non réguliers avec des bords colinéaires adjacents.

Il existe sept familles d' isogonales, chaque famille ayant un paramètre à valeur réelle déterminant le chevauchement entre les côtés des carreaux adjacents ou le rapport entre les longueurs de bord des différents carreaux. Deux des familles sont générées à partir de positions carrées décalées, progressives ou en zigzag. Grünbaum et Shephard appellent ces pavages uniformes bien que cela contredise la définition de Coxeter pour l'uniformité qui nécessite des polygones réguliers bord à bord. De tels pavages isogonaux sont en fait topologiquement identiques aux pavages uniformes, avec des proportions géométriques différentes.

Pavages isogonaux périodiques par polygones réguliers convexes non bord à bord

1	2	3	4	5	6	7
Rangées de carrés avec décalages horizontaux		Rangées de triangles avec décalages horizontaux	Un carrelage par carrés	Trois hexagones entourent chaque triangle	Six triangles entourent chaque hexagone.	Triangles de trois tailles
cm (2*22)	p2 (2222)	cm (2*22)	p4m (*442)	p6 (632)		p3 (333)
Carrelage hexagonal		Carrelage carré	Carrelage carré tronqué	Carrelage hexagonal tronqué	Carrelage hexagonal	Carrelage trihexagonal

Voir également

Les références

• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1977). "Pavages par polygones réguliers". Math. Mag . 50 (5) : 227-247. doi : 10.2307/2689529 . JSTOR  2689529 .
• Grünbaum, Branko; Shephard, GC (1978). "Les quatre-vingt-onze types de pavages isogonaux dans le plan" . Trans. Un m. Math. Soc . 252 : 335-353. doi : 10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3 . MR  0496813 .
• Debroey, I.; Landuyt, F. (1981). "Pavages équitransitifs bord à bord". Geometriae Dedicata . 11 (1) : 47-60. doi : 10.1007/BF00183189 . S2CID  122636363 .
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Carrelage et motifs . WH Freeman et compagnie. ISBN 0-7167-1193-1.
• Ren, Ding ; Reay, John R. (1987). « La caractéristique de frontière et le théorème de Pick dans les pavages planaires d'Archimède » . J. Combinat. Théorie A . 44 (1) : 110-119. doi : 10.1016/0097-3165(87)90063-X .
• Chavey, D. (1989). "Pavages par polygones réguliers-II: Un catalogue de pavages" . Informatique et mathématiques avec applications . 17 : 147-165. doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
• Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, 1970 ISBN  978-0-670-52830-1
• Sommerville, Duncan MacLaren Young (1958). Une introduction à la géométrie de n dimensions . Publications de Douvres. Chapitre X : Les polytopes réguliers
• Préa, P. (1997). "Séquences de distance et seuils de percolation dans les pavages d'Archimède" . Mathl. Calcul. Modélisation . 26 (8-10) : 317-320. doi : 10.1016/S0895-7177(97)00216-1 .
• Kovic, Jurij (2011). « Graphes de type symétrie des solides platoniciens et archimédiens » . Math. Commun . 16 (2) : 491-507.
• Pellicer, Daniel; Williams, Gordon (2012). "Couvertures minimales des pavages d'Archimède, partie 1" . Le journal électronique de combinatoire . 19 (3) : #P6. doi : 10.37236/2512 .
• Dale Seymour et Jill Britton , Introduction to Tessellations , 1989, ISBN  978-0866514613 , pp. 50-57

Liens externes

Liens de pavage euclidien et général :

• pavages n-uniformes , Brian Galebach
• Néerlandais, Steve. "Carrelages uniformes" . Archivé de l'original le 2006-09-09 . Récupéré le 09/09/2006 .
• Mitchell, K. "Carrelages semi-réguliers" . Récupéré le 09/09/2006 .
• Weisstein, Eric W. "Pavage" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Pavage semi-régulier" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Pavage demi-régulier" . MathWorld .