Carrelage triangulaire - Triangular tiling

Carrelage triangulaire
Taper	Carrelage régulier
Configuration des sommets	3.3.3.3.3.3 (ou 3 6 )
Configuration du visage	V6.6.6 (ou V6 3 )
Symbole(s) Schläfli	{3,6} {3 [3] }
Symbole(s) Wythoff	6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
Diagramme(s) de Coxeter	=
Symétrie	p6m , [6,3], (*632)
Symétrie de rotation	p6 , [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
Double	Carrelage hexagonal
Propriétés	Vertex-transitif , bord-transitif , face-transitif

En géométrie , le pavage triangulaire ou pavage triangulaire est l'un des trois pavages réguliers du plan euclidien , et est le seul pavage de ce type où les formes constitutives ne sont pas des parallélogones . Parce que l'angle interne du triangle équilatéral est de 60 degrés, six triangles en un point occupent 360 degrés. Le pavage triangulaire a le symbole Schläfli de {3,6}.

Conway l' appelle une deltille , du nom de la forme triangulaire de la lettre grecque delta (Δ). Le pavage triangulaire peut également être appelé un kishextille par une opération de kis qui ajoute un point central et des triangles pour remplacer les faces d'un hextille .

C'est l'un des trois pavages réguliers de l'avion . Les deux autres sont le carrelage carré et le carrelage hexagonal .

Colorations uniformes

Un pavage triangulaire 2-uniforme, 4 triangles colorés, lié au polyèdre géodésique comme {3,6+} _2,0 .

Il existe 9 colorations uniformes distinctes d'un pavage triangulaire. (Nommer les couleurs par des indices sur les 6 triangles autour d'un sommet : 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Trois d'entre elles peuvent être dérivées des autres en répétant les couleurs : 111212 et 111112 à partir de 121213 par combinant 1 et 3, tandis que 111213 est réduit de 121314.

Il existe une classe de colorations d'Archimède , 111112 (marquée d'un *) qui n'est pas 1-uniforme, contenant des rangées alternées de triangles où chaque tiers est coloré. L'exemple montré est 2-uniforme, mais il existe une infinité de colorations d'Archimède qui peuvent être créées par des décalages horizontaux arbitraires des lignes.

111111	121212	111222	112122	111112(*)
p6m (*632)	p3m1 (*333)	cm (2*22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213
p31m (3*3)			p3 (333)

Garnitures en treillis et en cercle A2

Le A^*
₂ treillis en trois pavages triangulaires : + +

La disposition des sommets du pavage triangulaire est appelée un réseau A ₂ . C'est le cas bidimensionnel d'un nid d'abeilles simplectique .

Le A^*
₂ treillis (également appelé A³
₂) peut être construit par l'union des trois réseaux A ₂ , et équivalent au réseau A ₂ .

+ + = double de =

Les sommets du pavage triangulaire sont les centres de l'empilement de cercles le plus dense possible . Chaque cercle est en contact avec 6 autres cercles dans l'emballage ( nombre de baisers ). La densité de tassement est π ⁄ √ 12 ou 90,69 %. La cellule de voronoi d'un pavage triangulaire est un hexagone , et donc le pavage de voronoi , le pavage hexagonal, a une correspondance directe avec les emballages de cercle.

Variations géométriques

Des pavages triangulaires peuvent être réalisés avec la topologie {3,6} équivalente au pavage régulier (6 triangles autour de chaque sommet). Avec des faces identiques ( face-transitivity ) et vertex-transitivity , il existe 5 variantes. La symétrie donnée suppose que toutes les faces sont de la même couleur.

• 

  Symétrie du triangle scalène
  p2

• 

  Triangle
  scalène pmg symétrie

• 

  Triangle
  isocèle cmm symétrie

• 

  Triangle rectangle
  cmm symétrie

• 

  Triangle équilatéral
  p6m symétrie

Polyèdres et pavages associés

Les pavages planaires sont liés aux polyèdres . Mettre moins de triangles sur un sommet laisse un espace et permet de le plier en pyramide . Ceux-ci peuvent être étendus aux solides platoniciens : cinq, quatre et trois triangles sur un sommet définissent respectivement un icosaèdre , un octaèdre et un tétraèdre .

Ce pavage est topologiquement lié en tant que partie d'une séquence de polyèdres réguliers avec des symboles de Schläfli {3,n}, se poursuivant dans le plan hyperbolique .

* n 32 mutation de symétrie des pavages réguliers : {3, n } v t e
Sphérique				Euclide.	Hyper compact.		Paraco.	Hyperbolique non compact
3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 12i	3 9i	3 6i	3 3i

Il est également lié topologiquement en tant que partie de la séquence de solides de Catalan avec la configuration de face Vn.6.6, et continue également dans le plan hyperbolique.

V3.6.6

V4.6.6

V5.6.6

V6.6.6

V7.6.6

Constructions Wythoff à partir de pavages hexagonaux et triangulaires

Comme les polyèdres uniformes, il existe huit pavages uniformes qui peuvent être basés sur le pavage hexagonal régulier (ou le double pavage triangulaire).

En dessinant les tuiles colorées en rouge sur les faces d'origine, en jaune aux sommets d'origine et en bleu le long des bords d'origine, il existe 8 formes, 7 qui sont topologiquement distinctes. (Le pavage triangulaire tronqué est topologiquement identique au pavage hexagonal.)

Dallages hexagonaux/triangulaires uniformes
Domaines fondamentaux	Symétrie : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Config.	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Dallages à symétrie triangulaire v t e
Wythoff	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 3 3 |	| 3 3 3
Coxeter
Image Figure Vertex	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Apeirogons complexes réguliers associés

Il y a 4 apeirogons complexes réguliers , partageant les sommets du pavage triangulaire. Les apeirogones complexes réguliers ont des sommets et des arêtes, où les arêtes peuvent contenir 2 sommets ou plus. Les apeirogones réguliers p { q } r sont contraints par : 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Les arêtes ont p sommets et les figures de sommet sont r -gonales.

Le premier est composé de 2 bords, les deux suivants sont des bords triangulaires et le dernier a des bords hexagonaux qui se chevauchent.

2{6}6 ou	3{4}6 ou	3{6}3 ou	6{3}6 ou

Autres carrelages triangulaires

Il existe également trois carrelages Laves constitués d'un seul type de triangles :

Kisrhombille 30°-60°-90° triangles rectangles

Kisquadrille 45°-45°-90° triangles rectangles

Triangles isocèles Kisdeltile 30°-30°-120°

Voir également

• Carrelage en nid d'abeille triangulaire
• Nid d'abeille simplectique
• Pavages de polygones réguliers
• Liste des carrelages uniformes
• Isogrid (conception structurelle utilisant le carrelage triangulaire)

Les références

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3e édition, 1973), édition de Douvres, ISBN  0-486-61480-8 p. 296, Tableau II : Nids d'abeilles réguliers
• Grünbaum, Branko & Shephard, GC (1987). Carrelage et motifs . New York : WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Chapitre 2.1 : Pavages réguliers et uniformes , p. 58-65, Chapitre 2.9 Colorations d'Archimède et Uniformes pp. 102-107)
• Williams, Robert (1979). La Fondation Géométrique de la Structure Naturelle : Un Livre Source de Conception . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. p35
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Les symétries des choses 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 [1]

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Grille triangulaire" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Pavage régulier" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Pavage uniforme" . MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Pavages euclidiens 2D x3o6o - trat - O2" .

v t e Nids d' abeilles fondamentaux convexes réguliers et uniformes dans les dimensions 2-9
Espacer	Famille	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	Carrelage uniforme	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
E 3	Nid d'abeille convexe uniforme	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniforme à 4 nids d'abeilles	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	nid d'abeille à 24 alvéoles
E 5	Uniforme 5-nid d'abeilles	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniforme 6 nid d'abeille	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniforme 7 nid d'abeille	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniforme 8-nid d'abeille	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniforme 9-nid d'abeille	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Uniforme 10-nid d'abeille	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniforme ( n -1)- nid d'abeille	{3 [n] }	δ n	Hda n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21