Uniforme k 21 polytope -Uniform k 21 polytope
En géométrie , un polytope k 21 uniforme est un polytope en k + 4 dimensions construit à partir du groupe E n Coxeter , et n'ayant que des facettes polytopiques régulières . La famille a été nommée par leur symbole de Coxeter k 21 par son diagramme bifurquant de Coxeter-Dynkin , avec un seul anneau à la fin de la séquence de nœuds k .
Thorold Gosset a découvert cette famille dans le cadre de son énumération de 1900 des polytopes réguliers et semi-réguliers , c'est pourquoi on les appelle parfois les figures semi-régulières de Gosset . Gosset les a nommés par leur dimension de 5 à 10, par exemple la figure semi-régulière 5-ic .
Membres de la famille
La séquence identifiée par Gosset se termine par un pavage infini (nid d'abeilles remplissant l'espace) dans l'espace 8, appelé le réseau E8 . (Une forme finale n'a pas été découverte par Gosset et est appelée le réseau E10 : 7 21 . C'est un pavage d'un espace hyperbolique 10 construit de facettes constructed 10- simplexe et ∞ 10- orthoplexe avec tous les sommets à l'infini.)
La famille commence uniquement comme 6-polytopes . Le prisme triangulaire et les 5 cellules rectifiées sont inclus au début par souci d'exhaustivité. Le demipenteract existe également dans la famille des demihypercubes .
Ils sont aussi parfois nommés par leur groupe de symétrie, comme le polytope E6 , bien qu'il existe de nombreux polytopes uniformes au sein de la symétrie E 6 .
La famille complète des polytopes semi-réguliers de Gosset est :
- prisme triangulaire : -1 21 (2 triangles et 3 faces carrées )
- 5 cellules rectifiées : 0 21 , Tétroctahédrique (5 cellules tétraédriques et 5 cellules octaédriques )
- demipenteract : 1 21 , 5-ic figure semi-régulière (16 facettes à 5 cellules et 10 à 16 cellules )
- 2 21 polytope : 2 21 , figure semi-régulière 6-ic (72 5- simplex et 27 5- orthoplexe )
- 3 21 polytope : 3 21 , figure semi-régulière 7-ic (576 facettes 6- simplex et 126 6- orthoplexes )
- 4 21 polytope : 4 21 , figure semi-régulière 8-ic (17280 7- facettes simplex et 2160 7- orthoplexes )
- 5 21 nid d'abeille : 5 21 , 9-ic semi-régulier check tessellates 8-space euclidien (∞ 8- simplex et ∞ 8- orthoplexe )
- 6 21 nid d'abeille : 6 21 , pavage hyperbolique 9-espace (∞ 9- facettes simplex et ∞ 9- orthoplexe )
- 7 21 nid d'abeille : 7 21 , tessellées hyperboliques 10-espaces (∞ 10- facettes simplex et ∞ 10- orthoplexes )
Chaque polytope est construit à partir de facettes ( n − 1) -simple et ( n − 1)- orthoplexe .
Les faces orthoplexes sont construites à partir du groupe de Coxeter D n -1 et ont un symbole de Schläfli de {3 1, n -1,1 } plutôt que le régulier {3 n -2 ,4}. Cette construction est une implication de deux « types de facettes ». La moitié des facettes autour de chaque crête orthoplexe sont attachées à un autre orthoplexe, et les autres sont attachées à un simplex. En revanche, chaque crête simplex est attachée à un orthoplexe.
Chacun a une figure de sommet comme la forme précédente. Par exemple, la 5-cellule rectifiée a une figure de sommet comme un prisme triangulaire .
Éléments
n- ic | k 21 | Graphique | Nom diagramme de Coxeter |
Facettes | Éléments | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
( n − 1)- simplex {3 n −2 } |
( n − 1)- orthoplexe {3 n −4,1,1 } |
Sommets | Bords | Visages | Cellules | 4 faces | 5 visages | 6-faces | 7-faces | ||||
3-ic | -1 21 |
Prisme triangulaire |
2 triangles |
3 carrés |
6 | 9 | 5 | ||||||
4-ic | 0 21 |
5 cellules rectifiées |
5 tétraèdre |
5 octaèdre |
dix | 30 | 30 | dix | |||||
5-ic | 1 21 |
Demipenteract |
16 5 cellules |
10 16 cellules |
16 | 80 | 160 | 120 | 26 | ||||
6-ic | 2 21 |
2 21 polytopes |
72 5-simplexes |
27 5-orthoplexes |
27 | 216 | 720 | 1080 | 648 | 99 | |||
7-ic | 3 21 |
3 21 polytopes |
576 6-simplexes |
126 6-orthoplexes |
56 | 756 | 4032 | 10080 | 12096 | 6048 | 702 | ||
8-ic | 4 21 |
4 21 polytopes |
17280 7-simplexes |
2160 7-orthoplexes |
240 | 6720 | 60480 | 241920 | 483840 | 483840 | 207360 | 194440 | |
9-ic | 5 21 |
5 21 nid d'abeille |
∞ 8-simplexes |
∞ 8-orthoplexes |
∞ | ||||||||
10-ic | 6 21 |
6 21 nid d'abeille |
∞ 9-simplexes |
∞ 9-orthoplexes |
∞ | ||||||||
11-ic | 7 21 | 7 21 nid d'abeille |
∞ 10-simplexes |
∞ 10-orthoplexes |
∞ |
Voir également
- Famille de polytopes uniforme 2 k1
- Famille de polytopes uniforme 1 k2
Les références
- T. Gosset : Sur les figures régulières et semi-régulières dans l'espace à n dimensions , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
-
Alicia Boole Stott Déduction géométrique du semi-régulier à partir des polytopes réguliers et des remplissages d'espace , Verhandelingen de la Koninklijke academy van Wetenschappen largeur unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- Stott, AB "Déduction géométrique de semi-réguliers à partir de polytopes réguliers et de remplissages d'espace." Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam 11, 3-24, 1910.
- Alicia Boole Stott, « Déduction géométrique de semi-réguliers à partir de polytopes réguliers et de remplissages d'espaces », Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (eerste sectie), Vol. 11, n° 1, pp. 1-24 plus 3 planches, 1910.
- Stott, AB 1910. "Déduction géométrique de semi-réguliers à partir de polytopes réguliers et de remplissages d'espace." Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam
- Schoute, PH, Traitement analytique des polytopes régulièrement dérivés des polytopes réguliers, Ver. der Koninklijke Akad. van Wetenschappen te Amsterdam (eerstie sectie), vol 11.5, 1913.
- HSM Coxeter : Polytopes réguliers et semi-réguliers, Partie I, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1940
- NW Johnson : La théorie des polytopes et nids d'abeilles uniformes , Ph.D. Thèse, Université de Toronto, 1966
- HSM Coxeter : Polytopes réguliers et semi-réguliers, Partie II, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1985
- HSM Coxeter : Polytopes réguliers et semi-réguliers, Partie III, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1988
- G.Blind et R.Blind, "Les polyèdres semi-réguliers", Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150-154
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Les symétries des choses 2008, ISBN 978-1-5681-220-5 (Chapitre 26. pp. 411–413 : The Gosset Series : n 21 )
Liens externes
- PolyGloss v0.05 : Figurines Gosset (Gossetoicosatope)
- Polytopes réguliers, semi-réguliers, réguliers et archimédiens
Espace | Famille | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Carrelage uniforme | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nid d'abeille convexe uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme à 4 nids d'abeilles | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | nid d'abeille à 24 alvéoles |
E 5 | Uniforme 5-nid d'abeilles | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme 6 nid d'abeille | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme 7 nid d'abeille | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme 8-nid d'abeille | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme 9-nid d'abeille | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniforme 10-nid d'abeille | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1)- nid d'abeille | {3 [n] } | δ n | Hda n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |