2 31 polytope - 2 31 polytope
3 21 |
2 31 |
1 32 |
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Rectifié 3 21 |
birectifié 3 21 |
||||
Rectifié 2 31 |
Rectifié 1 32 |
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Projections orthogonales dans le plan de Coxeter E 7 |
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En géométrie à 7 dimensions , 2 31 est un polytope uniforme , construit à partir du groupe E7 .
Son symbole Coxeter est 2 31 , décrivant son diagramme Coxeter-Dynkin bifurquant , avec un seul anneau à l'extrémité de la branche à 2 nœuds.
Le rectifié 2 31 est construit par des points aux bords médians du 2 31 .
Ces polytopes font partie d'une famille de 127 (ou 2 7 -1) polytopes uniformes convexes en 7 dimensions , constitués de facettes de polytopes uniformes et de figures de sommets , définis par toutes les permutations d'anneaux dans ce diagramme de Coxeter-Dynkin : .
2_31 polytope
Gosset 2 31 polytope | |
---|---|
Taper | Uniforme 7-polytope |
Famille | 2 k1 polytope |
Symbole Schläfli | {3,3,3 3,1 } |
Symbole de Coxeter | 2 31 |
Diagramme de Coxeter | |
6 faces | 632: 56 2 21 576 {3 5 } |
5 faces | 4788: 756 2 11 4032 {3 4 } |
4 faces | 16128: 4032 2 01 12096 {3 3 } |
Cellules | 20160 {3 2 } |
Visages | 1 080 {3} |
Bords | 2016 |
Sommets | 126 |
Figure de sommet |
1 31 |
Polygone de Petrie | Octadécagone |
Groupe Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ] |
Propriétés | convexe |
Le 2 31 est composé de 126 sommets , 2016 arêtes , 10080 faces (triangles), 20160 cellules ( tétraèdres ), 16128 4 faces ( 3-simplexes ), 4788 5 faces (756 pentacrosses et 4032 5-simplexes ), 632 6 faces (576 6-simplexes et 56 2 21 ). Sa figure de sommet est un 6-demicube . Ses 126 sommets représentent les vecteurs racines du groupe de Lie simple E 7 .
Ce polytope est la figure du sommet d'un pavage uniforme d' un espace à 7 dimensions, 3 31 .
Noms alternatifs
- EL Elte l'a nommé V 126 (pour ses 126 sommets) dans sa liste de 1912 de polytopes semi-réguliers.
- Il a été appelé 2 31 par Coxeter pour son diagramme bifurquant de Coxeter-Dynkin , avec un seul anneau à la fin de la séquence à 2 nœuds.
- Pentacontihexa-pentacosiheptacontihexa-exon (Acronyme laq) - 56-576 polyexon à facettes (Jonathan Bowers)
Construction
Il est créé par une construction Wythoff sur un ensemble de 7 miroirs hyperplan dans un espace à 7 dimensions.
Les informations de facette peuvent être extraites de son diagramme de Coxeter-Dynkin , .
La suppression du nœud sur la branche courte quitte le 6-simplex . Il existe 576 de ces facettes. Ces facettes sont centrées sur les emplacements des sommets du polytope 3 21 , .
La suppression du nœud à l'extrémité de la branche de 3 longueurs laisse le 2 21 . Il y a 56 de ces facettes. Ces facettes sont centrées sur les emplacements des sommets du polytope 1 32 , .
La figure du sommet est déterminée en supprimant le nœud annelé et en faisant sonner le nœud voisin. Cela rend le 6-demicube , 1 31 , .
Vu dans une matrice de configuration , le nombre d'éléments peut être dérivé par la suppression du miroir et les ratios des ordres de groupe de Coxeter .
E 7 | k -face | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | k -figures | Remarques | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
D 6 | () | f 0 | 126 | 32 | 240 | 640 | 160 | 480 | 60 | 192 | 12 | 32 | 6-demicube | E 7 / D 6 = 72x8! / 32/6! = 126 | |
A 5 A 1 | {} | f 1 | 2 | 2016 | 15 | 60 | 20 | 60 | 15 | 30 | 6 | 6 | rectifié 5-simplex | E 7 / A 5 A 1 = 72x8! / 6! / 2 = 2016 | |
A 3 A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 10080 | 8 | 4 | 12 | 6 | 8 | 4 | 2 | prisme tétraédrique | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
A 3 A 2 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 20160 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | tétraèdre | E 7 / A 3 A 2 = 72x8! / 4! / 3! = 20160 | |
A 4 A 2 | {3,3,3} | f 4 | 5 | dix | dix | 5 | 4032 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | E 7 / A 4 A 2 = 72x8! / 5! / 3! = 4032 | |
A 4 A 1 | 5 | dix | dix | 5 | * | 12096 | 1 | 2 | 2 | 1 | Triangle isocèle | E 7 / A 4 A 1 = 72x8! / 5! / 2 = 12096 | |||
D 5 A 1 | {3,3,3,4} | f 5 | dix | 40 | 80 | 80 | 16 | 16 | 756 | * | 2 | 0 | {} | E 7 / D 5 A 1 = 72x8! / 32/5! = 756 | |
A 5 | {3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 15 | 0 | 6 | * | 4032 | 1 | 1 | E 7 / A 5 = 72x8! / 6! = 72 * 8 * 7 = 4032 | |||
E 6 | {3,3,3 2,1 } | f 6 | 27 | 216 | 720 | 1080 | 216 | 432 | 27 | 72 | 56 | * | () | E 7 / E 6 = 72x8! / 72x6! = 8 * 7 = 56 | |
A 6 | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 0 | 21 | 0 | 7 | * | 576 | E 7 / A 6 = 72x8! / 7! = 72 × 8 = 576 |
Images
E7 | E6 / F4 | B6 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[dix] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Polytopes et nids d'abeilles associés
2 k 1 chiffres en n dimensions | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacer | Fini | Euclidienne | Hyperbolique | ||||||||
n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | dix | |||
Groupe Coxeter |
E 3 = A 2 A 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 = = E 8 + | E 10 = = E 8 ++ | |||
Diagramme de Coxeter |
|||||||||||
Symétrie | [3 -1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Commander | 12 | 120 | 384 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
Graphique | - | - | |||||||||
Nom | 2 −1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
Polytope 2_31 rectifié
Rectifié 2 31 polytope | |
---|---|
Taper | Uniforme 7-polytope |
Famille | 2 k1 polytope |
Symbole Schläfli | {3,3,3 3,1 } |
Symbole de Coxeter | t 1 (2 31 ) |
Diagramme de Coxeter | |
6 faces | 758 |
5 faces | 10332 |
4 faces | 47880 |
Cellules | 100800 |
Visages | 90720 |
Bords | 30240 |
Sommets | 2016 |
Figure de sommet | 6-demicube |
Polygone de Petrie | Octadécagone |
Groupe Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ] |
Propriétés | convexe |
Le rectifié 2 31 est une rectification du polytope 2 31 , créant de nouveaux sommets sur le centre du bord du 2 31 .
Noms alternatifs
- Pentacontihexa-pentacosiheptacontihexa-exon rectifié - sous forme de polyexon rectifié à facettes 56-576 (acronyme rolaq) (Jonathan Bowers)
Construction
Il est créé par une construction Wythoff sur un ensemble de 7 miroirs hyperplan dans un espace à 7 dimensions.
Les informations de facette peuvent être extraites de son diagramme de Coxeter-Dynkin , .
La suppression du nœud sur la branche courte laisse le 6-simplex rectifié , .
La suppression du nœud à l'extrémité de la branche de 2 longueurs laisse le, 6-demicube , .
La suppression du nœud à l'extrémité de la branche de 3 longueurs laisse le rectifié 2 21 , .
La figure du sommet est déterminée en supprimant le nœud annelé et en faisant sonner le nœud voisin.
Images
E7 | E6 / F4 | B6 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[dix] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Voir également
Remarques
Les références
- Elte, EL (1912), The Semirregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: Université de Groningen
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3e édition, Dover New York, 1973
-
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papier 24) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Klitzing, Richard. "Polytopes uniformes 7D (polyexa)" . x3o3o3o * c3o3o3o - laq, o3x3o3o * c3o3o3o - rolaq