Polytope pentagonal - Pentagonal polytope

En géométrie , un polytope pentagonal est un polytope régulier en n dimensions construit à partir du groupe H _n Coxeter . La famille a été nommée par HSM Coxeter , car le polytope pentagonal bidimensionnel est un pentagone . Il peut être nommé par son symbole Schläfli comme {5, 3 ^{n - 2} } (dodécaèdre) ou {3 ^{n - 2} , 5} (icosaèdre).

Membres de la famille

La famille commence comme 1-polytopes et se termine par n = 5 comme pavages infinis d'espace hyperbolique à 4 dimensions.

Il existe deux types de polytopes pentagonaux; ils peuvent être appelés les types dodécaédrique et icosaédrique , par leurs membres tridimensionnels. Les deux types sont duels l'un de l'autre.

Dodécaédrique

La famille complète des polytopes pentagonaux dodécaédriques est:

1. Segment de ligne , {}
2. Pentagone , {5}
3. Dodécaèdre , {5, 3} (12 faces pentagonales )
4. 120 cellules , {5, 3, 3} (120 cellules dodécaédriques )
5. Order-3 Nid d'abeille à 120 cellules , {5, 3, 3, 3} (pavés à 4 espaces hyperboliques (∞ facettes à 120 cellules )

Les facettes de chaque polytope pentagonal dodécaédrique sont les polytopes pentagonaux dodécaédriques d'une dimension en moins. Leurs figures de sommet sont les simplices d'une dimension en moins.

Polytopes pentagonaux dodécaédriques

n	Groupe Coxeter	Projection de polygones de Petrie	Nom Diagramme de Coxeter Symbole Schläfli	Facettes	Éléments
					Sommets	Bords	Visages	Cellules	4 faces
1	${\ displaystyle H_ {1}}$ [] (ordre 2)		Segment de ligne {}	2 sommets	2
2	${\ displaystyle H_ {2}}$ [5] (ordre 10)		Pentagone {5}	5 bords	5	5
3	${\ displaystyle H_ {3}}$ [5,3] (commande 120)		Dodécaèdre {5, 3}	12 pentagones	20	30	12
4	${\ displaystyle H_ {4}}$ [5,3,3] (commande 14400)		120 cellules {5, 3, 3}	120 dodécaèdres	600	1200	720	120
5	${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {4}}$ [5,3,3,3] (ordre ∞)		Nid d'abeille 120 cellules {5, 3, 3, 3}	∞ 120 cellules	∞	∞	∞	∞	∞

Icosaèdre

La famille complète des polytopes pentagonaux icosaèdres est:

1. Segment de ligne , {}
2. Pentagone , {5}
3. Icosaèdre , {3, 5} (20 faces triangulaires )
4. 600 cellules , {3, 3, 5} (600 cellules tétraèdres )
5. Ordre 5 nid d'abeille à 5 cellules , {3, 3, 3, 5} (pavé 4 espaces hyperboliques (∞ facettes à 5 cellules )

Les facettes de chaque polytope pentagonal icosaédrique sont les simplices d'une dimension en moins. Leurs figures de sommet sont des polytopes pentagonaux icosaédriques d'une dimension en moins.

Polytopes pentagonaux icosaédriques

n	Groupe Coxeter	Projection de polygones de Petrie	Nom Diagramme de Coxeter Symbole Schläfli	Facettes	Éléments
					Sommets	Bords	Visages	Cellules	4 faces
1	${\ displaystyle H_ {1}}$ [] (ordre 2)		Segment de ligne {}	2 sommets	2
2	${\ displaystyle H_ {2}}$ [5] (ordre 10)		Pentagone {5}	5 bords	5	5
3	${\ displaystyle H_ {3}}$ [5,3] (commande 120)		Icosaèdre {3, 5}	20 triangles équilatéraux	12	30	20
4	${\ displaystyle H_ {4}}$ [5,3,3] (commande 14400)		600 cellules {3, 3, 5}	600 tétraèdres	120	720	1200	600
5	${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {4}}$ [5,3,3,3] (ordre ∞)		Nid d'abeille à 5 cellules Order-5 {3, 3, 3, 5}	∞ 5 cellules	∞	∞	∞	∞	∞

Polytopes en étoile et nids d'abeilles associés

Les polytopes pentagonaux peuvent être étoilés pour former de nouveaux polytopes réguliers en étoile :

• En deux dimensions, on obtient le pentagramme {5/2},
• En trois dimensions, cela forme les quatre polyèdres de Kepler – Poinsot , { 3,5 / 2 }, { 5 / 2,3 }, { 5,5 / 2 } et { 5 / 2,5 }.
• En quatre dimensions, cela forme les dix polychores Schläfli – Hess : { 3,5,5 / 2 }, { 5 / 2,5,3 }, { 5,5 / 2,5 }, { 5,3,5 / 2 }, { 5 / 2,3,5 }, { 5 / 2,5,5 / 2 }, { 5,5 / 2,3 }, { 3,5 / 2,5 }, { 3,3, 5/2 } et { 5 / 2,3,3 }.
• Dans l'espace hyperbolique à quatre dimensions, il y a quatre nids d'abeilles en étoile réguliers : {5 / 2,5,3,3} , {3,3,5,5 / 2} , {3,5,5 / 2,5} , et {5,5 / 2,5,3} .

Dans certains cas, les polytopes pentagonaux en étoile sont eux-mêmes comptés parmi les polytopes pentagonaux.

Comme les autres polytopes, les étoiles régulières peuvent être combinées avec leurs duales pour former des composés;

• En deux dimensions, une étoile décagrammique {10/2} est formée,
• En trois dimensions, nous obtenons le composé du dodécaèdre et de l'icosaèdre ,
• En quatre dimensions, nous obtenons le composé de 120 cellules et 600 cellules .

Les polytopes en étoile peuvent également être combinés.

Remarques

Les références

• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papier 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Coxeter , Polytopes réguliers , 3e. éd., Dover Publications, 1973. ISBN   0-486-61480-8 . (Tableau I (ii): 16 polytopes réguliers {p, q, r} en quatre dimensions, pp. 292-293)