Grand icosaèdre - Great icosahedron

Grand icosaèdre
Taper	Polyèdre de Kepler-Poinsot
Noyau stellaire	icosaèdre
Éléments	F = 20, E = 30 V = 12 (χ = 2)
Visages à côté	20{3}
Symbole Schläfli	{3, 5 / 2 }
Configuration du visage	V(5 3 )/2
Symbole Wythoff	5 / 2 | 2 3
Diagramme de Coxeter
Groupe Symétrie	I h , H 3 , [5,3], (*532)
Les références	U 53 , C 69 , W 41
Propriétés	Régulier non convexes deltaèdre
(3 5 )/2 ( figure de sommet )	Grand dodécaèdre étoilé ( double polyèdre )

Modèle 3D d'un grand icosaèdre

En géométrie , le grand icosaèdre est l' un des quatre Kepler-Poinsot polyèdres ( non convexes de polyèdres réguliers ), avec le symbole Schläfli {3, 5 / 2 } et diagramme Coxeter-Dynkin de. Il est composé de 20 faces triangulaires sécantes, ayant cinq triangles se rencontrant à chaque sommet dans une séquence pentagrammique .

Le grand icosaèdre peut être construit de manière analogue au pentagramme, son analogue à deux dimensions, via l'extension des faces simplex ( n-1 )-D du polytope n D du noyau (triangles équilatéraux pour le grand icosaèdre, et segments de droite pour le pentagramme) jusqu'à ce que la figure retrouve des visages réguliers. Le grand 600-cell peut être considéré comme son analogue à quatre dimensions utilisant le même processus.

Images

Modèle transparent	Densité	Diagramme d'étoiles	Rapporter
Un modèle transparent du grand icosaèdre (Voir aussi Animation )	Il a une densité de 7, comme le montre cette coupe transversale.	C'est une stellation de l'icosaèdre, comptée par Wenninger comme modèle [W41] et la 16e des 17 stellations de l'icosaèdre et la 7e des 59 stellations de Coxeter .	× 12 Net (géométrie de surface); douze pyramides pentagrammiques isocèles, disposées comme les faces d'un dodécaèdre. Chaque pyramide se replie en éventail : les pointillés se replient en sens inverse des traits pleins.

Carrelage sphérique

Ce polyèdre représente un pavage sphérique avec une densité de 7. (Une face triangulaire sphérique est montrée ci-dessus, cernée en bleu, remplie en jaune)

En guise de camouflet

Le grand icosaèdre peut être construit d'un pied uniforme, avec des faces colorées différentes et seulement une symétrie tétraédrique :. Cette construction peut être appelée tétraèdre rétrosnub ou tétratétraèdre rétrosnub , similaire à la symétrie du tétraèdre snub de l' icosaèdre , comme facettage partiel de l' octaèdre tronqué (ou tétraèdre omnitronqué ):. Il peut également être construit avec 2 couleurs de triangles et une symétrie pyritoédrique comme, ou alors , et est appelé un octaèdre rétrosnub .

tétraédrique	Pyritoédrique

Polyèdres associés

Séquence de troncature animée de {5/2, 3} à {3, 5/2}

Il partage le même arrangement de sommets que l' icosaèdre convexe régulier . Il partage également la même disposition de bord que le petit dodécaèdre étoilé .

Une opération de troncature, appliquée à plusieurs reprises au grand icosaèdre, produit une séquence de polyèdres uniformes. La troncature des bords jusqu'aux points produit le grand icosidodécaèdre comme un grand icosaèdre rectifié. Le processus se termine par une birectification, réduisant les faces originales à des points et produisant le grand dodécaèdre étoilé .

Le tronqué grand dodécaèdre étoilé est un polyèdre dégénéré, avec 20 faces triangulaires des sommets tronqués, et 12 (caché) plié en deux faces pentagonales ({10/2}) comme troncatures des faces de pentagramme d' origine, celle - ci formant deux grands dodécaèdres inscrit à l'intérieur et partageant les bords de l'icosaèdre.

Nom	Grande Stellated dodécaèdre	Grand dodécaèdre étoilé tronqué	Grand icosidodécaèdre	Tronqué grand icosaèdre	Grand icosaèdre
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Photo

Les références

• Wenninger, Magnus (1974). Modèles de polyèdres . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 0-521-09859-9.
• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Du Val, P.; Flather, HT; Petrie, JF (1999). Les cinquante-neuf icosaèdres (3e éd.). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR  0676126 . (1ère Edn Université de Toronto (1938))
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , (3e édition, 1973), édition de Douvres, ISBN  0-486-61480-8 , 3.6 6.2 Stellating the Platonic solids , pp. 96-104

Liens externes

• Eric W. Weisstein , Grand icosaèdre ( Polyèdre uniforme ) à MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Quinze stellations de l'icosaèdre" . MathWorld .
• Polyèdres uniformes et duels

stellations notables de l'icosaèdre
Ordinaire	Duels uniformes			Composés réguliers			Étoile régulière	Autres
icosaèdre (convexe)	Petit icosaèdre triambique	Icosaèdre triambique médial	Grand icosaèdre triambique	Composé de cinq octaèdres	Composé de cinq tétraèdres	Composé de dix tétraèdres	Grand icosaèdre	Dodécaèdre excavé	étoile finale
Le processus de stellation sur l'icosaèdre crée un certain nombre de polyèdres et de composés apparentés avec une symétrie icosaédrique .