Grand dodécaèdre étoilé - Great stellated dodecahedron
| Grand dodécaèdre étoilé | |
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| Taper | Polyèdre de Kepler-Poinsot |
| Noyau stellaire | dodécaèdre régulier |
| Éléments |
F = 12, E = 30 V = 20 (χ = 2) |
| Visages à côté | 12 { 5 / 2 } |
| Symbole Schläfli | { 5 / 2 , 3} |
| Configuration du visage | V(3 5 )/2 |
| Symbole Wythoff | 3 | 2 cinq / 2 |
| Diagramme de Coxeter |
     
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| Groupe Symétrie | I h , H 3 , [5,3], (*532) |
| Les références | U 52 , C 68 , W 22 |
| Propriétés | Régulier non convexe |
 ( 5 / 2 ) 3 ( figure Vertex ) |
 Grand icosaèdre ( double polyèdre ) |
En géométrie , le grand dodécaèdre étoilé est un polyèdre Kepler-Poinsot , avec symbole Schläfli { 5 / 2 , 3}. C'est l'un des quatre polyèdres réguliers non convexes .
Il est composé de 12 faces pentagrammiques qui se croisent , avec trois pentagrammes se rencontrant à chaque sommet.
Il partage son arrangement de sommets , mais pas sa figure de sommet ou sa configuration de sommet , avec le dodécaèdre régulier , tout en étant une stellation d'un dodécaèdre (plus petit). C'est la seule stellation dodécaédrique avec cette propriété, en dehors du dodécaèdre lui-même. Son dual, le grand icosaèdre , est apparenté de la même manière à l' icosaèdre .
Le rasage des pyramides triangulaires donne un icosaèdre .
Si les faces pentagrammiques sont divisées en triangles, cela est topologiquement lié à l' icosaèdre triakis , avec la même connectivité de face, mais des faces triangulaires isocèles beaucoup plus hautes . Si les triangles sont plutôt faits pour s'inverser et creuser l'icosaèdre central, le résultat est un grand dodécaèdre .
Le grand dodécaèdre étoilé peut être construit de manière analogue au pentagramme, son analogue bidimensionnel, en essayant d'étoiler le polytope pentagonal à n dimensions qui a des faces polytopiques pentagonales et des figures de sommet simplex jusqu'à ce qu'il ne puisse plus être étoilé ; c'est-à-dire que c'est son étoile finale.
Images
| Modèle transparent | Carrelage |
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 Grand dodécaèdre étoilé transparent ( Animation ) |
 Ce polyèdre peut être réalisé sous forme de carrelage sphérique avec une densité de 7. (Une face de pentagramme sphérique est montrée ci-dessus, encadrée en bleu, remplie de jaune) |
| Rapporter | Facettes stellaires |
 × 20Un filet d'un grand dodécaèdre étoilé (géométrie de surface); vingt pyramides triangulaires isocèles, disposées comme les faces d'un icosaèdre. |
 Il peut être construit comme la troisième des trois stellations du dodécaèdre, et référencé comme le modèle de Wenninger [W22] . |
 Filet complet d'un grand dodécaèdre étoilé. |
Polyèdres associés
Un processus de troncature appliqué au grand dodécaèdre étoilé produit une série de polyèdres uniformes. La troncature des bords jusqu'aux points produit le grand icosidodécaèdre sous la forme d'un grand dodécaèdre étoilé rectifié. Le processus se termine par une birectification, réduisant les faces originales en pointes et produisant le grand icosaèdre .
Le tronqué grand dodécaèdre étoilé est un dégénéré polyèdre, avec 20 faces triangulaires des sommets tronqués, et 12 (cachées) faces pentagonales comme troncatures des faces de pentagramme d' origine, ce dernier formant un grand dodécaèdre inscrit à l' intérieur et partageant les bords de l'icosaèdre.
| Stellations du dodécaèdre | ||||||
| Solide platonique | Solides de Kepler-Poinsot | |||||
| Dodécaèdre | Petit dodécaèdre étoilé | Grand dodécaèdre | Grand dodécaèdre étoilé | |||
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| Nom | Grande Stellated dodécaèdre |
Grand dodécaèdre étoilé tronqué |
Grand icosidodécaèdre |
Tronqué grand icosaèdre |
Grand icosaèdre |
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Diagramme de Coxeter-Dynkin |
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Les références
- Wenninger, Magnus (1974). Modèles de polyèdres . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 0-521-09859-9.
- Coxeter, Harold (1954). "Polyèdres uniformes". Transactions philosophiques de la Royal Society de Londres. Série A, Sciences Mathématiques et Physiques . Société royale . 246 (916) : 401–450. doi : 10.1098/rsta.1954.0003 . JSTOR 91532 . S2CID 202575183 .