Uniforme 10-polytope - Uniform 10-polytope
Dans dix dimensions géométrie , un 10-polytope est une 10 dimension polytope dont le bord est constitué de 9-polytope facettes , ces facettes exactement deux réunis à chaque 8-polytope crête .
Un 10-polytope uniforme est celui qui est vertex-transitif et construit à partir de facettes uniformes .
10-polytopes réguliers
Les 10-polytopes réguliers peuvent être représentés par le symbole de Schläfli {p, q, r, s, t, u, v, w, x}, avec x {p, q, r, s, t, u, v, w} 9 facettes polytopes autour de chaque pic .
Il existe exactement trois de ces 10-polytopes réguliers convexes :
- {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10 simplex
- {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10 cubes
- {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-orthoplex
Il n'y a pas de 10-polytopes réguliers non convexes.
Caractéristique d'Euler
La topologie de tout 10-polytope donné est définie par ses nombres de Betti et ses coefficients de torsion .
La valeur de la caractéristique d'Euler utilisée pour caractériser les polyèdres ne se généralise pas utilement aux dimensions supérieures, et est nulle pour tous les 10-polytopes, quelle que soit leur topologie sous-jacente. Cette inadéquation de la caractéristique d'Euler à distinguer de manière fiable entre différentes topologies de dimensions supérieures a conduit à la découverte des nombres de Betti plus sophistiqués.
De même, la notion d'orientabilité d'un polyèdre est insuffisante pour caractériser les torsions de surface des polytopes toroïdaux, ce qui a conduit à l'utilisation de coefficients de torsion.
10-polytopes uniformes par groupes fondamentaux de Coxeter
Des 10-polytopes uniformes à symétrie réfléchissante peuvent être générés par ces trois groupes de Coxeter, représentés par des permutations d'anneaux des diagrammes de Coxeter-Dynkin :
# | Groupe Coxeter | Diagramme de Coxeter-Dynkin | |
---|---|---|---|
1 | Un 10 | [3 9 ] | |
2 | B 10 | [4,3 8 ] | |
3 | J 10 | [3 7,1,1 ] |
Les 10-polytopes réguliers et uniformes sélectionnés de chaque famille comprennent:
-
Famille Simplex : A 10 [3 9 ] -
- 527 10-polytopes uniformes comme permutations d'anneaux dans le diagramme de groupe, dont un régulier:
- {3 9 } - 10 simplex -
- 527 10-polytopes uniformes comme permutations d'anneaux dans le diagramme de groupe, dont un régulier:
-
Famille Hypercube / orthoplex : B 10 [4,3 8 ] -
- 1023 10-polytopes uniformes comme permutations d'anneaux dans le diagramme de groupe, dont deux réguliers:
- {4,3 8 } - 10 cubes ou dekeract -
- {3 8 , 4} - 10-orthoplex ou décacross -
- h {4,3 8 } - 10-demicube .
- 1023 10-polytopes uniformes comme permutations d'anneaux dans le diagramme de groupe, dont deux réguliers:
-
Famille Demihypercube D 10 : [3 7,1,1 ] -
- 767 10-polytopes uniformes comme permutations d'anneaux dans le diagramme de groupe, y compris:
- 1 7,1 - 10- demicube ou demidekeract -
- 7 1,1 - 10-orthoplex -
- 767 10-polytopes uniformes comme permutations d'anneaux dans le diagramme de groupe, y compris:
La famille A 10
La famille A 10 a une symétrie d'ordre 39 916 800 (11 factorielle ).
Il existe 512 + 16-1 = 527 formes basées sur toutes les permutations des diagrammes de Coxeter-Dynkin avec un ou plusieurs anneaux. 31 sont montrées ci-dessous: toutes les formes à un et deux anneaux, et la forme omnitronquée finale. Les noms d'acronymes de style Bowers sont indiqués entre parenthèses pour les renvois.
# | Graphique |
Diagramme de Coxeter-Dynkin Symbole de Schläfli Nom |
Nombre d'éléments | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9 faces | 8 faces | 7 faces | 6 faces | 5 faces | 4 faces | Cellules | Visages | Bords | Sommets | |||
1 |
|
11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | |
2 |
|
495 | 55 | |||||||||
3 |
|
1980 | 165 | |||||||||
4 |
|
4620 | 330 | |||||||||
5 |
|
6930 | 462 | |||||||||
6 |
|
550 | 110 | |||||||||
7 |
|
4455 | 495 | |||||||||
8 |
|
2475 | 495 | |||||||||
9 |
|
15840 | 1320 | |||||||||
dix |
|
17820 | 1980 | |||||||||
11 |
|
6600 | 1320 | |||||||||
12 |
|
32340 | 2310 | |||||||||
13 |
|
55440 | 4620 | |||||||||
14 |
|
41580 | 4620 | |||||||||
15 |
|
11550 | 2310 | |||||||||
16 |
|
41580 | 2772 | |||||||||
17 |
|
97020 | 6930 | |||||||||
18 |
|
110880 | 9240 | |||||||||
19 |
|
62370 | 6930 | |||||||||
20 |
|
13860 | 2772 | |||||||||
21 |
|
34650 | 2310 | |||||||||
22 |
|
103950 | 6930 | |||||||||
23 |
|
161700 | 11550 | |||||||||
24 |
|
138600 | 11550 | |||||||||
25 |
|
18480 | 1320 | |||||||||
26 |
|
69300 | 4620 | |||||||||
27 |
|
138600 | 9240 | |||||||||
28 |
|
5940 | 495 | |||||||||
29 |
|
27720 | 1980 | |||||||||
30 |
|
990 | 110 | |||||||||
31 |
t 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 simplex omnitronqué |
199584000 | 39916800 |
La famille B 10
Il existe 1023 formes basées sur toutes les permutations des diagrammes de Coxeter-Dynkin avec un ou plusieurs anneaux.
Douze cas sont présentés ci-dessous: dix formes à un seul anneau ( rectifiées ) et deux troncatures. Les noms d'acronymes de style Bowers sont indiqués entre parenthèses pour les renvois.
# | Graphique |
Diagramme de Coxeter-Dynkin Symbole de Schläfli Nom |
Nombre d'éléments | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9 faces | 8 faces | 7 faces | 6 faces | 5 faces | 4 faces | Cellules | Visages | Bords | Sommets | |||
1 |
t 0 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubes (deker) |
20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | |
2 |
t 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubes tronqués (tade) |
51200 | 10240 | |||||||||
3 |
t 1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubes rectifiés (rade) |
46080 | 5120 | |||||||||
4 |
t 2 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubes birectifiés (brade) |
184320 | 11520 | |||||||||
5 |
t 3 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubes trirectifiés (commerce) |
322560 | 15360 | |||||||||
6 |
t 4 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 cubes quadrirectifiés (terade) |
322560 | 13440 | |||||||||
7 |
t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-orthoplex quadrirectifiés (terake) |
201600 | 8064 | |||||||||
8 |
t 3 {3,3,3,3,3,3,3,4} 10-orthoplex trirectifiés (trake) |
80640 | 3360 | |||||||||
9 |
t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-orthoplex birectifié (frein) |
20160 | 960 | |||||||||
dix |
t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-orthoplex rectifié (râteau) |
2880 | 180 | |||||||||
11 |
t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-orthoplex tronqué (prise) |
3060 | 360 | |||||||||
12 |
t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-orthoplex (ka) |
1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 |
La famille D 10
La famille D 10 a une symétrie d'ordre 1 857 945 600 (10 factorielle × 2 9 ).
Cette famille a 3 × 256−1 = 767 polytopes uniformes wythoffiens, générés en marquant un ou plusieurs nœuds du diagramme D 10 de Coxeter-Dynkin . Parmi ceux-ci, 511 (2 × 256−1) sont répétés dans la famille B 10 et 256 sont uniques à cette famille, avec 2 énumérés ci-dessous. Les noms d'acronymes de style Bowers sont indiqués entre parenthèses pour les renvois.
# | Graphique |
Diagramme de Coxeter-Dynkin Symbole de Schläfli Nom |
Nombre d'éléments | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9 faces | 8 faces | 7 faces | 6 faces | 5 faces | 4 faces | Cellules | Visages | Bords | Sommets | |||
1 |
10- demicube (hede) |
532 | 5300 | 24 000 | 64800 | 115584 | 142464 | 122880 | 61440 | 11520 | 512 | |
2 |
10- demicube tronqué (thede) |
195840 | 23040 |
Nids d'abeilles réguliers et uniformes
Il existe quatre groupes de Coxeter affines fondamentaux qui génèrent des pavages réguliers et uniformes dans l'espace 9:
# | Groupe Coxeter | Diagramme de Coxeter-Dynkin | |
---|---|---|---|
1 | [3 [10] ] | ||
2 | [4,3 7 , 4] | ||
3 | h [4,3 7 , 4] [4,3 6 , 3 1,1 ] |
||
4 | q [4,3 7 , 4] [3 1,1 , 3 5 , 3 1,1 ] |
Les pavages réguliers et uniformes comprennent:
- Nid d'abeille régulier 9-hypercubique , avec symboles {4,3 7 , 4},
- Nid d'abeilles 9 hypercubiques alterné uniforme avec les symboles h {4,3 7 , 4},
Nids d'abeilles hyperboliques réguliers et uniformes
Il n'y a pas de groupes de Coxeter hyperboliques compacts de rang 10, des groupes qui peuvent générer des nids d'abeilles avec toutes les facettes finies et une figure de sommet finie . Cependant, il existe 3 groupes de Coxeter hyperboliques non compacts de rang 9, chacun générant des nids d'abeilles uniformes dans l'espace 9 sous forme de permutations d'anneaux des diagrammes de Coxeter.
= [3 1,1 , 3 4 , 3 2,1 ]: |
= [4,3 5 , 3 2,1 ]: |
ou = [3 6,2,1 ]: |
Trois nids d'abeilles de la famille, générés par des diagrammes de Coxeter à anneaux d'extrémité sont:
Les références
- T.Gosset : Sur les figures régulières et semi-régulières dans l'espace de n dimensions , Messager des mathématiques , Macmillan, 1900
- A. Boole Stott : Déduction géométrique de semi-régulier à partir de polytopes réguliers et de remplissages d'espace , Verhandelingen de la Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
-
HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins et JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3e édition, Dover New York, 1973
-
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,
ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papier 22) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Papier 23) HSM Coxeter, Polytopes II régulier et semi-régulier , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papier 24) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- NW Johnson : The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, Université de Toronto, 1966
- Klitzing, Richard. "Polytopes uniformes 10D (polyxenne)" .
Liens externes
- Noms de polytope
- Polytopes de différentes dimensions , Jonathan Bowers
- Glossaire multidimensionnel
- Glossaire de l'hyperespace , George Olshevsky.