Deuxième espace dénombrable - Second-countable space

En topologie , un second espace dénombrable , également appelé espace complètement séparable , est un espace topologique dont la topologie a une base dénombrable . Plus explicitement, un espace topologique est dénombrable en second s'il existe une collection dénombrable de sous-ensembles ouverts de telle que tout sous-ensemble ouvert de peut être écrit comme une union d'éléments d'une sous-famille de . On dit qu'un deuxième espace dénombrable satisfait le deuxième axiome de dénombrement . Comme d'autres axiomes de dénombrement , la propriété d'être dénombrable en second lieu restreint le nombre d'ensembles ouverts qu'un espace peut avoir. ${\style d'affichage T}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage T}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

De nombreux espaces « bien élevés » en mathématiques sont dénombrables en second. Par exemple, l' espace euclidien ( R ⁿ ) avec sa topologie habituelle est dénombrable en second. Bien que la base habituelle des boules ouvertes soit indénombrable , on peut se restreindre à la collection de toutes les boules ouvertes de rayons rationnels et dont les centres ont des coordonnées rationnelles. Cet ensemble restreint est dénombrable et constitue toujours une base.

Propriétés

La deuxième dénombrement est une notion plus forte que la première dénombrement . Un espace est d'abord dénombrable si chaque point a une base locale dénombrable . Étant donné une base pour une topologie et un point x , l'ensemble de tous les ensembles de base contenant x forme une base locale en x . Ainsi, si on a une base dénombrable pour une topologie alors on a une base locale dénombrable en chaque point, et donc chaque deuxième espace dénombrable est aussi un premier espace dénombrable. Cependant, tout espace discret indénombrable est dénombrable en premier mais pas dénombrable en second.

La deuxième dénombrement implique certaines autres propriétés topologiques. Plus précisément, chaque seconde espace dénombrable est séparable (a un sous - ensemble dense dénombrable ) et Lindelöf (chaque couvercle ouvert a un sous- couvercle dénombrable). Les implications inverses ne tiennent pas. Par exemple, la topologie de limite inférieure sur la ligne réelle est dénombrable en premier, séparable et Lindelöf, mais pas dénombrable en second. Pour les espaces métriques , cependant, les propriétés d'être dénombrable en seconde, séparable et Lindelöf sont toutes équivalentes. Par conséquent, la topologie limite inférieure sur la ligne réelle n'est pas métrisable.

En second dénombrables espaces, comme dans le système métrique spaces- compacité , la compacité séquentielle, et la compacité dénombrable sont tous des propriétés équivalentes.

Le théorème de métrisation d'Urysohn stipule que chaque espace régulier de Hausdorff dénombrable est métrisable . Il s'ensuit que chacun de ces espaces est tout à fait normal ainsi que paracompact . La deuxième dénombrabilité est donc une propriété assez restrictive sur un espace topologique, ne nécessitant qu'un axiome de séparation pour impliquer la métrisabilité.

Autres propriétés

• Une image continue et ouverte d'un espace dénombrable en seconde est dénombrable en seconde.
• Chaque sous - espace d'un espace dénombrable en seconde est dénombrable en seconde.
• Les quotients des espaces dénombrables en seconde n'ont pas besoin d'être dénombrables en seconde ; cependant, les quotients ouverts le sont toujours.
• Tout produit dénombrable d'un espace dénombrable en second est dénombrable en second, bien que les produits non dénombrables n'aient pas besoin de l'être.
• La topologie d'un second espace dénombrable a une cardinalité inférieure ou égale à c (la cardinalité du continuum ).${\style d'affichage T_{1}}$
• Toute base pour un second espace dénombrable a une sous-famille dénombrable qui est toujours une base.
• Chaque collection d'ensembles ouverts disjoints dans un second espace dénombrable est dénombrable.

Exemples et contre-exemples

• Considérons l'union dénombrable disjointe . Définissez une relation d'équivalence et une topologie de quotient en identifiant les extrémités gauches des intervalles - c'est-à-dire, identifiez 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k et ainsi de suite. X est dénombrable en second, en tant qu'union dénombrable d'espaces dénombrables en second. Cependant, X /~ n'est pas dénombrable en premier au coset des points identifiés et donc non dénombrable en second.${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$
• L'espace ci-dessus n'est pas homéomorphe au même ensemble de classes d'équivalence dotées de la métrique évidente : c'est-à-dire la distance euclidienne régulière pour deux points dans le même intervalle, et la somme des distances au point de gauche pour les points qui ne sont pas dans le même intervalle - - donnant une topologie strictement plus faible que l'espace ci-dessus. C'est un espace métrique séparable (considérez l'ensemble des points rationnels), et est donc dénombrable en second.
• La longue ligne n'est pas dénombrable en second, mais elle est dénombrable en premier.

Remarques

Les références

• Stephen Willard, Topologie générale , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• John G. Hocking et Gail S. Young (1961). Topologie. Réimpression corrigée, Douvres, 1988. ISBN  0-486-65676-4