-algèbre - σ-algebra

En analyse mathématique et en théorie des probabilités , une -algèbre (également -champ ) sur un ensemble X : (1) est une collection de sous - ensembles de X incluant X lui-même, (2) elle est fermée par complément , (3) elle est fermé sous les unions dénombrables , (4) il inclut le sous - ensemble vide , et (5) il est fermé sous les intersections dénombrables . ${\style d'affichage \Sigma }$

Le couple est appelé espace mesurable ou espace de Borel. ${\style d'affichage (X,\Sigma )}$

Une -algèbre est un type d' algèbre d'ensembles . Une algèbre d'ensembles n'a besoin d'être fermée que par l' union ou l' intersection d' un nombre fini de sous-ensembles, ce qui est une condition plus faible.

L'utilisation principale des -algèbres réside dans la définition des mesures ; spécifiquement, la collection de ces sous-ensembles pour lesquels une mesure donnée est définie est nécessairement une -algèbre. Ce concept est important dans l'analyse mathématique en tant que fondement de l' intégration de Lebesgue , et dans la théorie des probabilités , où il est interprété comme l'ensemble des événements auxquels on peut attribuer des probabilités. De plus, en probabilité, les -algèbres sont essentielles dans la définition de l' espérance conditionnelle .

En statistique , les (sous) σ-algèbres sont nécessaires pour la définition mathématique formelle d'une statistique suffisante , en particulier lorsque la statistique est une fonction ou un processus aléatoire et que la notion de densité conditionnelle n'est pas applicable.

Si une σ-algèbre possible est où est l' ensemble vide . En général, une algèbre finie est toujours une σ-algèbre. ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\},}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$${\displaystyle \varnothing }$

Si est une partition dénombrable de alors la collection de toutes les unions d'ensembles dans la partition (y compris l'ensemble vide) est une -algèbre. ${\displaystyle \left\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \right\}}$${\style d'affichage X}$

Un exemple plus utile est l'ensemble des sous-ensembles de la ligne réelle formé en commençant par tous les intervalles ouverts et en ajoutant toutes les unions dénombrables, les intersections dénombrables et les compléments relatifs et en poursuivant ce processus (par itération transfinie à travers tous les ordinaux dénombrables ) jusqu'à la fermeture appropriée. propriétés sont atteintes - la -algèbre produite par ce processus est connue sous le nom d' algèbre de Borel sur la droite réelle, et peut également être conçue comme la plus petite (c'est-à-dire "la plus grossière") σ-algèbre contenant tous les ensembles ouverts, ou contenant de manière équivalente tous les ensembles fermés. Il est fondamental de mesurer la théorie , et donc la théorie moderne des probabilités , et une construction connexe connue sous le nom de hiérarchie de Borel est pertinente pour la théorie descriptive des ensembles .

Motivation

Il existe au moins trois facteurs de motivation clés pour les -algèbres : définir des mesures, manipuler les limites des ensembles et gérer les informations partielles caractérisées par les ensembles.

Mesure

Une mesure sur est une fonction qui attribue un nombre réel non négatif à des sous-ensembles de ; cela peut être considéré comme précisant une notion de "taille" ou de "volume" pour les ensembles. Nous voulons que la taille de l'union d'ensembles disjoints soit la somme de leurs tailles individuelles, même pour une séquence infinie d' ensembles disjoints . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

On aimerait attribuer une taille à chaque sous-ensemble de mais dans de nombreux contextes naturels, ce n'est pas possible. Par exemple, l' axiome du choix implique que, lorsque la taille considérée est la notion ordinaire de longueur pour des sous-ensembles de la ligne réelle, alors il existe des ensembles pour lesquels aucune taille n'existe, par exemple, les ensembles de Vitali . Pour cette raison, on considère plutôt une collection plus petite de sous-ensembles privilégiés de Ces sous-ensembles seront appelés les ensembles mesurables. Ils sont clôturés par des opérations auxquelles on s'attendrait pour des ensembles mesurables ; c'est-à-dire que le complément d'un ensemble mesurable est un ensemble mesurable et que l'union dénombrable d'ensembles mesurables est un ensemble mesurable. Les collections non vides d'ensembles avec ces propriétés sont appelées σ-algèbres. ${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage X.}$

Limites des ensembles

De nombreuses utilisations de la mesure, telles que le concept de probabilité de convergence presque sûre , impliquent des limites de séquences d'ensembles . Pour cela, la fermeture sous les unions dénombrables et les intersections est primordiale. Les limites fixées sont définies comme suit sur les -algèbres.

• Le supremum limite d'une séquence dont chacun est un sous-ensemble de est${\style d'affichage A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,}$${\style d'affichage X,}$
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}.}$$

  
• La limite infimum d'une séquence dont chacune est un sous-ensemble de est${\style d'affichage A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,}$${\style d'affichage X,}$
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}.}$$

  
• Si, en effet,
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n},}$$

  
  alors l' existe comme cet ensemble commun.${\textstyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$

Sous--algèbres

Dans une grande partie de la probabilité, en particulier lorsqu'une espérance conditionnelle est impliquée, on s'intéresse à des ensembles qui ne représentent qu'une partie de toutes les informations possibles qui peuvent être observées. Cette information partielle peut être caractérisée par une -algèbre plus petite qui est un sous-ensemble de la -algèbre principale ; il consiste en la collection de sous-ensembles pertinents et déterminés uniquement par les informations partielles. Un exemple simple suffit à illustrer cette idée.

Imaginez que vous et une autre personne pariez sur un jeu qui implique de lancer une pièce à plusieurs reprises et d'observer si elle arrive à pile ( ) ou à pile ( ). Puisque vous et votre adversaire êtes chacun infiniment riches, il n'y a pas de limite à la durée du jeu. Cela signifie que l' espace échantillon doit être constitué de toutes les séquences infinies possibles de ou : ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage T}$ ${\displaystyle \Oméga }$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage T}$

Cependant, après les lancers de la pièce, vous voudrez peut-être déterminer ou réviser votre stratégie de pari avant le prochain lancer. L'information observée à ce stade peut être décrite en termes de 2 ⁿ possibilités pour les premiers flips. Formellement, puisque vous devez utiliser des sous-ensembles de ceci est codifié comme la -algèbre ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \Oméga ,}$

Remarquez qu'alors

où est la plus petite σ-algèbre contenant toutes les autres. ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$

Définition et propriétés

Définition

Tout au long, sera un ensemble et désignera son ensemble de puissance . Un sous - ensemble est appelé -algèbre s'il possède les trois propriétés suivantes : ${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$

1. ${\style d'affichage \Sigma }$est fermé par complémentation en${\style d'affichage X}$ : Si est un élément de alors son complément l'est aussi${\style d'affichage S}$${\style d'affichage \Sigma }$ ${\displaystyle X\setmoins S.}$
   • Dans ce contexte, est considéré comme l' ensemble universel .${\style d'affichage X}$
2. ${\style d'affichage \Sigma }$contient comme élément${\style d'affichage X}$ :${\displaystyle X\in \Sigma .}$
   • En supposant que (1) soit vérifiée, cette condition équivaut à contenir l' ensemble vide :${\style d'affichage \Sigma }$${\displaystyle \varnothing \in \Sigma .}$
3. ${\style d'affichage \Sigma }$est fermé sous des unions dénombrables : Si sont des éléments de alors leur union l'est aussi${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots }$${\style d'affichage \Sigma }$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}:=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \cdots .}$
   • En supposant que (1) et (2)
   soient vérifiés, il résulte des lois de De Morgan que cette condition équivaut à être fermée sous des intersections dénombrables : Si sont des éléments de alors leur intersection l'est aussi${\style d'affichage \Sigma }$${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots }$${\style d'affichage \Sigma }$${\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }S_{i}:=S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap \cdots .}$

De manière équivalente, une -algèbre est une algèbre d'ensembles fermée par unions dénombrables.

L' ensemble vide appartient à parce que par (2) , est dans et donc (1) implique que son complément, l'ensemble vide, est aussi dans De plus, puisque satisfait également la condition (3) , il s'ensuit que c'est le plus petit possible σ- algèbre sur La plus grande σ-algèbre possible est${\displaystyle \varnothing }$${\style d'affichage \Sigma }$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \Sigma }$${\style d'affichage \Sigma .}$${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle 2^{X}:={\mathcal {P}}(X).}$

Les éléments de la -algèbre sont appelés ensembles mesurables . Une paire ordonnée où est un ensemble et est une σ-algèbre sur est appelée un espace mesurable . Une fonction entre deux espaces mesurables est appelée fonction mesurable si la pré-image de chaque ensemble mesurable est mesurable. L'ensemble des espaces mesurables forme une catégorie , avec les fonctions mesurables comme morphismes . Les mesures sont définies comme certains types de fonctions d'une σ-algèbre à${\style d'affichage (X,\Sigma ),}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \Sigma }$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage [0,\infty ].}$

A σ-algèbre est à la fois un π -système et un système de Dynkin (λ-système). L'inverse est également vrai, par le théorème de Dynkin (ci-dessous).

Le théorème π-λ de Dynkin

Ce théorème (ou le théorème de classe monotone connexe ) est un outil essentiel pour prouver de nombreux résultats sur les propriétés de -algèbres spécifiques. Il capitalise sur la nature de deux classes d'ensembles plus simples, à savoir les suivantes.

A π -système est une collection de sous - ensembles de qui est fermé sous plusieurs intersections finiment, et${\style d'affichage P}$${\style d'affichage X}$

un système de Dynkin (ou 𝜆-système) est une collection de sous-ensembles de qui contient et est fermé sous complément et sous des unions dénombrables de sous-ensembles disjoints .${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Dynkin de π théorème -λ dit, si est un π -système et est un système Dynkin qui contient alors la σ-algèbre générée par est contenu dans Comme certains tc -Systems sont des classes relativement simples, il ne peut pas être difficile de vérifier que tous les jeux in profiter de la propriété considérée tout en montrant que la collection de tous les sous-ensembles avec la propriété est un système de Dynkin peut également être simple. Le théorème π -𝜆 de Dynkin implique alors que tous les ensembles dans apprécient la propriété, évitant la tâche de le vérifier pour un ensemble arbitraire dans${\style d'affichage P}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage \sigma (P)}$ ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage D.}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage \sigma (P)}$${\style d'affichage \sigma (P).}$

L'une des utilisations les plus fondamentales du théorème π -𝜆 est de montrer l'équivalence de mesures ou d'intégrales définies séparément. Par exemple, il est utilisé pour assimiler une probabilité pour une variable aléatoire à l' intégrale de Lebesgue-Stieltjes généralement associée au calcul de la probabilité : ${\style d'affichage X}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$pour tous dans la -algèbre de Borel sur${\style d'affichage A}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

où est la fonction de distribution cumulative pour définie sur tandis que est une mesure de probabilité , définie sur une -algèbre de sous - ensembles d'un espace échantillon${\style d'affichage F(x)}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Combiner des -algèbres

Supposons que soit une collection de -algèbres sur un espace${\textstyle \{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$${\style d'affichage X.}$

• L'intersection d'une collection de -algèbres est une σ-algèbre. Pour souligner son caractère de -algèbre, elle est souvent désignée par :
  $${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$$

  

  Croquis de preuve

  Notons l'intersection. Puisque est dans tout n'est pas vide. La fermeture sous complément et les unions dénombrables pour chaque implique que la même chose doit être vraie pour Par conséquent, est une -algèbre. ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha }}$${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

• L'union d'une collection de -algèbres n'est généralement pas une -algèbre, ni même une algèbre, mais elle génère une -algèbre connue sous le nom de jointure , qui est typiquement notée
  $${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\droit).}$$

  
  Un système π qui génère la jointure est
  $${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}}, \alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$

  

  Croquis de preuve

  Par le cas, on voit que chacun ainsi ${\style d'affichage n=1,}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}},}$ $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.}$$ Cela implique $${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})}$$ par la définition d'une -algèbre générée par une collection de sous-ensembles. D'autre part, $${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$$ qui, par de Dynkin de π théorème -λ, implique $${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

-algèbres pour les sous-espaces

Supposons que est un sous-ensemble de et soit un espace mesurable. ${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage (X,\Sigma )}$

• La collection est une -algèbre de sous-ensembles de${\displaystyle \{Y\cap S:S\in \Sigma \}}$${\style d'affichage Y.}$
• Supposons que est un espace mesurable. La collection est une -algèbre de sous-ensembles de${\style d'affichage (O,\Lambda )}$${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$${\style d'affichage X.}$

Relation avec l'anneau σ

Une -algèbre est juste un -anneau qui contient l'ensemble universel Un -anneau n'a pas besoin d'être une -algèbre, car par exemple les sous-ensembles mesurables de zéro mesure de Lebesgue dans la ligne réelle sont un -anneau, mais pas un σ -algèbre puisque la droite réelle a une mesure infinie et ne peut donc pas être obtenue par leur union dénombrable. Si, au lieu de mesure zéro, on prend des sous-ensembles mesurables de mesure de Lebesgue finie, ceux-ci sont un anneau mais pas un anneau , puisque la ligne réelle peut être obtenue par leur union dénombrable mais sa mesure n'est pas finie. ${\style d'affichage \Sigma }$${\style d'affichage X.}$

Note typographique

Les -algèbres sont parfois notées à l'aide de lettres majuscules calligraphiques ou de la police de caractères Fraktur . Ainsi peut être désigné comme ou${\style d'affichage (X,\Sigma )}$${\style d'affichage (X,\,{\mathcal {F}})}$${\style d'affichage (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Cas particuliers et exemples

-algèbres séparables

Une -algèbre séparable (ou -champ séparable ) est une -algèbre qui est un espace séparable lorsqu'il est considéré comme un espace métrique avec une métrique pour et une mesure donnée (et avec l' opérateur de différence symétrique ). Notez que toute -algèbre générée par une collection dénombrable d' ensembles est séparable, mais l'inverse n'a pas besoin d'être vérifié. Par exemple, la -algèbre de Lebesgue est séparable (puisque chaque ensemble mesurable de Lebesgue est équivalent à un ensemble de Borel) mais n'est pas générée de manière dénombrable (puisque sa cardinalité est supérieure au continuum). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \triangle }$

Un espace de mesure séparable a une pseudométrie naturelle qui le rend séparable en tant qu'espace pseudométrique . La distance entre deux ensembles est définie comme la mesure de la différence symétrique des deux ensembles. Notez que la différence symétrique de deux ensembles distincts peut avoir la mesure zéro ; par conséquent, la pseudométrique telle que définie ci-dessus n'a pas besoin d'être une vraie métrique. Cependant, si les ensembles dont la différence symétrique a une mesure zéro sont identifiés dans une seule classe d'équivalence , l' ensemble quotient résultant peut être correctement métré par la métrique induite. Si l'espace de mesure est séparable, on peut montrer que l'espace métrique correspondant l'est aussi.

Exemples simples basés sur des ensembles

Soit n'importe quel ensemble. ${\style d'affichage X}$

• La famille constituée uniquement de l'ensemble vide et de l'ensemble appelé la σ-algèbre minimale ou triviale sur${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage X.}$
• L' ensemble de puissance de appelé la σ-algèbre discrète .${\style d'affichage X,}$
• La collection est une simple σ-algèbre générée par le sous-ensemble${\displaystyle \left\{\varnothing ,X,A,X\setminus A\right\}}$${\style d'affichage A.}$
• La collection de sous-ensembles de qui sont dénombrables ou dont les compléments sont dénombrables est une -algèbre (qui est distincte de l'ensemble de puissance de si et seulement si est indénombrable). C'est la -algèbre générée par les singletons de Remarque : "dénombrable" inclut fini ou vide.${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$
• La collection de toutes les unions d'ensembles dans une partition dénombrable de est une -algèbre.${\style d'affichage X}$

Temps d'arrêt -algèbres

Un temps d'arrêt peut définir une -algèbre , la soi-disant -Algèbre de -passé, qui dans un espace de probabilité filtré décrit l'information jusqu'au temps aléatoire dans le sens où, si l'espace de probabilité filtré est interprété comme une expérience aléatoire , le maximum d'informations que l'on peut trouver sur l'expérience de la répéter arbitrairement souvent jusqu'à ce que le temps soit . ${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\style d'affichage \sigma }$${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$

-algèbres générées par des familles d'ensembles

-algèbre générée par une famille arbitraire

Soit une famille arbitraire de sous-ensembles de Alors il existe une unique plus petite σ-algèbre qui contient chaque ensemble (même si elle peut ou non être elle-même une σ-algèbre). C'est, en fait, l'intersection de toutes les -algèbres contenant (Voir intersections de -algèbres ci-dessus.) Cette -algèbre est notée et est appelée la -algèbre générée par${\style d'affichage F}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage F.}$${\style d'affichage \sigma (F)}$${\style d'affichage F.}$

Se compose alors de tous les sous-ensembles de qui peuvent être constitués d'éléments de par un nombre dénombrable d'opérations de complément, d'union et d'intersection. Si est vide, alors puisqu'une union et une intersection vides produisent respectivement l'ensemble vide et l'ensemble universel . ${\style d'affichage \sigma (F)}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage F}$${\displaystyle \sigma (F)=\{X,\varnothing \},}$

Pour un exemple simple, considérons l'ensemble Alors la -algèbre générée par le sous - ensemble unique est Par abus de notation , lorsqu'une collection de sous-ensembles contient un seul élément, on peut écrire à la place de s'il est clair que c'est un sous-ensemble de ; dans l'exemple précédent au lieu de Indeed, l'utilisation de signifiant est également assez courante. ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$${\style d'affichage \{1\}}$${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$${\style d'affichage A,}$${\style d'affichage \sigma (A)}$${\style d'affichage \sigma (\{A\})}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \sigma (\{1\})}$${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$

Il existe de nombreuses familles de sous-ensembles qui génèrent des -algèbres utiles. Certains d'entre eux sont présentés ici.

-algèbre générée par une fonction

Si est une fonction d'un ensemble à un ensemble et est une -algèbre de sous-ensembles de alors la -algèbre générée par la fonction désignée par est la collection de toutes les images inverses des ensembles dans c'est- à -dire, ${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage Y,}$ ${\style d'affichage f,}$${\style d'affichage \sigma (f),}$${\style d'affichage f^{-1}(S)}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage B.}$

Une fonction d'un ensemble à un ensemble est mesurable par rapport à une -algèbre de sous - ensembles de si et seulement si est un sous-ensemble de${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage \Sigma }$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \sigma (f)}$${\style d'affichage \Sigma .}$

Une situation courante, et comprise par défaut si n'est pas spécifié explicitement, est quand est un espace métrique ou topologique et est la collection d'ensembles de Borel sur${\style d'affichage B}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage Y.}$

Si est une fonction de à alors est générée par la famille de sous-ensembles qui sont des images inverses d'intervalles/rectangles dans : ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage \sigma (f)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Une propriété utile est la suivante. Supposons est une application mesurable de à et est une application mesurable de à S'il existe une application mesurable de à telle que pour tout alors Si est fini ou dénombrable ou, plus généralement, est un espace de Borel standard (par exemple, un espace complet séparable espace métrique avec ses ensembles de Borel associés), alors l'inverse est également vrai. Des exemples d'espaces de Borel standard incluent ses ensembles de Borel et la -algèbre cylindrique décrite ci-dessous. ${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$${\displaystyle g:X\to T}$${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right).}$${\displaystyle h:T\to S}$${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$${\style d'affichage f(x)=h(g(x))}$${\style d'affichage x,}$${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

-algèbres de Borel et Lebesgue

Un exemple important est l' algèbre de Borel sur tout espace topologique : la -algèbre générée par les ouverts (ou, de manière équivalente, par les fermés ). Notez que cette -algèbre n'est pas, en général, l'ensemble des puissances entières. Pour un exemple non trivial qui n'est pas un ensemble Borel, voir l' ensemble Vitali ou les ensembles Non-Borel .

Sur l' espace euclidien, une autre σ-algèbre est importante : celle de tous les ensembles mesurables de Lebesgue . Cette -algèbre contient plus d'ensembles que la -algèbre de Borel et est préférée en théorie de l' intégration , car elle donne un espace de mesure complet . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Produit σ-algèbre

Soit et soit deux espaces mesurables. La -algèbre pour l' espace produit correspondant est appelée la σ-algèbre produit et est définie par ${\style d'affichage (X_{1},\Sigma _{1})}$${\style d'affichage (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$

Observez qu'il s'agit d'un système π . ${\displaystyle \left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}}$

La -algèbre de Borel pour est générée par des rectangles semi-infinis et par des rectangles finis. Par exemple, ${\displaystyle R^{n}}$

Pour chacun de ces deux exemples, la famille de génération est un π -système .

-algèbre générée par les ensembles de cylindres

Supposer

est un ensemble de fonctions à valeur réelle sur . Notons les sous-ensembles de Borel de For each et un sous - ensemble de cylindres de est un ensemble fini défini comme ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb {T} }$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\style d'affichage X}$

$${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\{f\in X:f(t_{i})\in B_ {i},1\leq i\leq n\}.}$$

Pour chaque ${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb {T} ,}$

$${\displaystyle \{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\ mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}}$$

est un π -système qui génère une σ-algèbre alors la famille des sous - ensembles ${\textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\ Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$

est une algèbre qui génère la -algèbre cylindrique pour Cette σ-algèbre est une sous-algèbre de la -algèbre de Borel déterminée par la topologie produit de restreinte à${\style d'affichage X.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\style d'affichage X.}$

Un cas particulier important est celui où est l'ensemble des nombres naturels et est un ensemble de séquences à valeurs réelles. Dans ce cas, il suffit de considérer les ensembles de cylindres ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\style d'affichage X}$

$${\displaystyle C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n})=(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }) \cap X=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )\in X:x_{i}\in B_{i}, 1\leq i\leq n\},}$$

Pour qui

$${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma (\{C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\})}$$

est une suite non décroissante de -algèbres.

-algèbre générée par une variable aléatoire ou un vecteur

Supposons que est un

espace de probabilité . Si est mesurable par rapport à la -algèbre de Borel, alors est appelée variable aléatoire ( ) ou vecteur aléatoire ( ). La -algèbre générée par est ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$${\textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage n=1}$${\style d'affichage n>1}$${\style d'affichage Y}$

$${\displaystyle \sigma (Y)=\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\}.}$$

-algèbre générée par un processus stochastique

Supposons que est un

espace de probabilité et est l'ensemble des fonctions à valeur réelle sur . Si est mesurable par rapport à la σ-algèbre cylindrique (voir ci-dessus) car alors est appelé un processus stochastique ou un processus aléatoire . La -algèbre générée par est ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{X})}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage Y}$

$${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma ({\mathcal {F}}_{X})\right\}=\sigma (\ {Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\}),}$$

la -algèbre générée par les images inverses des ensembles de cylindres.

Voir également

• δ -ring  – Anneau fermé sous les intersections dénombrables
• Champ d'ensembles  - Concept algébrique en théorie de la mesure, également appelé algèbre d'ensembles.
• Join (algèbre sigma)
• Système 𝜆 (système Dynkin)  – Famille fermée sous compléments et unions disjointes dénombrables
• Fonction mesurable  - fonction pour laquelle la préimage d'un ensemble mesurable est mesurable
• Classe monotone
• π -system  – Famille d'ensembles fermés sous intersection
• Anneau d'ensembles  – Famille fermée sous unions et compléments relatifs
• Espace d'échantillon
• 𝜎-idéal  – Famille fermée sous sous-ensembles et unions dénombrables
• -ring  – Anneau fermé sous union dénombrable
• additivité

Les références

• Durrett, Richard (2019). Probabilité : théorie et exemples (PDF) . Série Cambridge en mathématiques statistiques et probabilistes. 49 (5e éd.). Cambridge New York, NY : Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Consulté le 5 novembre 2020 .

Liens externes

• "Algèbre des ensembles" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Sigma Algèbre à PlanetMath .

Familles d'ensembles${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sur${\displaystyle \Oméga }$
Est nécessairement vrai de ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ ou, est fermé sous :${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\style d'affichage A\cap B}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	FIP	Réalisé par${\style d'affichage \,\supseteq }$	${\style d'affichage A\tasse B}$	${\displaystyle A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots }$	${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \,\\&{\text{where }}A_{i}\nearrow \end{alignedat}} }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\style d'affichage A\setmoins B}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$
π -système
Système 𝜆 (Système Dynkin)			Jamais
Anneau (théorie de l'ordre)
Anneau (théorie de la mesure)			Jamais
-Anneau			Jamais
-Anneau			Jamais
Algèbre (Champ)			Jamais
-Algèbre (𝜎-Champ)			Jamais
Idéal double
Filtre									Jamais	Jamais	${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Préfiltre (Base du filtre)									Jamais	Jamais	${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Embase de filtre									Jamais	Jamais	${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Topologie			Jamais
Est nécessairement vrai de ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ ou, est fermé sous :${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	intersections finies	intersections dénombrables	Propriété d' intersection finie	dirigé vers le bas	unions finies	unions disjointes dénombrables	syndicats croissants dénombrables	syndicats comptables	compléments dans${\displaystyle \Oméga }$	compléments relatifs	contient ${\displaystyle \varnothing }$	contient ${\displaystyle \Oméga }$
Toutes les familles sont supposées non vides. ${\style d'affichage A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$sont des éléments arbitraires de désigne une union d' ensembles disjoints par paires (appelée union disjointe ). De plus, un semianneau est un π -système où chaque complément est égal à une union finie disjointe des ensembles dans un semialgebra est un semiring qui contient une classe monotone est une famille qui est fermée dans les deux syndicats de plus en plus dénombrables et les intersections dénombrables décroissantes. ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\displaystyle B\setmoins A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega .}$