Mesure de probabilité - Probability measure

Fait partie d'une série sur les statistiques
Théorie des probabilités
Probabilité Axiomes Déterminisme Système Indéterminisme Aléatoire
Espace de probabilité Espace d'échantillon Événement Des événements collectivement exhaustifs Événement élémentaire Exclusivité mutuelle Résultat Singleton Expérience Procès Bernoulli Distribution de probabilité Distribution de Bernoulli Distribution binomiale Distribution normale Mesure de probabilité Variable aléatoire procédé Bernoulli Continu ou discret Valeur attendue chaîne de Markov Valeur observée Marche aléatoire Processus stochastique
Événement complémentaire Probabilité conjointe Probabilité marginale Probabilite conditionnelle
Indépendance Indépendance conditionnelle Loi de probabilité totale Loi des grands nombres théorème de Bayes L'inégalité de Boole
Diagramme de Venn Diagramme d'arbre
v t e

En mathématiques , une mesure de probabilité est une fonction à valeur réelle définie sur un ensemble d'événements dans un espace de probabilité qui satisfait les propriétés de mesure telles que l' additivité dénombrable . La différence entre une mesure de probabilité et la notion plus générale de mesure (qui inclut des concepts tels que surface ou volume ) est qu'une mesure de probabilité doit attribuer la valeur 1 à l'ensemble de l'espace de probabilité.

Intuitivement, la propriété d'additivité dit que la probabilité attribuée à l'union de deux événements disjoints par la mesure devrait être la somme des probabilités des événements, par exemple la valeur attribuée à "1 ou 2" dans un lancer de dé devrait être la somme des valeurs affectées à "1" et "2".

Les mesures de probabilité ont des applications dans divers domaines, de la physique à la finance et à la biologie.

Définition

Une mesure de probabilité mappant l'espace de probabilité pour les événements à l' intervalle unitaire .${\style d'affichage 2^{3}}$

Les conditions requises pour une fonction μ est une mesure de probabilité sur un espace de probabilité sont les suivantes :

• μ doit renvoyer les résultats dans l' intervalle unitaire [0, 1], renvoyant 0 pour l'ensemble vide et 1 pour l'ensemble de l'espace.

• μ doit satisfaire lapropriété d' additivité dénombrable que pour toutes les collections dénombrables d' ensembles disjoints par paires:${\style d'affichage \{E_{i}\}}$

${\displaystyle \mu {\Bigl (}\bigcup _{i\in I}E_{i}{\Bigr )}=\sum _{i\in I}\mu (E_{i}).}$

Par exemple, étant donné trois éléments 1, 2 et 3 avec des probabilités 1/4, 1/4 et 1/2, la valeur attribuée à {1, 3} est 1/4 + 1/2 = 3/4, comme dans le schéma à droite.

La probabilité conditionnelle basée sur l'intersection d'événements définie comme :

${\displaystyle \mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.}$

satisfait aux exigences de mesure de probabilité tant qu'il n'est pas nul. ${\style d'affichage \mu (A)}$

Les mesures de probabilité sont distinctes de la notion plus générale de mesures floues dans laquelle il n'est pas nécessaire que les valeurs floues soient égales à 1, et la propriété additive est remplacée par une relation d'ordre basée sur l' inclusion d'ensembles .

Exemples d'applications

Dans de nombreux cas, la physique statistique utilise des mesures de probabilité , mais toutes les mesures qu'elle utilise ne sont pas des mesures de probabilité.

Les mesures de marché qui attribuent des probabilités aux espaces des marchés financiers sur la base des mouvements réels du marché sont des exemples de mesures de probabilité qui présentent un intérêt en finance mathématique , par exemple dans la tarification des dérivés financiers . Par exemple, une mesure neutre au risque est une mesure de probabilité qui suppose que la valeur actuelle des actifs est la valeur attendue du gain futur pris par rapport à cette même mesure neutre au risque (c'est-à-dire calculée à l'aide de la fonction de densité neutre au risque correspondante), et actualisé au taux sans risque . S'il existe une mesure de probabilité unique qui doit être utilisée pour évaluer les actifs sur un marché, alors le marché est appelé un marché complet .

Toutes les mesures qui représentent intuitivement le hasard ou la probabilité ne sont pas des mesures de probabilité. Par exemple, bien que le concept fondamental d'un système en mécanique statistique soit un espace de mesure, de telles mesures ne sont pas toujours des mesures de probabilité. En général, en physique statistique, si l'on considère des phrases de la forme "la probabilité d'un système S en supposant que l'état A est p", la géométrie du système ne conduit pas toujours à la définition d'une mesure de probabilité sous congruence , bien que cela puisse le faire ainsi dans le cas des systèmes à un seul degré de liberté.

Les mesures de probabilité sont également utilisées en biologie mathématique . Par exemple, dans une analyse comparative de séquences, une mesure de probabilité peut être définie pour la probabilité qu'un variant puisse être admissible pour un acide aminé dans une séquence.

Les ultrafiltres peuvent être compris comme des mesures de probabilité à valeur -, permettant de nombreuses preuves intuitives basées sur des mesures. Par exemple, le théorème de Hindman peut être prouvé à partir d'une étude plus approfondie de ces mesures, et de leur circonvolution en particulier. ${\style d'affichage \{0,1\}}$

Voir également

• mesure de Borel
• Mesure floue
• Mesure de Haar
• Mesure de martingale
• Mesure de Lebesgue

Les références

Lectures complémentaires

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilité et mesure . John Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
• Ash, Robert B.; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Théorie des probabilités et des mesures . Presse académique. ISBN 0-12-065202-1.

Liens externes

• Médias liés à la mesure de probabilité sur Wikimedia Commons