Rayon spectral - Spectral radius

En mathématiques , le rayon spectral d'une matrice carrée ou d'un opérateur linéaire borné est la plus grande valeur absolue de ses valeurs propres (c'est-à-dire supremum parmi les valeurs absolues des éléments de son spectre ). Il est parfois noté (·).

Matrices

Soit λ ₁ , ..., λ _n sont les ( réelles ou complexes valeurs propres d'une matrice) A ∈ C ^{n × n} . Alors son rayon spectral ρ ( A ) est défini comme :

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$

Le rayon spectral est une sorte d'infimum de toutes les normes d'une matrice. En effet, d'une part, pour toute norme matricielle naturelle ; et d'autre part, la formule de Gelfand indique que . Ces deux résultats sont présentés ci-dessous. ${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ ${\style d'affichage \|\cdot \|}$${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$

Cependant, le rayon spectral ne satisfait pas nécessairement pour des vecteurs arbitraires . Pour voir pourquoi, soyons arbitraires et considérons la matrice ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$${\style d'affichage r>1}$

${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$.

Le polynôme caractéristique de est , donc ses valeurs propres sont et donc . Cependant, . En conséquence, pour toute norme, ${\style d'affichage C_{r}}$${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$${\style d'affichage \{-1,1\}}$${\style d'affichage \rho (C_{r})=1}$${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \ell ^{p}}$

${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}$

Comme illustration de la formule de Gelfand, notez que as , puisque si est pair et si est impair. ${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle C_{r}^{k}=I}$${\style d'affichage k}$${\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}$${\style d'affichage k}$

Un cas particulier dans lequel pour tout est quand est une matrice hermitienne et est la norme euclidienne . En effet, toute matrice hermitienne est diagonalisable par une matrice unitaire , et les matrices unitaires préservent la longueur du vecteur : ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage \|\cdot \|}$

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U \mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}$

Opérateurs linéaires bornés

Pour un opérateur linéaire borné A sur un espace de Banach , les valeurs propres sont remplacés par le spectre de l'opérateur , les valeurs pour lesquelles ne parvient pas à être injective; on note le spectre par ${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$

${\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :\ker(A-\lambda I)\neq \emptyset \right\}}$

Le rayon spectral est alors défini comme le supremum des grandeurs des éléments du spectre :

${\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |}$

Si nous notons la norme de l' opérateur par , alors nous avons la formule du rayon spectral ou la formule de Gelfand : ${\style d'affichage \|\cdot \|}$

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Un opérateur borné (sur un espace de Hilbert complexe) est appelé opérateur spectraloïde si son rayon spectral coïncide avec son rayon numérique . Un exemple d'un tel opérateur est un opérateur normal .

Graphiques

Le rayon spectral d'un graphe fini est défini comme étant le rayon spectral de sa matrice d'adjacence .

Cette définition s'étend au cas des graphes infinis avec des degrés bornés de sommets (c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel C tel que le degré de chaque sommet du graphe est plus petit que C ). Dans ce cas, pour le graphe G définir :

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\ |f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}$

Soit γ l'opérateur d'adjacence de G :

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u, v)\in E(G)}f(u)\end{cas}}}$

Le rayon spectral de G est défini comme étant le rayon spectral de l'opérateur linéaire borné γ .

Limite supérieure

Bornes supérieures pour le rayon spectral d'une matrice

La proposition suivante montre une borne supérieure simple mais utile pour le rayon spectral d'une matrice :

Proposition. Soit A ∈ C ^{n × n} avec rayon spectral ρ ( A ) et une norme de la matrice cohérente || ⋅ || . Alors pour chaque entier : ${\displaystyle k\geqslant 1}$

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Preuve

Soit ( v , λ ) est un vecteur propre - valeur propre paire pour une matrice A . Par la propriété sous-multiplicative de la norme matricielle, on obtient :

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \ |\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}$

et puisque v 0 on a

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

et donc

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Bornes supérieures pour le rayon spectral d'un graphique

Il existe de nombreuses bornes supérieures pour le rayon spectral d'un graphe en fonction de son nombre n de sommets et de son nombre m d'arêtes. Par exemple, si

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq mn\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

où est un entier, alors ${\style d'affichage 3\leq k\leq n}$

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}} }}$

Séquence de puissance

Théorème

Le rayon spectral est étroitement lié au comportement de la convergence de la séquence de puissance d'une matrice ; à savoir, le théorème suivant est vérifié :

Théorème. Soit A ∈ C ^{n × n} avec rayon spectral ρ ( A ) . Alors ρ ( A ) < 1 si et seulement si

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$

En revanche, si ρ ( A ) > 1 , . L'énoncé est valable pour tout choix de norme matricielle sur C ^{n × n} .${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$

Preuve du théorème

Supposons que la limite en question soit nulle, nous montrerons que ρ ( A ) < 1 . Soit ( v , λ ) est un vecteur propre - valeur propre paire de A . Puisque A ^k v = λ ^k v on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v } \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}$

et, puisque par hypothèse v 0 , on doit avoir

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}$

ce qui implique |λ| < 1. Puisque cela doit être vrai pour toute valeur propre λ, nous pouvons conclure ρ( A ) < 1.

Supposons maintenant que le rayon de A est inférieur à 1 . De la forme normale Jordanie théorème, nous savons que pour tout A ∈ C ^{n × n} , il existe V , J ∈ C ^{n × n} avec V non singulier et J bloc diagonale tel que:

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$

avec

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

où

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf { C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$

Il est facile de voir que

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$

et, puisque J est bloc-diagonale,

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k }(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

Maintenant, un résultat standard sur la puissance k d'un bloc de Jordan indique que, pour : ${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choisissez 1}\lambda _{ i}^{k-1}&{k \choisissez 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choisissez m_{i}-1}\lambda _{i}^{ k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choisissez 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choisissez m_ {i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i }^{k}&{k \choisissez 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$

Ainsi, si alors pour tout i . Donc pour tout i on a : ${\style d'affichage \rho (A)<1}$ ${\style d'affichage |\lambda _{i}|<1}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$

ce qui implique

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$

Donc,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k \to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}$

De l'autre côté, si , il y a au moins un élément dans J qui ne reste pas borné lorsque k augmente, prouvant ainsi la deuxième partie de l'énoncé. ${\style d'affichage \rho (A)>1}$

La formule de Gelfand

Théorème

Le théorème suivant donne le rayon spectral comme limite des normes matricielles.

Théorème (formule de Gelfand ; 1941). Pour toute norme matricielle ||⋅||, on a

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.}$.

Preuve

Pour tout ε > 0 , nous construisons d'abord les deux matrices suivantes :

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

Puis:

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+}) <1<\rho (A_{-}).}$

On applique d'abord le théorème précédent à A ₊ :

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

Cela signifie, par la définition de la limite de séquence, qu'il existe N ₊ ∈ N tel que pour tout k N ₊ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}$

alors

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}$

L'application du théorème précédent à A ₋ implique qu'elle n'est pas bornée et qu'il existe N ₋ ∈ N tel que pour tout k N ₋ , ${\style d'affichage \|A_{-}^{k}\|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}$

alors

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}}$

Soit N = max{ N ₊ , N ₋ }, alors on a :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\ à droite\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$

qui, par définition, est

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$

Corollaires Gelfand

La formule de Gelfand conduit directement à une borne sur le rayon spectral d'un produit de matrices en nombre fini, à savoir en supposant qu'elles commutent toutes, nous obtenons

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

En fait, dans le cas où la norme est cohérente , la preuve montre plus que la thèse ; en fait, en utilisant le lemme précédent, on peut remplacer dans la définition de la limite la borne inférieure gauche par le rayon spectral lui-même et écrire plus précisément :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbf {N} ,\forall k\geq N\quad \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac { 1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$

qui, par définition, est

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A)^{+},}$

où le + signifie que la limite est approchée par le haut.

Exemple

Considérez la matrice

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$

dont les valeurs propres sont 5, 10, 10 ; par définition, ρ ( A ) = 10 . Dans le tableau suivant, les valeurs de pour les quatre normes les plus utilisées sont répertoriées en fonction de plusieurs valeurs croissantes de k (notez qu'en raison de la forme particulière de cette matrice, ) : ${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$

k	${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$	${\style d'affichage \|.\|_{F}}$	${\style d'affichage \|.\|_{2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$
dix	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.04559078
${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$
1000	10.005879594	10.04460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$	${\style d'affichage \vdots }$
100000	10 000058779	10.000044600	10.000018232

Notes et références

Bibliographie

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Opérateurs linéaires II. Théorie spectrale : opérateurs auto-adjoints dans l'espace Hilbert , Interscience Publishers, Inc.
• Lax, Peter D. (2002), Analyse fonctionnelle , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

Voir également

• Écart spectral
• Le rayon spectral conjoint est une généralisation du rayon spectral à des ensembles de matrices.
• Spectre d'une matrice
• Abscisse spectrale